Les triangles : 20 exercices corrigésmaths 5e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les triangles, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Les sommets sont les trois points : $R$, $S$ et $T$. Les côtés sont les trois segments qui les relient : $[RS]$, $[ST]$ et $[TR]$. b) Le côté opposé à $R$ est celui qui NE touche PAS $R$ : c'est $[ST]$. c) L'angle $\widehat{RST}$ a pour sommet $S$, la lettre du milieu. Ses côtés partent de $S$ : ce sont $[SR]$ et $[ST]$. ⛔ Le piège au b) : répondre $[RS]$ ou $[RT]$. Ces côtés partent de $R$ ; le côté opposé est en face de lui. Réponse : a) $R$, $S$, $T$ et $[RS]$, $[ST]$, $[TR]$ ; b) $[ST]$ ; c) $[SR]$ et $[ST]$.
2. 2. Je lis le codage : le petit carré marque un angle droit, les petits traits marquent des côtés de même longueur. Triangle $KLM$ : un angle droit en $K$, donc il est rectangle en $K$. Et $KL=KM$ (même trait), donc il est aussi isocèle en $K$. C'est un triangle rectangle isocèle. Triangle $PQR$ : ses trois côtés portent le même trait, ils sont égaux. C'est un triangle équilatéral. ⛔ Le piège : s'arrêter au premier nom trouvé pour $KLM$. Il est rectangle ET isocèle. Réponse : $KLM$ est rectangle isocèle en $K$ ; $PQR$ est équilatéral.
3. 3. a) Deux côtés ont la même longueur, $6,5$ cm : le triangle est isocèle. b) Un angle mesure $90°$ : le triangle est rectangle. c) Trois côtés égaux : le triangle est équilatéral. d) Trois longueurs différentes et aucun angle droit annoncé : il n'a pas de nom particulier. ⛔ Le piège au d) : le dire rectangle « parce qu'il en a l'air ». Sans angle droit donné ou mesuré, on ne peut pas l'affirmer. Réponse : a) isocèle ; b) rectangle ; c) équilatéral ; d) aucune nature particulière.
4. 4. Je repère le PLUS GRAND côté, et je le compare à la somme des deux autres. a) Le plus grand est $9$. $4+4=$$8$, et $8<$$9$ : les deux petits côtés, mis bout à bout, n'atteignent pas le bout du grand. Pas de triangle. b) Le plus grand est $11$. $5+7=$$12$, et $12>$$11$ : le triangle existe. c) Le plus grand est $8,5$. $3,5+5=$$8,5$ : la somme est ÉGALE au grand côté. Les trois sommets sont alignés, le triangle est aplati. ⛔ Le piège au c) : répondre « oui » parce que la somme n'est pas plus petite. Il faut qu'elle soit strictement plus grande. Réponse : a) non ; b) oui ; c) non, il est aplati.
5. 5. Les trois angles d'un triangle font toujours $180°$ : il ne m'en manque qu'un. J'additionne les deux angles connus : $64+49=$$113$. Je retranche de $180$ : $\hat{F}=180°-113°=$$67°$. Je vérifie : $64+49+67=$$180$. ⛔ Le piège : retrancher un seul angle, $180-64=$$116$. Il faut retirer les DEUX angles connus. Réponse : $\hat{F}=$$67°$.
6. 6. Rectangle en $L$ : l'angle $\hat{L}$ mesure $90°$. Les trois angles font $180°$ : $90+38=$$128$, puis $180-128=$$52$. Donc $\hat{M}=$$52°$. ⭐ Raccourci : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font $90°$ ensemble. $90-38=$$52$. ⛔ Le piège : oublier l'angle droit et calculer $180-38=$$142$. Un angle de $142°$ ne tient pas à côté d'un angle droit. Réponse : $\hat{M}=$$52°$.
7. 7. Isocèle en $A$ : les deux angles à la base, $\hat{B}$ et $\hat{C}$, sont égaux. Il reste $180-34=146$ degrés pour ces deux angles ensemble. Je partage en deux : $146÷2=$$73$. Donc $\hat{B}=\hat{C}=$$73°$. Je vérifie : $34+73+73=$$180$. ⛔ Le piège : s'arrêter à $146$, ou donner $146°$ à chaque angle. $146$ degrés, c'est pour les DEUX angles réunis. Réponse : $\hat{B}=\hat{C}=$$73°$.
8. 8. Je vérifie d'abord qu'il existe : le plus grand côté est $7,5$, et $4+5,5=$$9,5$, plus grand que $7,5$. Le triangle existe. Je trace le plus grand côté, $[AB]$, de $7,5$ cm. $C$ est à $4$ cm de $A$ : j'ouvre le compas à $4$ cm, pointe sur $A$, et je trace un arc de cercle. $C$ est à $5,5$ cm de $B$ : j'ouvre le compas à $5,5$ cm, pointe sur $B$, et je trace un deuxième arc. $C$ est le point où les deux arcs se croisent. Je trace $[AC]$ et $[BC]$. ⛔ Le piège : piquer en $A$ avec l'écartement de $5,5$ cm. Chaque longueur part de SON sommet : $AC$ part de $A$, $BC$ part de $B$.
