Distances et milieu d'un segment : 20 exercices corrigésmaths 6e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème : écrire (AB), [AB] ou AB, lire une longueur sur la règle, trouver et construire le milieu, et comprendre que la ligne droite est le plus court chemin. Un raccourci dans un parc, une ligne de tram, un ruban plié, une carte au trésor. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et la figure dessinée.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Un geste par exercice. Je lis la figure, puis j'écris la réponse avec le bon symbole.

Rappel de cours

$(A B)$ est une droite. $[A B]$ est un segment. $A B$ est un nombre : sa longueur.
Le milieu $M$ de $[A B]$ est SUR le segment, avec $A M =$ $MB$ .
Le chemin le plus court de $A$ à $B$ , c'est le segment $[A B]$ .

1
Voici trois tracés. Écris le nom de chacun avec le bon symbole. Lequel des trois a une longueur ?
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Tracé $1$ : il passe par $A$ et $B$ , et il ne s'arrête pas. C'est la droite $(A B)$ . Tracé $2$ : il s'arrête en $C$ et en $D$ . C'est le segment $[C D]$ . Tracé $3$ : il part de $E$ et passe par $F$ , sans s'arrêter. C'est la demi-droite $[EF)$ . Seul le segment a une longueur. On la note $C D$ , sans crochets. ⛔ Le piège : écrire $[A B]$ pour une droite. Les crochets veulent dire : ça s'arrête là. Réponse : $1$ : $(A B)$ ; $2$ : $[C D]$ ; $3$ : $[EF)$ . Le segment $[C D]$ a une longueur.
2
Complète avec $(A B)$ , $[A B]$ ou $A B$ . a) La longueur … est égale à $6$ cm. b) Le point $M$ est sur …, entre $A$ et $B$ . c) La droite … ne s'arrête jamais. d) Léo écrit « $[A B] =$ $6$ cm ». Corrige-le.
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a) Une longueur est un nombre : $A B = 6$ cm. b) Entre $A$ et $B$ , c'est le segment : $M$ est sur $[A B]$ . c) Une droite s'écrit avec des parenthèses : $(A B)$ . d) $[A B]$ est un dessin, pas un nombre. Léo doit écrire $A B = 6$ cm. ⛔ Le piège : mettre des crochets autour d'une longueur. Un dessin ne peut pas être égal à $6$ cm. Réponse : a) $A B$ ; b) $[A B]$ ; c) $(A B)$ ; d) $A B = 6$ cm.
3
Le segment $[PQ]$ est posé au-dessus d'une règle graduée en cm. Lis sa longueur $PQ$ .
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$P$ n'est pas sur le $0$ de la règle. $P$ est sur $1$ , et $Q$ est sur $7, 5$ . Je calcule l'écart : $7, 5 - 1 =$ $6, 5$ . ⛔ Le piège : lire $7, 5$ cm. Ce serait juste si $P$ était sur le $0$ . Réponse : $PQ = 6, 5$ cm.
4
$M$ est le milieu du segment $[RS]$ , et $RS = 9$ cm. Combien mesure $RM$ ?
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Le milieu coupe le segment en deux longueurs égales. $RM$ est la moitié de $RS$ : $9 \div 2 =$ $4, 5$ . ⛔ Le piège : répondre $18$ cm, le double. Le milieu donne la MOITIÉ. Réponse : $RM = 4, 5$ cm.
5
$K$ est le milieu du segment $[T U]$ , et $T K = 3, 8$ cm. Combien mesure $T U$ ?
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$T K$ est une moitié de $[T U]$ . L'autre moitié, $K U$ , mesure aussi $3, 8$ cm. $T U = 3, 8 + 3, 8 =$ $7, 6$ . ⛔ Le piège : diviser par $2$ . On connaît la moitié : pour avoir le tout, on DOUBLE. Réponse : $T U = 7, 6$ cm.
6
Le segment $[G H]$ est posé au-dessus d'une règle. Sur quelle graduation faut-il placer son milieu $I$ ?
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$G$ est sur $2$ et $H$ est sur $9$ . Donc $G H = 9 - 2 = 7$ cm. La moitié : $7 \div 2 = 3, 5$ cm. Depuis $G$ , j'avance de $3, 5$ : $2 + 3, 5 =$ $5, 5$ . ⛔ Le piège : placer $I$ sur $4, 5$ , la moitié de $9$ . Mais $G$ n'est pas sur le $0$ . Réponse : $I$ est sur la graduation $5, 5$ .
