La dérivation
Dériver, c'est mesurer la vitesse à laquelle une fonction varie à un instant précis. Le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangente à la courbe : il annonce si la fonction monte, descend, et à quel point.
À quoi ça sert ?
Le nombre dérivé, c'est la « vitesse à l'instant précis » et non la moyenne : la vitesse lue au compteur en montant la Route du Littoral, le débit de la Rivière des Galets qui grimpe pendant un cyclone, ou le coût marginal d'une production (ce que coûte le tout dernier objet fabriqué). Partout où une grandeur varie, sa dérivée dit à quelle vitesse.
Un peu d'histoire
Le calcul différentiel naît à la fin du XVIIe siècle. Isaac Newton (en Angleterre) et Gottfried Leibniz (en Allemagne) l'inventent chacun de leur côté — d'où une célèbre querelle sur la paternité. Pierre de Fermat avait déjà cherché les tangentes un peu avant. La notation f' arrive plus tard, avec Lagrange.
Définition
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. C'est la limite du taux de variation (f(a + h) − f(a)) / h quand h devient très petit (h → 0). La fonction dérivée f' associe à chaque x ce nombre dérivé f'(x).
Propriétés
Le nombre dérivé
f'(a) est la limite du taux de variation (f(a + h) − f(a)) / h quand h → 0 : c'est la pente de la tangente au point d'abscisse a.
Dériver une somme
(u + v)' = u' + v' : on dérive terme à terme. Un facteur constant se garde : (k·u)' = k·u', et une constante seule donne 0.
Produit et quotient
(u × v)' = u'v + uv' ; (u / v)' = (u'v − uv') / v². Attention : ce n'est jamais le produit ni le quotient des dérivées.
La formule
Les dérivées usuelles (à connaître par cœur)
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
k' = 0 · (ax + b)' = a · (x²)' = 2x · (x³)' = 3x² · (1/x)' = −1/x² · (√x)' = 1/(2√x)
1. Dériver terme à terme
On dérive chaque terme avec les formules usuelles. Les constantes disparaissent (leur dérivée est 0).
2. Calculer un nombre dérivé
On dérive d'abord f pour obtenir f'(x), PUIS on remplace x par a pour calculer f'(a).
3. Écrire une tangente
Tangente au point d'abscisse a : y = f'(a)(x − a) + f(a). La pente est f'(a) ; elle passe par (a ; f(a)).
Selon ce que l'on cherche
Une vitesse, un débit instantané
Le nombre dérivé d'une grandeur en fonction du temps donne sa vitesse (ou son débit) à un instant précis.
La tangente à une courbe
La pente de la tangente en a est f'(a), et son équation est y = f'(a)(x − a) + f(a).
Un maximum ou un minimum
Un extremum se trouve là où f'(x) s'annule en changeant de signe : la tangente y est horizontale (pente 0).
Exemples corrigés
Le taux de variation
f(x) = x², entre a = 1 et b = 3.
Calculer le taux de variation.
Taux = (f(3) − f(1)) / (3 − 1) = (9 − 1) / 2 = 8 / 2 = 4. C'est la pente de la corde entre les deux points.
Dériver un polynôme
f(x) = 3x² − 5x + 2.
Calculer f'(x).
On dérive terme à terme : (3x²)' = 6x, (−5x)' = −5, (2)' = 0. Donc f'(x) = 6x − 5.
Un nombre dérivé
f(x) = x² − 4x + 1.
Calculer f'(3).
D'abord f'(x) = 2x − 4. Puis on remplace x par 3 : f'(3) = 2 × 3 − 4 = 2.
L'équation de la tangente
f(x) = x², au point d'abscisse a = 1.
Donner l'équation de la tangente.
f(1) = 1 et f'(1) = 2. Tangente : y = f'(1)(x − 1) + f(1) = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
Pièges à éviter
- Confondre f(a) et f'(a) : f(a) est l'ordonnée du point (la hauteur), f'(a) est la pente de la tangente en ce point.
- Croire que (u × v)' = u' × v' : FAUX. La dérivée d'un produit est (uv)' = u'v + uv', pas le produit des dérivées.
- Oublier de remplacer x par a APRÈS avoir dérivé : on calcule d'abord f'(x), puis f'(a).
À retenir
- f'(a) = la pente de la tangente en a = la limite du taux de variation quand h → 0.
- (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ ; les dérivées usuelles se connaissent par cœur.
- Tangente au point d'abscisse a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
Je m'entraîne
1. Pour f(x) = x², calcule le taux de variation entre 1 et 3.
Voir la correction
Taux = (f(3) − f(1)) / (3 − 1) = (9 − 1) / 2 = 4.
2. Dérive f(x) = 3x² − 5x + 2.
Voir la correction
On dérive terme à terme : f'(x) = 6x − 5 (la constante 2 disparaît).
3. Pour f(x) = x² − 4x + 1, calcule f'(3).
Voir la correction
f'(x) = 2x − 4, donc f'(3) = 2 × 3 − 4 = 2.
4. Donne l'équation de la tangente à f(x) = x² au point d'abscisse a = 1.
Voir la correction
f(1) = 1, f'(1) = 2. Tangente : y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
📚 Révise cette fiche en flashcards
Connecte-toi pour retourner cette fiche en cartes de rappel actif — et garder ta progression.
Se connecter