9. 9. Je teste chaque baguette avec l'inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres. $3$ cm : le plus grand est $9$, et $5+3=8<$$9$. Non. $4$ cm : $5+4=$$9$, égal à $9$ : aplati. Non. $5$ cm : $5+5=10>$$9$. Oui. $13$ cm : cette fois le plus grand est $13$, et $5+9=14>$$13$. Oui. $14$ cm : $5+9=$$14$, égal : aplati. Non. $15$ cm : $14<$$15$. Non. ⛔ Le piège : ne tester que les petites baguettes. Une baguette de $13$ cm devient le plus grand côté : c'est elle qu'on compare à $5+$$9$. Réponse : les baguettes de $5$ cm et de $13$ cm.
10. 10. a) Je trace d'abord le côté connu, $[RS]$, de $6$ cm. En $R$, je pose le rapporteur (centre sur $R$, $0$ sur $[RS]$) et je trace une demi-droite qui fait $42°$ avec $[RS]$. En $S$, je fais de même avec $76°$, du même côté de $[RS]$. $T$ est le point où les deux demi-droites se coupent. b) Les angles font $180°$ : $42+76=$$118$, et $180-118=$$62$. Donc $\hat{T}=$$62°$. ⛔ Le piège : tracer l'angle de $76°$ en $R$. Chaque angle se trace à SON sommet : $\hat{R}$ en $R$, $\hat{S}$ en $S$. Réponse : b) $\hat{T}=$$62°$.
11. 11. a) Je trace $[EF]$ de $5$ cm. L'angle de $108°$ est en $E$, ENTRE $[EF]$ et $[EG]$ : je pose le rapporteur en $E$, le $0$ sur $[EF]$, et je trace une demi-droite à $108°$. Sur cette demi-droite, je place $G$ à $6$ cm de $E$. Je trace $[FG]$. b) Je mesure : $FG\approx 8,9$ cm. c) Oui : l'angle $\widehat{FEG}$ mesure $108°$, plus que $90°$. ⭐ C'est aussi le plus grand côté, $[FG]$, qui fait face au plus grand angle. ⛔ Le piège : tracer l'angle de $108°$ en $F$. L'énoncé dit $\widehat{FEG}$ : la lettre du milieu, $E$, est le sommet. Réponse : b) $FG\approx 8,9$ cm ; c) oui, en $E$.
12. 12. a) $72+36=$$108$, et $180-108=$$72$. Donc $\hat{C}=$$72°$. b) Les angles $\hat{B}$ et $\hat{C}$ sont égaux : le triangle est isocèle. Les deux côtés égaux partent du troisième sommet, $A$ : $AB=$$AC$. ⛔ Le piège : croire que $[BC]$ fait partie des côtés égaux parce qu'il touche les deux angles égaux. C'est la BASE : les côtés égaux sont les deux autres. Réponse : a) $\hat{C}=$$72°$ ; b) isocèle en $A$, avec $AB=$$AC$.
13. 13. Je regarde si la somme des trois angles fait exactement $180°$. a) $95+45+40=$$180$ : oui, il existe, et il a un angle obtus. b) $100+90=$$190$ : c'est déjà plus que $180$. Non. c) $61+59+62=$$182$ : non, il y a $2$ degrés de trop. d) $90+48+42=$$180$ : oui. ⛔ Le piège au c) : trouver « à peu près $180$ » et dire oui. La somme doit être EXACTEMENT $180°$. Réponse : a) oui ; b) non ; c) non ; d) oui.
14. 14. a) $44+68=$$112$, et $180-112=$$68$. Donc $\hat{C}=$$68°$. b) $\hat{B}=\hat{C}=$$68°$ : deux angles égaux, le triangle est isocèle. c) Les côtés égaux partent du sommet $A$, celui dont l'angle est différent : $AB=$$AC$. ⛔ Le piège au c) : répondre $BC$. Le côté $[BC]$ est la base : il est en face de l'angle $\hat{A}$, le seul différent. Réponse : a) $\hat{C}=$$68°$ ; b) isocèle ; c) $AB=$$AC$.
15. 15. a) $B$, $C$ et $D$ sont alignés : les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ACD}$ forment un angle plat. $\widehat{ACB}=180°-128°=$$52°$. b) Dans le triangle $ABC$, les angles font $180°$ : $55+52=$$107$, et $180-107=$$73$. Donc $\widehat{ABC}=$$73°$. ⛔ Le piège : prendre $128°$ pour un angle du triangle. Il est DEHORS, entre $[CA]$ et le prolongement $[CD]$ : on ne peut pas le mettre dans la somme. Réponse : a) $\widehat{ACB}=$$52°$ ; b) $\widehat{ABC}=$$73°$.
