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Les suites numériquescours et exercices corrigés de maths 1re spé

Une suite, c'est une liste de nombres rangés par leur rang. Deux questions suffisent à la comprendre : qu'est-ce qu'on fait pour passer d'un terme au suivant, et sait-on sauter directement au rang 100 ? Si on ajoute toujours le même nombre, elle est arithmétique. Si on multiplie toujours par le même nombre, elle est géométrique.

Les suites numériques : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.

PrérequisCalcul littéral, puissances, pourcentages

L'idée cléOn ajoute, ou on multiplie

OutilLe terme général, pour atteindre un rang lointain

À quoi ça sert : les suites numériques

Deux clubs de randonnée ouvrent le même jour à Saint-Denis, avec $250$ membres chacun. Le premier en gagne $30$ par an. Le second voit son nombre de membres augmenter de $12 %$ par an. La première année, les deux arrivent à $280$ membres : exactement pareil. Dix ans plus tard, le premier en a $550$ et le second $776$ . Vingt ans plus tard, $850$ contre $2412$ . ⭐ C'est toute la différence entre ajouter et multiplier. Une hausse en pourcentage démarre doucement, parfois plus doucement qu'une hausse fixe, et elle finit toujours par la dépasser.

Un peu d'histoire : les suites numériques

Les suites sont plus vieilles que l'algèbre. Une tablette babylonienne calcule déjà des intérêts composés, c'est-à-dire une suite géométrique, près de deux mille ans avant notre ère. Au XIIIᵉ siècle, Fibonacci pose son célèbre problème de lapins et obtient une suite où chaque terme est la somme des deux précédents. ⚠️ Cette suite-là n'est ni arithmétique ni géométrique : on n'ajoute pas toujours le même nombre, et on ne multiplie pas toujours par le même. Il a fallu attendre le XVIIIᵉ siècle pour savoir écrire son terme général.

Définition : les suites numériques

Une SUITE est une liste de nombres rangés par leur rang : $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , et ainsi de suite. On la décrit de deux façons. Par RÉCURRENCE, on dit comment passer d'un terme au suivant : $u_{n + 1} = u_{n} +$ $3$ . De façon EXPLICITE, on donne le terme directement à partir de son rang : $u_{n} = 4 +$ $3 n$ . ⭐ C'est la même suite. Mais pour connaître $u_{100}$ , la première écriture oblige à calculer les cent termes d'avant, alors que la seconde donne la réponse en un calcul.

⭐ Voici le seul tri à faire devant une suite. En haut, on ajoute 3 à chaque rang : la suite est arithmétique, et 3 est sa raison. En bas, on multiplie par 2 : elle est géométrique, et 2 est sa raison. Le mot « raison » sert dans les deux cas, mais il ne désigne pas la même chose.

Propriétés : les suites numériques

⭐ On ajoute : arithmétique

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre $r$ pour passer d'un terme au suivant. Ce nombre s'appelle la raison. Pour le MONTRER, on calcule $u_{n + 1} -$ $u_{n}$ : si le résultat ne dépend plus de $n$ , c'est gagné.

u_{n + 1} = u_{n} + r

u_{n} = u_{0} + r n

montrer : u_{n + 1} - u_{n} = r

La raison est le nombre qu'on ajoute. Pas le premier terme.

⭐ On multiplie : géométrique

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre $q$ . Pour le MONTRER, on ne soustrait pas : on DIVISE. On calcule $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ , et si le résultat ne dépend plus de $n$ , la suite est géométrique.

u_{n + 1} = q \times u_{n}

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

montrer : \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q

Si tu soustrayais ici, le résultat dépendrait encore de n et tu ne conclurais rien.

Monte-t-elle, ou descend-elle ?

Pour une suite, pas besoin de dériver : le sens se lit sur la raison. Si la suite est arithmétique, on regarde le signe de $r$ . Si elle est géométrique et part d'un nombre positif, on regarde si $q$ est plus grand que $1$ , ou compris entre $0$ et $1$ .

r > 0

elle monte

r < 0

elle descend

Pour une géométrique à termes positifs : q plus grand que 1 elle monte, q entre 0 et 1 elle descend.

