Les suites numériques : 20 exercices corrigésmaths 1re spé — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du calcul d'un terme au problème de contrôle, avec un rappel de cours de trois lignes avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape, avec le pourquoi de chaque étape et le piège nommé.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On applique, on écrit le résultat.

Rappel de cours

Écriture EXPLICITE : $u_{n}$ se calcule directement à partir de $n$ . On remplace $n$ par sa valeur.
Écriture par RÉCURRENCE : $u_{n + 1}$ se calcule à partir de $u_{n}$ . Il faut tous les termes précédents.
Suite ARITHMÉTIQUE : on AJOUTE toujours le même nombre $r$ . Alors $u_{n} = u_{0} +$ $r n$ .
Suite GÉOMÉTRIQUE : on MULTIPLIE toujours par le même nombre $q$ . Alors $u_{n} = u_{0} \times$ $q^{n}$ .

1
Soit $u_{n} = 3 n +$ $5$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{10}$ .
Voir la correction
L'écriture est explicite : on remplace $n$ par la valeur demandée. $u_{0} = 3 \times 0 + 5 =$ $5$ . $u_{1} = 3 \times 1 + 5 =$ $8$ . $u_{10} = 3 \times 10 + 5 =$ $35$ . ⭐ On a calculé $u_{10}$ sans passer par les neuf termes d'avant : c'est tout l'intérêt de l'écriture explicite.
2
Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} -$ $1$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
Voir la correction
L'écriture est par récurrence : chaque terme se calcule à partir du précédent. $u_{1} = 3 \times 2 - 1 =$ $5$ . $u_{2} = 3 \times 5 - 1 =$ $14$ . $u_{3} = 3 \times 14 - 1 =$ $41$ . ⚠️ On ne peut pas sauter directement à $u_{3}$ : il faut passer par $u_{1}$ et $u_{2}$ . C'est la limite de cette écriture.
Suite
2
terme 0
→
×3 −1
5
terme 1
→
×3 −1
14
terme 2
→
×3 −1
41
terme 3
Règle
u(n+1) = 3u(n) − 1
3
Soit $u_{n} = 4 n -$ $7$ . Cette suite est-elle arithmétique ? Si oui, donner sa raison et son premier terme.
Voir la correction
On calcule la différence entre deux termes qui se suivent. $u_{n + 1} = 4 (n + 1) - 7 = 4 n + 4 - 7 = 4 n -$ $3$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (4 n - 3) - (4 n - 7) =$ $4$ . La différence vaut $4$ quel que soit $n$ : la suite est ARITHMÉTIQUE, de raison $r =$ $4$ . Son premier terme est $u_{0} = 4 \times 0 - 7 =$ $- 7$ . ⚠️ La raison est $4$ , pas $- 7$ : c'est le nombre qui multiplie $n$ .
4
Soit $u_{n} = 5 \times$ $2^{n}$ . Cette suite est-elle géométrique ? Si oui, donner sa raison et son premier terme.
Voir la correction
On calcule le quotient d'un terme par le précédent. $u_{n + 1} = 5 \times 2^{n + 1} = 5 \times 2^{n} \times$ $2$ . $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{5 \times 2 ^{n} \times 2}{5 \times 2 ^{n}} =$ $2$ . Le quotient vaut $2$ quel que soit $n$ : la suite est GÉOMÉTRIQUE, de raison $q =$ $2$ . Son premier terme est $u_{0} = 5 \times 2^{0} = 5 \times 1 =$ $5$ . ⚠️ $2^{0} =$ $1$ , donc $u_{0} = 5$ et non $0$ .
Suite
5
terme 0
→
×2
10
terme 1
→
×2
20
terme 2
→
×2
40
terme 3
→
×2
80
terme 4
Règle
u(n) = 5 × 2ⁿ
5
Soit $u_{n} = - 3 n +$ $10$ . La suite est-elle croissante ou décroissante ?
Voir la correction
On calcule $u_{n + 1} -$ $u_{n}$ . $u_{n + 1} = - 3 (n + 1) + 10 = - 3 n - 3 +$ $10$ . $u_{n + 1} - u_{n} =$ $- 3$ . La différence est NÉGATIVE : chaque terme est plus petit que le précédent. La suite est décroissante. ⭐ Pour une suite arithmétique, le signe de la raison suffit : $r > 0$ croissante, $r < 0$ décroissante.
6
Une suite est décrite ainsi : « on part de $100$ , et on ajoute $15$ à chaque rang ». a) Écrire cette suite par récurrence. b) Écrire cette suite explicitement.
Voir la correction
a) « On part de $100$ » donne $u_{0} =$ $100$ . « On ajoute $15$ » donne $u_{n + 1} = u_{n} +$ $15$ . b) Au rang $n$ , on a ajouté $15$ exactement $n$ fois : $u_{n} = 100 +$ $15 n$ . ⭐ Les deux écritures décrivent la MÊME suite. La première dit comment avancer, la seconde permet d'arriver directement au rang voulu.
Suite
100
terme 0
→
+15
115
terme 1
→
+15
130
terme 2
→
+15
145
terme 3
Règle
u(n) = 100 + 15n
7
Un loyer de $200$ € augmente de $8 %$ par an. Par quel nombre multiplie-t-on chaque année ? Quel sera le loyer au bout de $3$ ans ? (arrondir au centime)
Voir la correction
Augmenter de $8 %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{8}{100} =$ $1, 08$ . La suite est géométrique de raison $1, 08$ et de premier terme $200$ . Au bout de $3$ ans : $200 \times 1, 0 8^{3} = 200 \times 1, 259712 \approx 251, 94$ €. ⛔ Le piège : ajouter trois fois $8 %$ de $200$ , c'est-à-dire $248$ €. C'est faux, car chaque année le pourcentage porte sur un loyer déjà augmenté.
8
Calculer $1 + 2 + 3 + \dots +$ $50$ .
Voir la correction
On regroupe les termes par paires : le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier. Chaque paire vaut $50 + 1 =$ $51$ , et il y a $50$ termes. En écrivant la somme à l'endroit puis à l'envers, on obtient le DOUBLE de la somme : $50 \times 51 =$ $2550$ . Donc $1 + 2 + \dots + 50 = \frac{50 \times 51}{2} =$ $1275$ . ⭐ La formule $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ n'est que l'écriture de ce raisonnement.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 15niveau 2