7
Pour aller de $A$ à $B$ , trois chemins sont dessinés. Sans mesurer, lequel est le plus court ? Pourquoi ?
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Le chemin $2$ va tout droit : c'est le segment $[A B]$ . Le chemin le plus court entre deux points est toujours le segment qui les relie. Les chemins $1$ et $3$ font des détours : ils sont plus longs. ⭐ C'est pour ça qu'on appelle $A B$ la distance entre $A$ et $B$ . ⛔ Le piège : croire qu'un chemin avec des coins peut être aussi court. Chaque détour ajoute de la longueur. Réponse : le chemin $2$ , le segment $[A B]$ .
8
On sait que $A C = 4$ cm et $CB = 3$ cm. a) $A B$ peut-il mesurer $9$ cm ? b) Quelle est la plus grande longueur possible pour $A B$ ? c) Où est $C$ dans ce cas ?
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Le chemin de $A$ à $B$ par $C$ mesure $4 + 3 = 7$ cm. Le segment $[A B]$ est le chemin le plus court. Donc $A B$ ne peut pas dépasser $7$ cm. a) Non : $9$ cm, c'est plus que $7$ cm. b) La plus grande longueur est $7$ cm. c) $A B = 7$ cm seulement quand $C$ est SUR le segment $[A B]$ . ⛔ Le piège : croire que $A B$ vaut toujours $7$ cm. Si $C$ n'est pas sur $[A B]$ , $A B$ est plus petit. Réponse : a) non ; b) $7$ cm ; c) sur le segment $[A B]$ .

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes. Je trace ou je calcule, puis je justifie en une phrase.

Rappel de cours

Pour tout point $C$ , le chemin par $C$ est plus long : $A C + CB ⩾$ $A B$ .
$A C + CB = A B$ seulement quand $C$ est sur le segment $[A B]$ .
Quand $M$ est le milieu de $[A B]$ , $A M$ est la moitié de $A B$ .

9
Tu as un compas et une règle NON graduée. Trace le milieu $M$ du segment $[A B]$ . Écris les étapes.
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Étape $1$ : j'ouvre le compas plus que la moitié de $[A B]$ . Étape $2$ : pointe en $A$ , je trace un arc au-dessus et un arc au-dessous de $[A B]$ . Étape $3$ : pointe en $B$ , SANS changer l'écartement, je trace deux arcs. Les arcs se coupent en deux points, $I$ et $J$ . Étape $4$ : je trace la droite $(I J)$ . Elle coupe $[A B]$ en son milieu $M$ . ⭐ Pourquoi : $I$ est à la même distance de $A$ et de $B$ . $J$ aussi. ⛔ Le piège : changer l'écartement entre $A$ et $B$ . Les arcs ne se croiseraient plus au bon endroit. Réponse : $M$ est le point où la droite $(I J)$ coupe $[A B]$ .
10
Sur la figure, $O A = OB = 4$ cm et $A B = 6$ cm. Tom dit : « $O$ est le milieu de $[A B]$ . » A-t-il raison ? Où est le vrai milieu $M$ ? Combien mesure $A M$ ?
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Pour être le milieu de $[A B]$ , il faut DEUX choses. Le point doit être à la même distance de $A$ et de $B$ . $O$ l'est. Il doit aussi être SUR le segment $[A B]$ . $O$ ne l'est pas. Donc Tom a tort. Le vrai milieu $M$ est sur $[A B]$ : $A M = 6 \div 2 = 3$ cm. ⛔ Le piège : oublier que le milieu est SUR le segment. Beaucoup de points sont à égale distance de $A$ et de $B$ . Réponse : non ; $M$ est sur $[A B]$ , avec $A M = 3$ cm.
11
On connaît $EF = 4, 5$ cm et $FG = 6, 5$ cm. a) Si $EG = 11$ cm, le point $F$ est-il sur le segment $[EG]$ ? b) Et si $EG = 9$ cm ?
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Je calcule le chemin qui passe par $F$ : $EF + FG = 4, 5 + 6, 5 = 11$ cm. a) $EG = 11$ cm : le passage par $F$ ne rallonge rien. Donc $F$ est sur le segment $[EG]$ . Les trois points sont alignés. b) $EG = 9$ cm : le chemin par $F$ est plus long que le segment. Donc $F$ n'est pas sur $[EG]$ . ⛔ Le piège : dire « presque égal, donc aligné ». Il faut une égalité EXACTE. Réponse : a) oui ; b) non.