⛔ Ni l'une ni l'autre : la suite auxiliaire

Quand $u_{n + 1} = a u_{n} +$ $b$ , la suite n'est ni arithmétique ni géométrique, et on ne sait pas écrire son terme général. On pose alors $v_{n} = u_{n} -$ $L$ , où $L$ est donné par l'énoncé : c'est la valeur qui ne bouge plus, celle qui vérifie $L = a L +$ $b$ . Cette nouvelle suite $(v_{n})$ , elle, est géométrique de raison $a$ .

Les traits pointillés sont l'écart. C'est LUI qui forme une suite géométrique : on l'appelle v, et on le note v = u − 30.

Méthode : les suites numériques

1. 1. Je calcule des termes

Si la suite est donnée explicitement, je remplace $n$ par la valeur demandée. Si elle est donnée par récurrence, je calcule les termes un par un, dans l'ordre.

u_{n} = 3 n + 5 ⟶ u_{10} = 35

u_{0} = 2 et u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1

u_{1} = 5, u_{2} = 14, u_{3} = 41

Avec une récurrence, on ne peut pas sauter : il faut passer par tous les termes.

2. 2. Je reconnais, et je le montre

Je calcule la différence entre deux termes consécutifs. Si elle est constante, la suite est arithmétique. Sinon, je calcule le quotient. S'il est constant, elle est géométrique.

u_{n + 1} - u_{n}

→

constante ?

→

sinon \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

→

constant ?

Deux tests, toujours dans cet ordre. Si aucun ne marche, on pense à la suite auxiliaire.

3. 3. J'écris le terme général

Une fois la famille et la raison connues, le terme général s'écrit tout seul. C'est lui qui permet d'atteindre n'importe quel rang sans calculer les précédents.

arithm \overset{e}{ˊ} tique

u_{n} = u_{0} + r n

g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

Le premier terme compte : si la suite commence à u₁, les formules se décalent d'un rang.

Selon ce que l'on cherche : les suites numériques

⭐ Un pourcentage, c'est une suite géométrique

Augmenter de $12 %$ , c'est multiplier par $1, 12$ . Baisser de $10 %$ , c'est multiplier par $0, 9$ . ⛔ La raison n'est jamais le pourcentage lui-même : c'est le coefficient multiplicateur.

La bleue passe d'abord SOUS la verte. Puis elle la dépasse, et l'écart ne cesse plus de grandir.

+ 12 % ⟶ q = 1, 12

- 10 % ⟶ q = 0, 9

Deux hausses de 10 % ne font pas 20 % : 1,1 × 1,1 = 1,21, soit 21 %.

Additionner beaucoup de termes

Pour une suite arithmétique, la somme vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier. Pour une géométrique, on applique la formule. ⚠️ De $u_{0}$ à $u_{n}$ , il y a $n + 1$ termes, pas $n$ .

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

1 + q + \dots + q^{n} = \frac{q ^{n + 1} - 1}{q - 1}

La seconde formule ne vaut que si q est différent de 1.

Atteindre un seuil

« À partir de quelle année dépasse-t-on mille ? » En première, on ne résout pas cette question par une formule : on calcule les termes un par un jusqu'à dépasser la valeur visée. C'est exactement ce que fait un algorithme « tant que ».

tant que u ⩽ 2000 :

u \leftarrow 1, 05 \times u

tours compt \overset{e}{ˊ} s : n = 15

On répond par le RANG atteint, pas par la valeur.

Exemples corrigés : les suites numériques

Montrer qu'une suite est arithmétique

$u_{n} = 7 -$ $2 n$ .

Montrer que $(u_{n})$ est arithmétique, et donner sa raison.

$u_{n + 1} = 7 - 2 (n + 1) = 5 -$ $2 n$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (5 - 2 n) - (7 - 2 n) =$ $- 2$ . La différence vaut $- 2$ quel que soit $n$ : la suite est arithmétique, de raison $- 2$ et de premier terme $u_{0} =$ $7$ .

Montrer qu'une suite est géométrique

$u_{n} = 3 \times$ $4^{n}$ .

Montrer que $(u_{n})$ est géométrique, et donner sa raison.

$u_{n + 1} = 3 \times 4^{n + 1} = 3 \times 4^{n} \times$ $4$ . $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} =$ $4$ . Le quotient vaut $4$ quel que soit $n$ : la suite est géométrique, de raison $4$ et de premier terme $u_{0} =$ $3$ .

Calculer une somme

$(u_{n})$ arithmétique, $u_{0} =$ $5$ , raison $3$ .

Calculer $u_{0} + u_{1} + \dots +$ $u_{20}$ .

