Fréquences observées : 20 exercices corrigésmaths 6e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : fréquences observées, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Je lis la liste une seule fois. Un trait par lettre, dans la bonne ligne. Pile : $13$ fois. Face : $7$ fois. Contrôle : $13+7=20$ lancers. b) Pile est sorti $13$ fois sur $20$ lancers : $\frac{13}{20}$. $\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=$$0,65$. ⛔ Le piège : relire la liste pour chaque lettre. On saute vite une lettre. Le total $20$ contrôle tout. Réponse : a) $13$ fois ; b) $\frac{13}{20}$, soit $0,65$.

   face	traits	effectif
   pile	||||| ||||| |||	13
   face	||||| ||	7
   total		20

2. 2. a) J'additionne toutes les barres : $8+11+9+12+10+10=$$60$. b) La barre du $4$ porte $12$. c) Le $4$ est sorti $12$ fois sur $60$ : $\frac{12}{60}$. $12÷60=$$0,2$. ⛔ Le piège : diviser dans le mauvais sens, $60÷12=$$5$. Une fréquence ne dépasse jamais $1$. Réponse : b) $12$ fois ; c) $\frac{12}{60}$, soit $0,2$.
3. 3. a) $64$ fois sur $100$ : $\frac{64}{100}=$$0,64$, soit $64$ %. b) $100-64=36$ fois à l'envers. $\frac{36}{100}=$$0,36$, soit $36$ %. ⭐ Contrôle : $64+36=100$ %. ⛔ Le piège : oublier l'autre issue. Les deux fréquences font $1$ à elles deux. Réponse : a) $0,64$, soit $64$ % ; b) $36$ fois, $0,36$.
4. 4. a) $1$ secteur vert sur $4$ secteurs égaux : $1$ chance sur $4$, soit $\frac{1}{4}$. b) Un quart des tours : $40÷4=10$ verts, à peu près. c) Non. C'est un ordre de grandeur. On obtiendra peut-être $8$, $11$ ou $13$ verts. ⛔ Le piège : croire que l'expérience DOIT donner $10$. Le hasard fait varier le résultat. Réponse : a) $\frac{1}{4}$ ; b) environ $10$ ; c) non.
5. 5. a) Amir : $0,7-0,5=$$0,2$. Bella : $0,51-0,5=$$0,01$. b) La série de Bella : $1000$ lancers, contre $10$. Sur $10$ lancers, le hasard a beaucoup de place. Sur $1000$, beaucoup moins. Sa fréquence est presque collée à $0,5$. ⛔ Le piège : croire la série courte parce qu'elle « surprend ». Plus on lance, plus la fréquence est fiable. Réponse : a) $0,2$ et $0,01$ ; b) celle de Bella.
6. 6. a) $1$ bille rouge sur $5$ billes : $\frac{1}{5}$, soit $0,2$. b) $13$ fois sur $50$ : $\frac{13}{50}=\frac{26}{100}=$$0,26$. c) Un cinquième des tirages : $50÷5=10$ rouges, à peu près. d) On attendait environ $10$ rouges. On en a eu $13$ : $3$ de plus. Sur $50$ tirages seulement, c'est un écart normal. ⛔ Le piège : conclure que le sac est « faux ». Une probabilité ne promet pas un résultat exact. Réponse : a) $0,2$ ; b) $0,26$ ; c) environ $10$ ; d) non.
7. 7. Une fréquence, c'est un nombre de fois divisé par un nombre d'essais. Un résultat ne peut pas sortir plus souvent qu'on n'a lancé. Donc une fréquence ne dépasse jamais $1$. a) $0,4$ est entre $0$ et $1$ : possible. b) $1,3$ est plus grand que $1$ : impossible. c) $0$ : le résultat n'est jamais sorti. Possible. d) $1$ : le résultat est sorti à chaque fois. Possible. e) $25$ fois sur $20$ essais ? Impossible : $25$ est plus grand que $20$. ⛔ Le piège : croire qu'une fréquence peut valoir plus que $1$ « si ça sort très souvent ». Réponse : impossibles : b) et e).
8. 8. La pièce n'a pas de mémoire. Elle ne sait pas ce qui est sorti avant. Au prochain lancer, pile et face ont chacun $1$ chance sur $2$, comme au premier lancer. Chloé a tort : face n'a pas plus de chances. ⛔ Le piège : croire que le hasard « rattrape ». Rien ne compense les $4$ piles. Réponse : non, face a toujours $1$ chance sur $2$.
9. 9. a) Pièce $1$, puis pièce $2$ : PP, PF, FP, FF. Il y a $4$ issues. b) Une seule issue donne « deux piles » : PP. Probabilité : $\frac{1}{4}$, soit $0,25$. c) $12$ fois sur $40$ : $\frac{12}{40}=\frac{3}{10}=$$0,3$. d) Un quart des lancers : $40÷4=$$10$. On a eu $12$ : $2$ de plus. C'est normal. ⛔ Le piège au a) : oublier FP. « Pile puis face » et « face puis pile » sont deux issues différentes. Sinon, on trouve $\frac{1}{3}$ au lieu de $\frac{1}{4}$. Réponse : b) $\frac{1}{4}$ ; c) $0,3$ ; d) environ $10$, l'écart est normal.