12
Trace un segment $[A B]$ de $7$ cm. Place son milieu $M$ . Place le point $N$ sur $[A B]$ , avec $A N = 2$ cm. Calcule $NM$ , puis $NB$ .
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$M$ est le milieu : $A M = 7 \div 2 = 3, 5$ cm. Sur le segment, l'ordre est $A$ , $N$ , $M$ , $B$ . $NM = A M - A N = 3, 5 - 2 = 1, 5$ cm. $NB = A B - A N = 7 - 2 = 5$ cm. ⭐ Contrôle : $A N + NM + MB = 2 + 1, 5 + 3, 5 = 7$ cm. ⛔ Le piège : calculer $3, 5 +$ $2$ . $N$ est ENTRE $A$ et $M$ : je soustrais. Réponse : $NM = 1, 5$ cm et $NB = 5$ cm.
13
$A B = 16$ cm. $M$ est le milieu de $[A B]$ . $N$ est le milieu de $[A M]$ , et $P$ est le milieu de $[NM]$ . Calcule $A P$ , puis $PB$ .
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$A M = 16 \div 2 = 8$ cm. $A N = 8 \div 2 = 4$ cm. Et $NM = 4$ cm aussi. $NP = 4 \div 2 = 2$ cm. $A P = A N + NP = 4 + 2 = 6$ cm. $PB = A B - A P = 16 - 6 = 10$ cm. ⛔ Le piège : diviser $16$ par $2$ trois fois, et répondre $2$ cm. $A P$ n'est pas le dernier morceau : c'est $A N +$ $NP$ . Réponse : $A P = 6$ cm et $PB = 10$ cm.
14
Un randonneur va de $A$ à $B$ en passant par le refuge $R$ . $A R = 3, 2$ km et $RB = 4, 1$ km. En ligne droite, $A B = 5, 8$ km. a) Quelle est la longueur de son trajet ? b) Combien de kilomètres fait-il de plus que la ligne droite ? c) Le refuge est-il sur le segment $[A B]$ ?
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a) Le trajet : $3, 2 + 4, 1 = 7, 3$ km. b) $7, 3 - 5, 8 = 1, 5$ km de plus. c) Non. $A R + RB$ est plus grand que $A B$ . Si $R$ était sur $[A B]$ , on aurait $A R + RB =$ $A B$ . ⛔ Le piège : croire que le trajet et la ligne droite ont la même longueur. Le détour par $R$ rallonge. Réponse : a) $7, 3$ km ; b) $1, 5$ km ; c) non.
15
Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, dans cet ordre. $A B = 2, 7$ cm et $BC = 4, 6$ cm. a) Calcule $A C$ . b) Le point $D$ n'est pas sur la droite $(A C)$ . Compare $A D + D C$ et $A C$ .
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a) $B$ est sur le segment $[A C]$ . Donc $A C = A B +$ $BC$ . $A C = 2, 7 + 4, 6 = 7, 3$ cm. b) $D$ n'est pas sur $[A C]$ : le chemin par $D$ est un détour. Donc $A D + D C$ est plus grand que $A C$ : plus de $7, 3$ cm. ⛔ Le piège : écrire $A D + D C =$ $A C$ . L'égalité marche seulement pour un point du segment. Réponse : a) $A C = 7, 3$ cm ; b) $A D + D C$ est plus grand que $A C$ .
16
$M$ est le milieu du segment $[A B]$ . Sur la règle, on voit $A$ et $M$ , mais pas $B$ . Sur quelle graduation faut-il placer $B$ ? Combien mesure $A B$ ?
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$A$ est sur $1, 5$ et $M$ est sur $4$ . Donc $A M = 4 - 1, 5 = 2, 5$ cm. $M$ est le milieu : $MB = A M = 2, 5$ cm. $B$ est après $M$ : $4 + 2, 5 =$ $6, 5$ . $A B = 2, 5 + 2, 5 = 5$ cm. ⛔ Le piège : placer $B$ sur $8$ , le double de $4$ . Je double la LONGUEUR $A M$ , pas la graduation. Réponse : $B$ sur la graduation $6, 5$ ; $A B = 5$ cm.