Plusieurs gestes à enchaîner, comme dans un contrôle. On rédige.

Rappel de cours

MONTRER qu'une suite est arithmétique : calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ et vérifier que le résultat ne dépend plus de $n$ .
MONTRER qu'elle est géométrique : calculer $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ et vérifier que le résultat ne dépend plus de $n$ .
Somme arithmétique : nombre de termes $\times$ la moyenne du premier et du dernier. ⚠️ De $u_{0}$ à $u_{n}$ , il y a $n + 1$ termes.
Somme géométrique : $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{q ^{n + 1} - 1}{q - 1}$ quand $q \neq =$ $1$ .

9
Soit $u_{n} = 7 -$ $2 n$ . Montrer que $(u_{n})$ est arithmétique, puis donner sa raison et son premier terme.
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Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on calcule la différence entre deux termes qui se suivent. $u_{n + 1} = 7 - 2 (n + 1) = 7 - 2 n - 2 = 5 -$ $2 n$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (5 - 2 n) - (7 - 2 n) = 5 - 2 n - 7 + 2 n =$ $- 2$ . Cette différence vaut $- 2$ quel que soit $n$ : la suite est donc arithmétique, de raison $r =$ $- 2$ . Son premier terme est $u_{0} =$ $7$ . ⛔ Écrire « c'est du premier degré en $n$ , donc c'est arithmétique » ne démontre rien. C'est le calcul de $u_{n + 1} - u_{n}$ qui fait la preuve.
10
Soit $u_{n} = 3 \times$ $4^{n}$ . Montrer que $(u_{n})$ est géométrique, puis donner sa raison et son premier terme.
Voir la correction
Pour montrer qu'une suite est géométrique, on calcule le quotient d'un terme par le précédent. $u_{n + 1} = 3 \times$ $4^{n + 1}$ . On utilise $4^{n + 1} = 4^{n} \times$ $4$ , donc $u_{n + 1} = 3 \times 4^{n} \times$ $4$ . $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{3 \times 4 ^{n} \times 4}{3 \times 4 ^{n}} =$ $4$ . Ce quotient vaut $4$ quel que soit $n$ : la suite est géométrique, de raison $q = 4$ et de premier terme $u_{0} =$ $3$ . ⚠️ On divise, on ne soustrait pas : la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ dépendrait encore de $n$ .
11
$(u_{n})$ est arithmétique, de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $3$ . Calculer la somme $u_{0} + u_{1} + \dots +$ $u_{20}$ .
Voir la correction
On compte d'abord les termes : de $u_{0}$ à $u_{20}$ , il y a $21$ termes. On calcule le dernier : $u_{20} = 5 + 20 \times 3 =$ $65$ . La somme vaut : nombre de termes $\times$ la moyenne du premier et du dernier. $S = 21 \times \frac{5 + 65}{2} = 21 \times 35 =$ $735$ . ⛔ L'erreur la plus fréquente est de compter $20$ termes au lieu de $21$ . Le rang $0$ est un terme comme les autres.
12
Calculer $1 + 2 + 4 + 8 + \dots +$ $2^{10}$ .
Voir la correction