De $u_{0}$ à $u_{20}$ , il y a $21$ termes. $u_{20} = 5 + 20 \times 3 =$ $65$ . $S = 21 \times \frac{5 + 65}{2} = 21 \times 35 =$ $735$ . ⛔ Compter $20$ termes au lieu de $21$ est l'erreur la plus fréquente.

La suite auxiliaire

$u_{0} = 10$ et $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} +$ $6$ . On pose $v_{n} = u_{n} -$ $30$ .

Montrer que $(v_{n})$ est géométrique, puis exprimer $u_{n}$ .

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 30 = 0, 8 u_{n} + 6 - 30 = 0, 8 u_{n} -$ $24$ . Or $0, 8 \times 30 =$ $24$ , donc $v_{n + 1} = 0, 8 (u_{n} - 30) =$ $0, 8 v_{n}$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 8$ , avec $v_{0} = 10 - 30 =$ $- 20$ . Donc $v_{n} = - 20 \times$ $0, 8^{n}$ , et $u_{n} = v_{n} + 30 = - 20 \times 0, 8^{n} +$ $30$ . ⛔ Ne pas s'arrêter à $v_{n}$ : la question porte sur $u_{n}$ .

Pièges à éviter : les suites numériques

⛔ Confondre la raison et le premier terme. Dans $u_{n} = 5 +$ $4 n$ , la raison est $4$ , et $5$ est le premier terme.
⛔ Soustraire pour montrer qu'une suite est géométrique. Pour une géométrique, on DIVISE.
⛔ Prendre le pourcentage pour la raison. Une hausse de $12 %$ donne $q =$ $1, 12$ , jamais $q =$ $12$ .
⚠️ Compter $n$ termes de $u_{0}$ à $u_{n}$ . Il y en a $n +$ $1$ : le rang $0$ est un terme comme les autres.
⚠️ S'arrêter à $v_{n}$ dans un exercice de suite auxiliaire. La question porte presque toujours sur $u_{n}$ .
⚠️ Croire qu'une hausse fixe reste devant une hausse en pourcentage. Elle est dépassée, toujours : la seule question est quand.

À retenir : les suites numériques

⭐ On ajoute toujours le même nombre : ARITHMÉTIQUE, $u_{n} = u_{0} +$ $r n$ .
⭐ On multiplie toujours par le même nombre : GÉOMÉTRIQUE, $u_{n} = u_{0} \times$ $q^{n}$ .
Montrer : la DIFFÉRENCE pour une arithmétique, le QUOTIENT pour une géométrique.
Un pourcentage se traduit par un coefficient multiplicateur : $+ 12 %$ donne $1, 12$ .
Le sens de variation se lit sur la raison, sans dériver.
Ni l'une ni l'autre : on pose $v_{n} = u_{n} -$ $L$ , et $(v_{n})$ devient géométrique.

Exercices corrigés : les suites numériques

1. Soit $u_{n} = 4 n -$ $7$ . Donner la raison et le premier terme.
Voir la correction
$u_{n + 1} - u_{n} =$ $4$ : arithmétique de raison $4$ , et $u_{0} =$ $- 7$ .
2. Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} -$ $1$ . Calculer $u_{3}$ .
Voir la correction
$u_{1} =$ $5$ , $u_{2} =$ $14$ , $u_{3} =$ $41$ . On passe par tous les termes.
3. Un loyer de $200$ € augmente de $8 %$ par an. Quel est le loyer au bout de $3$ ans ?
Voir la correction
$200 \times 1, 0 8^{3} \approx 251, 94$ €. ⛔ Et non $248$ € : le pourcentage porte chaque année sur un loyer déjà augmenté.
4. Calculer $1 + 2 + \dots +$ $50$ .
Voir la correction
$\frac{50 \times 51}{2} =$ $1275$ .
5. Soit $u_{n} = 5 \times$ $2^{n}$ . Cette suite monte-t-elle ou descend-elle ?
Voir la correction
$q =$ $2$ , plus grand que $1$ , et le premier terme est positif : elle monte.
6. $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 5$ , $v_{0} =$ $60$ , et $v_{n} = u_{n} -$ $40$ . Exprimer $u_{n}$ .
Voir la correction
$v_{n} = 60 \times$ $0, 5^{n}$ , donc $u_{n} = 60 \times 0, 5^{n} +$ $40$ . La suite s'approche de $40$ .

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