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Une situation, plusieurs questions qui s'enchaînent. Je fais un schéma, puis je réponds par une phrase.

Rappel de cours

La ligne droite est le chemin le plus court.
Trois points sont alignés quand un des chemins est égal à la somme des deux autres.
Le milieu partage un segment en deux moitiés égales.

17Le raccourci du parc
Pour traverser un parc, Inès longe deux allées : $400$ m, puis $300$ m. Le coin est $C$ . Un raccourci va tout droit de l'entrée $E$ à la sortie $S$ . a) Le raccourci est-il plus court que $700$ m ? Pourquoi ? b) Peut-il mesurer $90$ m ? c) Sur le plan, on mesure $500$ m. Combien de mètres Inès gagne-t-elle ?
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a) Oui. Le trajet par $C$ mesure $400 + 300 = 700$ m. Le raccourci est le segment $[ES]$ : c'est le chemin le plus court. $C$ n'est pas sur $[ES]$ . Donc $ES$ est plus petit que $700$ m. b) Non. Je regarde un autre chemin : de $E$ à $C$ en passant par $S$ . Il est plus long que le segment $[EC]$ : $ES + 300$ est plus grand que $400$ . Avec $90$ m, on aurait $90 + 300 = 390$ m. C'est moins que $400$ m : impossible. c) $700 - 500 = 200$ m gagnés. ⛔ Le piège au b) : croire qu'un raccourci peut être aussi court qu'on veut. Il mesure au moins $400 - 300 = 100$ m. Réponse : a) oui, moins de $700$ m ; b) non ; c) $200$ m.
18La ligne de tram
Trois stations de tram : $S_{1}$ , $S_{2}$ et $S_{3}$ . $S_{1} S_{2} = 1, 8$ km, $S_{2} S_{3} = 2, 7$ km et $S_{1} S_{3} = 4, 5$ km. a) Les trois stations sont-elles alignées ? Justifie. b) On construit la station $S_{4}$ au milieu de $[S_{1} S_{3}]$ . Calcule $S_{1} S_{4}$ . c) Calcule la distance $S_{2} S_{4}$ , en km puis en m.
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a) $1, 8 + 2, 7 = 4, 5$ km. C'est exactement $S_{1} S_{3}$ . Donc $S_{2}$ est sur le segment $[S_{1} S_{3}]$ : les trois stations sont alignées. b) $S_{1} S_{4} = 4, 5 \div 2 = 2, 25$ km. c) Sur le segment, l'ordre est $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{4}$ , $S_{3}$ . $S_{2} S_{4} = 2, 25 - 1, 8 = 0, 45$ km, soit $450$ m. ⛔ Le piège au c) : ajouter au lieu de soustraire. $S_{2}$ et $S_{4}$ sont sur la même ligne, du même côté. Réponse : a) oui ; b) $2, 25$ km ; c) $0, 45$ km, soit $450$ m.
19Le ruban plié
Un ruban mesure $1, 2$ m, soit $120$ cm. On le plie en deux, puis encore en deux. On le déplie : les plis font des marques. a) Combien y a-t-il de marques ? Où sont-elles, depuis le bout gauche ? b) Combien mesure chaque morceau ? c) Si on plie encore une fois en deux, combien de morceaux obtient-on ? De quelle longueur ?
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Le premier pli est au milieu : à $120 \div 2 = 60$ cm. Le deuxième pli coupe chaque moitié en son milieu : à $30$ cm et à $90$ cm. a) $3$ marques : à $30$ cm, $60$ cm et $90$ cm. b) $4$ morceaux égaux : $120 \div 4 = 30$ cm chacun. c) Encore un pli : $8$ morceaux de $120 \div 8 = 15$ cm. ⛔ Le piège au a) : compter $4$ marques pour $4$ morceaux. Entre $4$ morceaux, il n'y a que $3$ plis. Réponse : a) $3$ marques, à $30$ , $60$ et $90$ cm ; b) $30$ cm ; c) $8$ morceaux de $15$ cm.
20La carte au trésor
Sur une carte, $1$ cm représente $20$ m. Le puits $P$ et l'arbre $A$ sont à $7$ cm l'un de l'autre. Le trésor $T$ est au milieu de $[P A]$ . a) Calcule $PT$ sur la carte, puis en vrai. b) Le rocher $R$ est à $2$ cm de $P$ et à $5$ cm de $A$ . Est-il sur le segment $[P A]$ ? c) Calcule la distance $RT$ sur la carte, puis en vrai.