Chaque terme est le double du précédent : c'est une somme géométrique de raison $q =$ $2$ . Le dernier terme est $2^{10}$ , donc la somme va de $q^{0}$ à $q^{10}$ : il y a $11$ termes. On applique $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{q ^{n + 1} - 1}{q - 1}$ avec $q = 2$ et $n =$ $10$ . $S = \frac{2 ^{11} - 1}{2 - 1} = 2048 - 1 =$ $2047$ . ⭐ Pour $q =$ $2$ , la somme vaut toujours le terme suivant moins $1$ : c'est pratique pour vérifier.
13
Soit $u_{n} = n^{2} -$ $6 n$ . Étudier le sens de variation de cette suite.
Voir la correction
On calcule $u_{n + 1} -$ $u_{n}$ . $u_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 6 (n + 1) = n^{2} + 2 n + 1 - 6 n -$ $6$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (n^{2} + 2 n + 1 - 6 n - 6) - (n^{2} - 6 n) = 2 n -$ $5$ . Cette différence dépend de $n$ : la suite n'est donc pas arithmétique, et son sens change. $2 n - 5 < 0$ pour $n ⩽$ $2$ , et $2 n - 5 > 0$ pour $n ⩾$ $3$ . La suite décroît de $u_{0}$ à $u_{3}$ , puis croît à partir de $u_{3}$ . Son minimum est $u_{3} = 9 - 18 =$ $- 9$ . ⚠️ Ici $n$ est un entier : on cherche à partir de quel RANG la différence change de signe, et $2, 5$ n'est pas un rang.
Suite
0
terme 0
→
−5
-5
terme 1
→
−3
-8
terme 2
→
−1
-9
terme 3
→
+1
-8
terme 4
→
+3
-5
terme 5
Règle
u(n) = n² − 6n
14
Une somme de $1000$ € est placée à $5 %$ par an : $u_{n + 1} = 1, 05 u_{n}$ avec $u_{0} =$ $1000$ . À partir de quelle année la somme dépasse-t-elle $2000$ € ?
Voir la correction
En première, un problème de seuil se traite en calculant les termes un par un. C'est ce que fait un algorithme « tant que » : tant que $u ⩽$ $2000$ , on multiplie $u$ par $1, 05$ et on compte une année de plus. Au bout de $14$ ans : $1000 \times 1, 0 5^{14} \approx 1979, 93$ €, ce n'est pas encore assez. Au bout de $15$ ans : $1000 \times 1, 0 5^{15} \approx 2078, 93$ €. La somme dépasse $2000$ € à partir de la $1 5^{e}$ année. ⚠️ On répond par le RANG, pas par la valeur atteinte.
15
Un club compte $250$ membres. a) Il en gagne $30$ chaque année. Quelle suite modélise le nombre de membres, et combien en aura-t-il dans $5$ ans ? b) Même question si le nombre de membres augmente de $12 %$ par an. (arrondir à l'unité)
Voir la correction
a) On ajoute toujours la même quantité : la suite est ARITHMÉTIQUE, de raison $30$ et de premier terme $250$ . $u_{n} = 250 +$ $30 n$ , donc $u_{5} = 250 + 150 = 400$ membres. b) On multiplie par le même nombre : la suite est GÉOMÉTRIQUE, de raison $1, 12$ . $v_{n} = 250 \times$ $1, 1 2^{n}$ , donc $v_{5} = 250 \times 1, 1 2^{5} \approx 250 \times 1, 7623 \approx 441$ membres. ⭐ Une hausse fixe donne une suite arithmétique, un pourcentage donne une géométrique. C'est le premier tri à faire devant un énoncé.

