Distances et milieu d'un segmentcours et exercices corrigés de maths 6e
Pour aller de A à B, le chemin le plus court est tout droit. Sa longueur, c'est la distance AB.
Distances et milieu d'un segment : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.À quoi ça sert : Distances et milieu d'un segment
Une carte donne souvent la distance « à vol d'oiseau ». C'est la longueur du segment, tout droit. La route fait des virages, elle est donc plus longue. Et pour couper une barre de chocolat en deux parts égales, on cherche son milieu.
Un peu d'histoire : Distances et milieu d'un segment
Il y a plus de 2 000 ans, le savant grec Archimède l'a écrit. Parmi toutes les lignes qui joignent deux points, la ligne droite est la plus courte. Il ne l'a pas démontré : il l'a posé comme une vérité de départ. En 6e, on fait comme lui, on l'admet.
Définition : Distances et milieu d'un segment
La distance entre A et B est la longueur du segment [AB]. On la note AB, sans crochets. C'est un nombre, avec une unité.
Une droite, un segment, un nombre.
Propriétés : Distances et milieu d'un segment
Le milieu coupe en deux
Le milieu M de [AB] est sur le segment, et MA = MB. Si AB = 12 cm, alors AM = 6 cm.
AB = 12 cm, donc AM = MB = 6 cm.
Le plus court chemin
Le plus court chemin de A à B est le segment [AB]. Passer par C fait un détour : AC + CB est plus grand que AB.
5 + 7 = 12 : plus que 10.
Sur le segment, pas de détour
Si C est sur [AB], alors AC + CB = AB. Et si AC + CB = AB, alors C est sur [AB].
5 + 7 = 12 = AB.
Méthode : Distances et milieu d'un segment
1. Crochets ou pas ?
Des crochets, c'est un segment, donc un dessin. Pas de crochets, c'est une longueur, donc un nombre.
| on écrit | c'est |
|---|---|
| (AB) | une droite |
| [AB] | un segment |
| AB | un nombre : la longueur |
2. Le milieu : diviser ou doubler
Pour une moitié, on divise AB par 2. Pour le segment entier, on double : AM = 4,5 cm donne AB = 9 cm.
3. Additionner, puis comparer
On calcule AC + CB, puis on compare à AB. Égal, C est sur [AB] ; plus grand, C n'y est pas.
| si AB = | alors C… |
|---|---|
| 12 | est sur [AB] |
| 10 | n'est pas sur [AB] |
Selon ce que l'on cherche : Distances et milieu d'un segment
Le trajet le plus court
De la maison A à l'école B, tout droit est le plus court. Tout autre chemin fait un détour.
Le trajet orange est plus long que le vert.
Couper en deux parts égales
Une barre de 12 cm se coupe à 6 cm du bord. Le milieu est à la moitié de la longueur.
12 ÷ 2 = 6 : le milieu M est à 6.
Trois villages sur une ligne ?
AC = 12 km, CB = 25 km et AB = 33 km. Or 12 + 25 = 37, c'est plus que 33 : les villages ne sont pas alignés.
Passer par C fait un détour de 4 km.
Exemples corrigés : Distances et milieu d'un segment
La bonne écriture
Un élève écrit : « [AB] = 5 cm ».
Est-ce correct ?
Non. [AB] est le segment, c'est un dessin. C'est sa longueur qui vaut 5 cm. On écrit AB = 5 cm, sans crochets.
Deux milieux l'un dans l'autre
M est le milieu de [AB], et N le milieu de [MB]. AB = 20 cm.
Combien mesure AN ?
M est le milieu de [AB] : AM = 20 ÷ 2 = 10 cm. N est le milieu de [MB] : MN = 10 ÷ 2 = 5 cm. On ajoute : AN = 10 + 5 = 15 cm.
C est-il sur le segment ?
AC = 4 cm, CB = 6 cm et AB = 8 cm.
Le point C est-il sur le segment [AB] ?
On additionne : AC + CB = 4 + 6 = 10 cm. On compare : 10 est plus grand que 8. Il y a un détour. Donc C n'est pas sur [AB].
Pièges à éviter : Distances et milieu d'un segment
- Écrire [AB] = 5 cm : un segment est un dessin, pas un nombre. On écrit AB = 5 cm.
- Croire que PA = PB suffit pour être le milieu. Le milieu doit aussi être SUR le segment.
- Croire que AC + CB est toujours égal à AB. C'est vrai seulement si C est sur [AB].
À retenir : Distances et milieu d'un segment
- (AB) est une droite, [AB] un segment, AB un nombre : sa longueur.
- Le milieu M de [AB] est sur [AB], et MA = MB.
- AC + CB est plus grand que AB, ou égal si C est sur [AB].
Exercices corrigés : Distances et milieu d'un segment
1. Le segment [MN] mesure 7 cm. Écris-le correctement.
Voir la correction
MN = 7 cm. Pas de crochets : la longueur est un nombre.
2. M est le milieu de [AB] et AB = 12 cm. Combien mesure AM ?
Voir la correction
AM = 12 ÷ 2 = 6 cm.
3. M est le milieu de [AB] et AM = 4,5 cm. Combien mesure AB ?
Voir la correction
AB = 2 × 4,5 = 9 cm.
4. AC = 5 cm, CB = 7 cm et AB = 12 cm. C est-il sur [AB] ?
Voir la correction
Oui. 5 + 7 = 12 = AB : il n'y a pas de détour, C est sur [AB].
5. AC = 5 cm, CB = 7 cm et AB = 10 cm. C est-il sur [AB] ?
Voir la correction
Non. 5 + 7 = 12, c'est plus que 10 : C fait un détour.
6. M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AM]. AB = 16 cm. Combien mesure NB ?
Voir la correction
AM = 8 cm, donc AN = 4 cm. Alors NB = 16 − 4 = 12 cm.
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