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a) $PT = 7 \div 2 = 3, 5$ cm sur la carte. En vrai : $3, 5 \times 20 = 70$ m. b) $PR + R A = 2 + 5 = 7$ cm. C'est exactement $P A$ . Donc $R$ est sur le segment $[P A]$ . c) Sur le segment, l'ordre est $P$ , $R$ , $T$ , $A$ . $RT = PT - PR = 3, 5 - 2 = 1, 5$ cm sur la carte. En vrai : $1, 5 \times 20 = 30$ m. ⛔ Le piège : oublier l'échelle. Sur la carte, ce sont des cm. Sur le terrain, des mètres. Réponse : a) $3, 5$ cm, soit $70$ m ; b) oui ; c) $1, 5$ cm, soit $30$ m.

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Corrigés : distances et milieu d'un segment, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Tracé $1$ : il passe par $A$ et $B$ , et il ne s'arrête pas. C'est la droite $(A B)$ . Tracé $2$ : il s'arrête en $C$ et en $D$ . C'est le segment $[C D]$ . Tracé $3$ : il part de $E$ et passe par $F$ , sans s'arrêter. C'est la demi-droite $[EF)$ . Seul le segment a une longueur. On la note $C D$ , sans crochets. ⛔ Le piège : écrire $[A B]$ pour une droite. Les crochets veulent dire : ça s'arrête là. Réponse : $1$ : $(A B)$ ; $2$ : $[C D]$ ; $3$ : $[EF)$ . Le segment $[C D]$ a une longueur.
2. a) Une longueur est un nombre : $A B = 6$ cm. b) Entre $A$ et $B$ , c'est le segment : $M$ est sur $[A B]$ . c) Une droite s'écrit avec des parenthèses : $(A B)$ . d) $[A B]$ est un dessin, pas un nombre. Léo doit écrire $A B = 6$ cm. ⛔ Le piège : mettre des crochets autour d'une longueur. Un dessin ne peut pas être égal à $6$ cm. Réponse : a) $A B$ ; b) $[A B]$ ; c) $(A B)$ ; d) $A B = 6$ cm.
3. $P$ n'est pas sur le $0$ de la règle. $P$ est sur $1$ , et $Q$ est sur $7, 5$ . Je calcule l'écart : $7, 5 - 1 =$ $6, 5$ . ⛔ Le piège : lire $7, 5$ cm. Ce serait juste si $P$ était sur le $0$ . Réponse : $PQ = 6, 5$ cm.
4. Le milieu coupe le segment en deux longueurs égales. $RM$ est la moitié de $RS$ : $9 \div 2 =$ $4, 5$ . ⛔ Le piège : répondre $18$ cm, le double. Le milieu donne la MOITIÉ. Réponse : $RM = 4, 5$ cm.
5. $T K$ est une moitié de $[T U]$ . L'autre moitié, $K U$ , mesure aussi $3, 8$ cm. $T U = 3, 8 + 3, 8 =$ $7, 6$ . ⛔ Le piège : diviser par $2$ . On connaît la moitié : pour avoir le tout, on DOUBLE. Réponse : $T U = 7, 6$ cm.
6. $G$ est sur $2$ et $H$ est sur $9$ . Donc $G H = 9 - 2 = 7$ cm. La moitié : $7 \div 2 = 3, 5$ cm. Depuis $G$ , j'avance de $3, 5$ : $2 + 3, 5 =$ $5, 5$ . ⛔ Le piège : placer $I$ sur $4, 5$ , la moitié de $9$ . Mais $G$ n'est pas sur le $0$ . Réponse : $I$ est sur la graduation $5, 5$ .
7. Le chemin $2$ va tout droit : c'est le segment $[A B]$ . Le chemin le plus court entre deux points est toujours le segment qui les relie. Les chemins $1$ et $3$ font des détours : ils sont plus longs. ⭐ C'est pour ça qu'on appelle $A B$ la distance entre $A$ et $B$ . ⛔ Le piège : croire qu'un chemin avec des coins peut être aussi court. Chaque détour ajoute de la longueur. Réponse : le chemin $2$ , le segment $[A B]$ .