   pièce 1	pièce 2	deux piles ?
   P	P	oui
   P	F	non
   F	P	non
   F	F	non

10. 10. a) $\frac{7}{10}=$$0,7$. Puis $\frac{21}{50}=\frac{42}{100}=$$0,42$. Puis $\frac{106}{200}=\frac{53}{100}=$$0,53$. Puis $\frac{510}{1000}=$$0,51$. b) Les écarts à $0,5$ : $0,2$, puis $0,08$, puis $0,03$, puis $0,01$. c) L'écart devient de plus en plus petit. La fréquence se rapproche de $0,5$. d) Non. Elle descend à $0,42$, puis remonte à $0,53$. Elle oscille autour de $0,5$. ⛔ Le piège : croire que la fréquence monte toujours. C'est l'ÉCART qui diminue. Réponse : c) l'écart se réduit ; d) non.
11. 11. a) $1$ secteur sur $5$ : $\frac{1}{5}$, soit $0,2$. b) Un cinquième des tours : $100÷5=20$ verts, à peu près. c) On attendait environ $20$ verts. On en a eu $23$ : $3$ de plus. C'est un petit écart, normal avec le hasard. Sam n'a pas de raison de crier au truquage. ⛔ Le piège : croire que $23$ au lieu de $20$ prouve une triche. L'attendu est un ordre de grandeur. Réponse : a) $0,2$ ; b) environ $20$ ; c) l'écart est normal.
12. 12. a) Contrôle : $31+19=50$ tirages. Rouge : $\frac{31}{50}=\frac{62}{100}=$$0,62$. Bleu : $\frac{19}{50}=\frac{38}{100}=$$0,38$. b) La fréquence de rouge est proche de $0,6$. Avec $10$ billes, $0,6$ correspond à $6$ billes rouges sur $10$. Le sac contient sans doute $6$ billes rouges et $4$ bleues. ⛔ Le piège : dire « sûrement $6$ ». Les tirages donnent une bonne idée, pas une certitude. Réponse : a) $0,62$ et $0,38$ ; b) sans doute $6$ rouges.
13. 13. a) 6e A : $\frac{5}{20}=$$0,25$. 6e B : $\frac{2}{20}=$$0,1$. b) Écart de la 6e A : $0,25-0,17=$$0,08$. Écart de la 6e B : $0,17-0,1=$$0,07$. La 6e B est un peu plus proche. c) Ensemble : $5+2=7$ six, en $20+20=40$ lancers. $7÷40=$$0,175$. d) Oui : $0,175$ est tout près de $0,17$. Les deux séries se compensent. ⛔ Le piège : garder une seule classe. En réunissant les lancers, on en a plus : la fréquence est plus fiable. Réponse : a) $0,25$ et $0,1$ ; c) $0,175$ ; d) oui.
14. 14. a) $170$ graines sur $200$ : $\frac{170}{200}=\frac{85}{100}=$$0,85$, soit $85$ %. b) $9$ sur $10$ : $\frac{9}{10}=$$\frac{90}{100}$, soit $90$ %. c) $90-85=$$5$. L'écart est de $5$ points : c'est assez proche. Un seul semis peut varier : la terre, l'eau, le hasard. ⛔ Le piège : croire que le sachet promet exactement $180$ graines. « $9$ sur $10$ » est un ordre de grandeur, pas une promesse. Réponse : a) $85$ % ; b) $90$ % ; c) oui, assez proche.
15. 15. a) Le dé a $6$ faces, et une seule porte le $6$ : $1$ chance sur $6$. b) Non. Le dé n'a pas de mémoire. Les $15$ lancers d'avant ne changent rien au prochain. Il reste $1$ chance sur $6$. ⛔ Le piège : croire que le $6$ est « en retard » et va rattraper. Le hasard ne rattrape rien. Réponse : a) $1$ chance sur $6$ ; b) non.
16. 16. a) Les faces paires : $2$, $4$, $6$. C'est $3$ faces sur $6$, la moitié. La moitié de $300$ : $300÷2=150$ nombres pairs, à peu près. b) Le $1$ : $1$ face sur $6$. Un sixième de $300$ : $300÷6=$$50$. c) On attendait environ $50$. On a eu $43$ : $7$ de moins. Sur $300$ lancers, c'est un petit écart : c'est normal. ⛔ Le piège : attendre exactement $50$. On obtient presque toujours un peu plus ou un peu moins. Réponse : a) environ $150$ ; b) environ $50$ ; c) oui, c'est normal.

