La fréquence : lancer pour de vraicours et exercices corrigés de maths 6e
Un dé a 1 chance sur 6 de donner un 6. Mais que se passe-t-il quand on le lance pour de vrai ?
Fréquences observées : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.À quoi ça sert : la fréquence : lancer pour de vrai
Au basket, on compte les tirs réussis sur les tirs tentés : c'est une fréquence. Un fabricant de jouets en teste des centaines, pas trois. Un chercheur compte les oiseaux qui reviennent au nid chaque printemps. Plus on a de résultats, plus on peut leur faire confiance.
Un peu d'histoire : la fréquence : lancer pour de vrai
Vers 1750, le savant français Buffon lance une pièce 4 040 fois. Il obtient 2 048 fois le même côté : une fréquence de 0,507. Plus tard, l'Anglais Karl Pearson la lance 24 000 fois. Il trouve 0,5005 : encore plus près de 0,5 !
Définition : la fréquence : lancer pour de vrai
On répète une expérience et on compte ce qui sort. La fréquence observée d'un résultat, c'est le nombre de fois où il est sorti, divisé par le nombre d'essais. Elle est toujours entre 0 et 1.
| Résultat | Bâtons | Effectif |
|---|---|---|
| deux piles | ||||| | | 6 |
| autre chose | ||||| ||||| |||| | 14 |
Propriétés : la fréquence : lancer pour de vrai
Toujours entre 0 et 1
Un résultat ne peut pas sortir plus souvent qu'on n'a lancé. Une fréquence de 1,4 est donc une erreur de calcul.
0 : jamais sorti · 1 : sorti à chaque fois
Avant ou après ?
La probabilité se calcule avant de lancer. La fréquence se compte après, et elle change d'une série à l'autre.
| Pièce 1 | Pièce 2 | Deux piles ? |
|---|---|---|
| Pile | Pile | oui |
| Pile | Face | non |
| Face | Pile | non |
| Face | Face | non |
1 issue sur 4 : la probabilité vaut 0,25
Un petit écart est normal
Sur 20 lancers, on attend environ 5 « deux piles ». En obtenir 6, c'est normal : c'est le hasard.
« Deux piles » sur 20 lancers
Répéter réduit l'écart
Plus on lance, plus la fréquence se rapproche de la probabilité. Elle ne tombe presque jamais pile dessus.
En bas, le nombre de lancers. L'écart rouge fond.
La formule : la fréquence : lancer pour de vrai
La fréquence observée
fréquence = nombre de fois obtenu ÷ nombre d'essais ·
On peut aussi l'écrire en pourcentage : 0,3, c'est 30 %.
Méthode : la fréquence : lancer pour de vrai
1. Compter, puis diviser
On compte combien de fois le résultat est sorti, et combien de fois on a lancé. Puis on divise : 6 ÷ 20 = 0,3.
2. Prévoir ce qu'on attend
Un 6 a 1 chance sur 6. Sur 60 lancers, on attend environ 60 ÷ 6 = 10 six, pas exactement 10.
1 face sur 6 : environ 10 six sur 60 lancers
3. Regarder le nombre d'essais
Une série courte peut beaucoup s'écarter. Une longue série s'écarte très peu : on lui fait plus confiance.
Écart à 0,5
En bas, le nombre de lancers : l'écart fond.
Selon ce que l'on cherche : la fréquence : lancer pour de vrai
Décrire une série
On fait tourner 25 fois une roue à 5 secteurs pareils. Le bleu sort 6 fois : 6 ÷ 25 = 0,24, proche de 0,2.
1 secteur bleu sur 5 : probabilité 0,2
Repérer un dé truqué
3 six sur 6 lancers : le hasard suffit. 300 six sur 600 lancers, au lieu de 100 : là, le dé est suspect.
| Lancers | 6 attendus | 6 obtenus |
|---|---|---|
| 6 | 1 | 3 |
| 600 | 100 | 300 |
Mettre en commun
Seul, on lance 20 fois. Toute la classe réunie fait 600 lancers : la fréquence est bien plus fiable.