8. Le chemin de $A$ à $B$ par $C$ mesure $4 + 3 = 7$ cm. Le segment $[A B]$ est le chemin le plus court. Donc $A B$ ne peut pas dépasser $7$ cm. a) Non : $9$ cm, c'est plus que $7$ cm. b) La plus grande longueur est $7$ cm. c) $A B = 7$ cm seulement quand $C$ est SUR le segment $[A B]$ . ⛔ Le piège : croire que $A B$ vaut toujours $7$ cm. Si $C$ n'est pas sur $[A B]$ , $A B$ est plus petit. Réponse : a) non ; b) $7$ cm ; c) sur le segment $[A B]$ .
9. Étape $1$ : j'ouvre le compas plus que la moitié de $[A B]$ . Étape $2$ : pointe en $A$ , je trace un arc au-dessus et un arc au-dessous de $[A B]$ . Étape $3$ : pointe en $B$ , SANS changer l'écartement, je trace deux arcs. Les arcs se coupent en deux points, $I$ et $J$ . Étape $4$ : je trace la droite $(I J)$ . Elle coupe $[A B]$ en son milieu $M$ . ⭐ Pourquoi : $I$ est à la même distance de $A$ et de $B$ . $J$ aussi. ⛔ Le piège : changer l'écartement entre $A$ et $B$ . Les arcs ne se croiseraient plus au bon endroit. Réponse : $M$ est le point où la droite $(I J)$ coupe $[A B]$ .
10. Pour être le milieu de $[A B]$ , il faut DEUX choses. Le point doit être à la même distance de $A$ et de $B$ . $O$ l'est. Il doit aussi être SUR le segment $[A B]$ . $O$ ne l'est pas. Donc Tom a tort. Le vrai milieu $M$ est sur $[A B]$ : $A M = 6 \div 2 = 3$ cm. ⛔ Le piège : oublier que le milieu est SUR le segment. Beaucoup de points sont à égale distance de $A$ et de $B$ . Réponse : non ; $M$ est sur $[A B]$ , avec $A M = 3$ cm.
11. Je calcule le chemin qui passe par $F$ : $EF + FG = 4, 5 + 6, 5 = 11$ cm. a) $EG = 11$ cm : le passage par $F$ ne rallonge rien. Donc $F$ est sur le segment $[EG]$ . Les trois points sont alignés. b) $EG = 9$ cm : le chemin par $F$ est plus long que le segment. Donc $F$ n'est pas sur $[EG]$ . ⛔ Le piège : dire « presque égal, donc aligné ». Il faut une égalité EXACTE. Réponse : a) oui ; b) non.
12. $M$ est le milieu : $A M = 7 \div 2 = 3, 5$ cm. Sur le segment, l'ordre est $A$ , $N$ , $M$ , $B$ . $NM = A M - A N = 3, 5 - 2 = 1, 5$ cm. $NB = A B - A N = 7 - 2 = 5$ cm. ⭐ Contrôle : $A N + NM + MB = 2 + 1, 5 + 3, 5 = 7$ cm. ⛔ Le piège : calculer $3, 5 +$ $2$ . $N$ est ENTRE $A$ et $M$ : je soustrais. Réponse : $NM = 1, 5$ cm et $NB = 5$ cm.
13. $A M = 16 \div 2 = 8$ cm. $A N = 8 \div 2 = 4$ cm. Et $NM = 4$ cm aussi. $NP = 4 \div 2 = 2$ cm. $A P = A N + NP = 4 + 2 = 6$ cm. $PB = A B - A P = 16 - 6 = 10$ cm. ⛔ Le piège : diviser $16$ par $2$ trois fois, et répondre $2$ cm. $A P$ n'est pas le dernier morceau : c'est $A N +$ $NP$ . Réponse : $A P = 6$ cm et $PB = 10$ cm.
14. a) Le trajet : $3, 2 + 4, 1 = 7, 3$ km. b) $7, 3 - 5, 8 = 1, 5$ km de plus. c) Non. $A R + RB$ est plus grand que $A B$ . Si $R$ était sur $[A B]$ , on aurait $A R + RB =$ $A B$ . ⛔ Le piège : croire que le trajet et la ligne droite ont la même longueur. Le détour par $R$ rallonge. Réponse : a) $7, 3$ km ; b) $1, 5$ km ; c) non.