    résultat	attendu
    pair	150
    1	50

17. 17. La punaise a) Sur $25$ lancers, je multiplie par $4$ pour avoir des centièmes. G1 : $\frac{16}{25}=\frac{64}{100}=$$0,64$. G2 : $\frac{14}{25}=$$0,56$. G3 : $\frac{17}{25}=$$0,68$. G4 : $\frac{13}{25}=$$0,52$. b) Ensemble : $16+14+17+13=$$60$, sur $4\times 25=100$ lancers. Fréquence : $0,6$. c) Non. Les deux issues n'ont pas la même chance : la punaise n'est pas symétrique. Seule l'expérience peut nous renseigner. d) Environ $0,6$ : c'est la fréquence sur le plus grand nombre de lancers. ⛔ Le piège : dire « deux issues, donc une chance sur deux ». Ce n'est vrai que si les issues ont la même chance. Réponse : b) $0,6$ ; c) non ; d) environ $0,6$.
18. 18. Le dé de Zoé est-il truqué ? a) Série 1 : $2$ six sur $6$ lancers, soit $\frac{2}{6}$ : $1$ chance sur $3$. Série 2 : $\frac{180}{600}=\frac{30}{100}=$$0,3$. b) Le $6$ a $1$ chance sur $6$. Série 1 : $6÷6=1$ six attendu. Série 2 : $600÷6=100$ six attendus. c) Série 1 : $2$ au lieu de $1$. Sur $6$ lancers, le hasard fait ça très souvent. Série 2 : $180$ au lieu de $100$, soit $80$ de trop. Sur $600$ lancers, le hasard ne suffit plus. C'est la série 2 qui doit inquiéter Zoé : le dé est peut-être truqué. ⛔ Le piège : juger un écart sans regarder le nombre de lancers. Réponse : c) la série 2.
19. 19. Toute la classe lance deux pièces a) $25\times 20=500$ lancers. b) $\frac{131}{500}=\frac{262}{1000}=$$0,262$. c) Un quart de $500$ : $500÷4=$$125$. On a eu $131$ : $6$ de plus seulement. d) $\frac{8}{20}=\frac{4}{10}=$$0,4$. e) Celle de la classe : $0,262$ est tout près de $0,25$. Celle de Léo, $0,4$, en est loin. La classe a fait $500$ lancers, Léo seulement $20$. ⛔ Le piège : croire que Léo s'est trompé. Sur $20$ lancers, un tel écart arrive. C'est pour cela qu'on réunit les résultats. Réponse : a) $500$ ; b) $0,262$ ; c) $125$ ; d) $0,4$ ; e) celle de la classe.
20. 20. La roue du stand a) $2$ secteurs sur $8$ : $\frac{2}{8}=$$\frac{1}{4}$, soit $0,25$. b) Un quart de $80$ : $80÷4=20$ gains attendus. Fréquence : $26÷80=$$0,325$. c) $204÷800=$$0,255$. d) Écart après $80$ tours : $0,325-0,25=$$0,075$. Écart après $800$ tours : $0,255-0,25=$$0,005$. Avec plus de tours, la fréquence se rapproche de la probabilité. ⛔ Le piège : croire que l'écart finira à $0$. Il devient tout petit, mais le hasard reste là. Réponse : a) $0,25$ ; b) $20$, et $0,325$ ; c) $0,255$ ; d) l'écart se réduit.