16. 16. a) Je trace la base $[NP]$ de $6$ cm. En $N$, je trace au rapporteur une demi-droite à $34°$ de $[NP]$. En $P$, je fais de même, du même côté. $M$ est le point où elles se coupent. Le triangle est isocèle en $M$ : je peux vérifier au compas que $MN=$$MP$. b) $34+34=$$68$, et $180-68=$$112$. Donc $\widehat{NMP}=$$112°$ : un angle obtus. ⛔ Le piège : mettre $34°$ en $M$. Les angles à la BASE sont en $N$ et en $P$, les deux bouts de $[NP]$. Réponse : b) $\widehat{NMP}=$$112°$.
17. 17. La tente a) $AC=BC=1,5$ m : deux côtés égaux, le triangle est isocèle en $C$. b) Avec deux pans de $1,1$ m : $1,1+1,1=$$2,2$, plus petit que $2,4$. Les pans ne se rejoindraient pas au-dessus du sol : impossible. c) Isocèle en $C$ : les angles à la base sont égaux, $\hat{B}\approx$$37°$. Puis $37+37=$$74$, et $180-74=$$106$ : $\hat{C}\approx$$106°$. d) $106°$ est plus grand que $90°$ : l'angle au sommet est obtus. La tente est large et basse. ⛔ Le piège au b) : croire que des pans plus courts donnent seulement une tente plus basse. En dessous de $1,2$ m chacun, ils n'atteignent même plus le milieu du sol. Réponse : a) isocèle en $C$ ; b) non ; c) $\hat{B}\approx 37°$ et $\hat{C}\approx$$106°$ ; d) obtus.
18. 18. Les trois refuges a) $AC$ doit être plus petit que la somme des deux autres : $AC<9+5=$$14$. Et $AB$, qui mesure $9$, doit être plus petit que $5+$$AC$ : il faut $AC>9-5=$$4$. Donc $AC$ est entre $4$ km et $14$ km. b) Avec $AC=$$4$ : $4+5=$$9$, exactement $AB$. Les refuges sont alignés : $C$ est sur le segment $[AB]$. c) $15$ km dépasse $9+5=14$ km : impossible, même en passant par $B$ on ferait moins. d) Je vérifie : $5+7=12>$$9$. Je trace $[AB]$ de $9$ cm, un arc de centre $A$ et de rayon $7$ cm, un arc de centre $B$ et de rayon $5$ cm. $C$ est au croisement. ⛔ Le piège au a) : oublier la valeur basse. Avec $AC=3$ km, on aurait $3+5=8<$$9$ : pas de triangle. Réponse : a) entre $4$ et $14$ km ; b) ils sont alignés ; c) non ; d) voir le plan.
19. 19. Le triangle d'or a) Isocèle en $A$ : $\widehat{ABC}=$$\widehat{ACB}$. Il reste $180-36=144$ degrés, partagés en deux : $144÷2=$$72$. Donc $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=$$72°$. b) $[BD]$ partage $72°$ en deux : $x=y=72÷2=$$36$, soit $36°$. c) Dans le triangle $BDC$ : $x+\hat{C}=36+72=$$108$, donc $\widehat{BDC}=180-108=$$72$, soit $72°$. Les angles en $C$ et en $D$ sont égaux : $BDC$ est isocèle en $B$. d) $A$, $D$ et $C$ sont alignés : $\widehat{ADB}=180-72=$$108$, soit $108°$. Dans $ABD$, les angles en $A$ et en $B$ mesurent tous les deux $36°$ : $ABD$ est isocèle en $D$. ⛔ Le piège : ne voir qu'un triangle isocèle, le grand. La figure en cache DEUX autres, et c'est en calculant les angles qu'on les trouve. Réponse : a) $72°$ et $72°$ ; b) $x=y=$$36°$ ; c) $72°$, $BDC$ isocèle en $B$ ; d) $108°$, $ABD$ isocèle en $D$.
20. 20. Le bateau et les deux phares a) $58+64=$$122$, et $180-122=$$58$. Donc $\widehat{ACB}=$$58°$. b) $\hat{A}=\hat{C}=$$58°$ : le triangle est isocèle. Les côtés égaux partent de $B$, le sommet de l'angle différent : $BA=$$BC$. Donc $BC=6$ km : le bateau est à $6$ km du phare $B$. c) Je trace $[AB]$ de $6$ cm, puis les angles de $58°$ en $A$ et de $64°$ en $B$. $C$ est au croisement des deux demi-droites. d) Je mesure $AC\approx 6,4$ cm : le bateau est à environ $6,4$ km du phare $A$. ⭐ Contrôle : $[AC]$ fait face au plus grand angle, $64°$ : c'est bien le plus grand côté. ⛔ Le piège au b) : sortir la règle. Deux angles égaux donnent un triangle isocèle, et la longueur se déduit sans mesure. Réponse : a) $58°$ ; b) isocèle en $B$, $BC=6$ km ; d) environ $6,4$ km.