15. a) $B$ est sur le segment $[A C]$ . Donc $A C = A B +$ $BC$ . $A C = 2, 7 + 4, 6 = 7, 3$ cm. b) $D$ n'est pas sur $[A C]$ : le chemin par $D$ est un détour. Donc $A D + D C$ est plus grand que $A C$ : plus de $7, 3$ cm. ⛔ Le piège : écrire $A D + D C =$ $A C$ . L'égalité marche seulement pour un point du segment. Réponse : a) $A C = 7, 3$ cm ; b) $A D + D C$ est plus grand que $A C$ .
16. $A$ est sur $1, 5$ et $M$ est sur $4$ . Donc $A M = 4 - 1, 5 = 2, 5$ cm. $M$ est le milieu : $MB = A M = 2, 5$ cm. $B$ est après $M$ : $4 + 2, 5 =$ $6, 5$ . $A B = 2, 5 + 2, 5 = 5$ cm. ⛔ Le piège : placer $B$ sur $8$ , le double de $4$ . Je double la LONGUEUR $A M$ , pas la graduation. Réponse : $B$ sur la graduation $6, 5$ ; $A B = 5$ cm.
17. Le raccourci du parc a) Oui. Le trajet par $C$ mesure $400 + 300 = 700$ m. Le raccourci est le segment $[ES]$ : c'est le chemin le plus court. $C$ n'est pas sur $[ES]$ . Donc $ES$ est plus petit que $700$ m. b) Non. Je regarde un autre chemin : de $E$ à $C$ en passant par $S$ . Il est plus long que le segment $[EC]$ : $ES + 300$ est plus grand que $400$ . Avec $90$ m, on aurait $90 + 300 = 390$ m. C'est moins que $400$ m : impossible. c) $700 - 500 = 200$ m gagnés. ⛔ Le piège au b) : croire qu'un raccourci peut être aussi court qu'on veut. Il mesure au moins $400 - 300 = 100$ m. Réponse : a) oui, moins de $700$ m ; b) non ; c) $200$ m.
18. La ligne de tram a) $1, 8 + 2, 7 = 4, 5$ km. C'est exactement $S_{1} S_{3}$ . Donc $S_{2}$ est sur le segment $[S_{1} S_{3}]$ : les trois stations sont alignées. b) $S_{1} S_{4} = 4, 5 \div 2 = 2, 25$ km. c) Sur le segment, l'ordre est $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{4}$ , $S_{3}$ . $S_{2} S_{4} = 2, 25 - 1, 8 = 0, 45$ km, soit $450$ m. ⛔ Le piège au c) : ajouter au lieu de soustraire. $S_{2}$ et $S_{4}$ sont sur la même ligne, du même côté. Réponse : a) oui ; b) $2, 25$ km ; c) $0, 45$ km, soit $450$ m.
19. Le ruban plié Le premier pli est au milieu : à $120 \div 2 = 60$ cm. Le deuxième pli coupe chaque moitié en son milieu : à $30$ cm et à $90$ cm. a) $3$ marques : à $30$ cm, $60$ cm et $90$ cm. b) $4$ morceaux égaux : $120 \div 4 = 30$ cm chacun. c) Encore un pli : $8$ morceaux de $120 \div 8 = 15$ cm. ⛔ Le piège au a) : compter $4$ marques pour $4$ morceaux. Entre $4$ morceaux, il n'y a que $3$ plis. Réponse : a) $3$ marques, à $30$ , $60$ et $90$ cm ; b) $30$ cm ; c) $8$ morceaux de $15$ cm.
20. La carte au trésor a) $PT = 7 \div 2 = 3, 5$ cm sur la carte. En vrai : $3, 5 \times 20 = 70$ m. b) $PR + R A = 2 + 5 = 7$ cm. C'est exactement $P A$ . Donc $R$ est sur le segment $[P A]$ . c) Sur le segment, l'ordre est $P$ , $R$ , $T$ , $A$ . $RT = PT - PR = 3, 5 - 2 = 1, 5$ cm sur la carte. En vrai : $1, 5 \times 20 = 30$ m. ⛔ Le piège : oublier l'échelle. Sur la carte, ce sont des cm. Sur le terrain, des mètres. Réponse : a) $3, 5$ cm, soit $70$ m ; b) oui ; c) $1, 5$ cm, soit $30$ m.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : distances et milieu d'un segment, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3