Exemples corrigés : la fréquence : lancer pour de vrai
Deux piles sur 20 lancers
Une classe lance 20 fois deux pièces. Elle obtient « deux piles » 6 fois.
Quelle est la fréquence observée ? Faut-il s'inquiéter ?
« deux piles » : P et P
La fréquence est 6 ÷ 20 = 0,3. La probabilité vaut 0,25 : on attendait 20 ÷ 4 = 5 fois. On a eu 6 au lieu de 5. Sur 20 lancers, cet écart est normal : rien d'inquiétant.
Cinq piles de suite
Une pièce bien équilibrée tombe 5 fois de suite sur pile.
Quelle est la chance d'avoir face au lancer suivant ?
5 piles… et le 6e lancer ? Toujours 1 chance sur 2
La pièce n'a pas de mémoire. Chaque lancer est un nouveau départ. Face a toujours 1 chance sur 2, soit 0,5. Face n'est pas « due ».
20 ou 2 000 lancers ?
Deux séries donnent la même fréquence de « deux piles » : 0,30. La série A a 20 lancers, la série B en a 2 000.
Laquelle renseigne le mieux sur la vraie probabilité ?
| Série | Lancers | Fréquence |
|---|---|---|
| A | 20 | 0,30 |
| B | 2 000 | 0,30 |
La série B. Sur 20 lancers, un ou deux résultats de plus changent tout. Sur 2 000, le hasard a beaucoup moins de prise. Plus la série est longue, plus on peut lui faire confiance.
Pièges à éviter : la fréquence : lancer pour de vrai
- Croire que 20 lancers donnent pile le résultat calculé. On attendait 5, on a eu 6 : c'est normal.
- Croire que la pièce doit « rattraper ». Après 5 piles, face a toujours 1 chance sur 2.
- Trouver une fréquence plus grande que 1. C'est toujours une erreur de calcul.
À retenir : la fréquence : lancer pour de vrai
- Fréquence = nombre de fois obtenu ÷ nombre d'essais. Elle est entre 0 et 1.
- La probabilité se calcule avant de lancer ; la fréquence se compte après.
- Plus on répète, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.
Exercices corrigés : la fréquence : lancer pour de vrai
1. On lance un dé 50 fois. On obtient un 6 huit fois. Quelle est la fréquence observée du 6 ?
Voir la correction
On divise le nombre de fois obtenu par le nombre de lancers : 8 ÷ 50 = 0,16, soit 16 %.
2. Une fréquence observée peut-elle valoir 1,4 ?
Voir la correction
Non. Un résultat ne peut pas sortir plus souvent qu'on n'a lancé. Une fréquence est toujours entre 0 et 1.
3. On lance deux pièces 40 fois. À combien de « deux piles » peut-on s'attendre, à peu près ?
Voir la correction
« Deux piles » a 1 chance sur 4. 40 ÷ 4 = 10. On attend environ 10 « deux piles », sans doute pas exactement 10.
4. Une roue a 5 secteurs pareils, dont un vert. On la fait tourner 30 fois. Combien de fois le vert, à peu près ?
Voir la correction
Le vert a 1 chance sur 5. 30 ÷ 5 = 6. On attend environ 6 fois le vert.
5. La probabilité d'un résultat vaut 0,5. Sur 10 essais, on observe 0,6. Sur 1 000 essais, 0,508. Quelle série s'écarte le moins ?
Voir la correction
Sur 10 essais, l'écart vaut 0,6 − 0,5 = 0,1. Sur 1 000 essais, il vaut 0,508 − 0,5 = 0,008. La longue série est bien plus proche de 0,5.
6. Un dé donne 3 fois le 6 sur 6 lancers. Est-il truqué ?
Voir la correction
On ne peut pas le dire. Sur 6 lancers, le hasard suffit à l'expliquer. Il faudrait lancer beaucoup plus de fois.
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