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Problèmes : exercices 16 à 20niveau 3

Un exercice complet de contrôle, avec ses questions qui s'enchaînent.

Rappel de cours

⭐ LA SUITE AUXILIAIRE, l'exercice type : quand $u_{n + 1} = a u_{n} +$ $b$ , la suite $(u_{n})$ n'est ni arithmétique ni géométrique. On pose $v_{n} = u_{n} -$ $L$ , et $(v_{n})$ , elle, est géométrique de raison $a$ .
Le nombre $L$ est donné par l'énoncé. C'est la valeur qui ne bouge plus : celle qui vérifie $L = a L +$ $b$ .
On écrit ensuite $v_{n} = v_{0} \times$ $a^{n}$ , puis on REVIENT à $u$ : $u_{n} = v_{n} +$ $L$ .
Si $0 < a <$ $1$ , l'écart à $L$ est multiplié par $a$ à chaque étape : il diminue, et $u_{n}$ s'approche de $L$ .

16La suite auxiliaire
Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 10$ et $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} +$ $6$ . On pose $v_{n} = u_{n} -$ $30$ . a) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ . b) Montrer que $(v_{n})$ est géométrique. Donner sa raison et $v_{0}$ . c) Exprimer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ . d) Vers quelle valeur $u_{n}$ s'approche-t-elle ?
Voir la correction
a) $u_{1} = 0, 8 \times 10 + 6 =$ $14$ , puis $u_{2} = 0, 8 \times 14 + 6 =$ $17, 2$ . b) On part de $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 30$ et on remplace $u_{n + 1}$ : $v_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 6 - 30 = 0, 8 u_{n} -$ $24$ . On factorise pour faire réapparaître $u_{n} -$ $30$ : comme $0, 8 \times 30 =$ $24$ , on écrit $v_{n + 1} = 0, 8 (u_{n} - 30) =$ $0, 8 v_{n}$ . Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $0, 8$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 8$ . Son premier terme est $v_{0} = u_{0} - 30 = 10 - 30 =$ $- 20$ . c) Pour une suite géométrique, $v_{n} = v_{0} \times$ $q^{n}$ , donc $v_{n} = - 20 \times$ $0, 8^{n}$ . On revient à $u$ : comme $v_{n} = u_{n} -$ $30$ , on a $u_{n} = v_{n} +$ $30$ , soit $u_{n} = - 20 \times 0, 8^{n} +$ $30$ . Vérification avec $n =$ $1$ : $- 20 \times 0, 8 + 30 = - 16 + 30 =$ $14$ , c'est bien $u_{1}$ . ✔️ d) Comme $0 < 0, 8 <$ $1$ , le nombre $0, 8^{n}$ devient de plus en plus petit et s'approche de $0$ . Donc $u_{n}$ s'approche de $30$ , sans jamais l'atteindre. ⛔ L'oubli classique est de s'arrêter à $v_{n}$ . La question porte sur $u_{n}$ : il faut toujours faire le chemin du retour.
Suite
10
terme 0
→
×0,8 +6
14
terme 1
→
×0,8 +6
17,2
terme 2
→
×0,8 +6
19,76
terme 3
Règle
u(n+1) = 0,8u(n) + 6
17Une espèce protégée
Une population de $800$ oiseaux augmente de $6 %$ par an. a) Quelle suite modélise cette population ? Donner sa raison. b) Combien d'oiseaux dans $10$ ans ? (arrondir à l'unité) c) À partir de quelle année la population dépasse-t-elle $1500$ oiseaux ?
Voir la correction
a) Augmenter de $6 %$ , c'est multiplier par $1, 06$ . La suite est GÉOMÉTRIQUE, de raison $1, 06$ et de premier terme $u_{0} =$ $800$ . Son terme général est $u_{n} = 800 \times$ $1, 0 6^{n}$ . b) $u_{10} = 800 \times 1, 0 6^{10} \approx 800 \times 1, 7908 \approx 1433$ oiseaux. c) On calcule les termes un par un jusqu'à dépasser $1500$ . Au bout de $10$ ans : environ $1433$ oiseaux, ce n'est pas assez. Au bout de $11$ ans : $800 \times 1, 0 6^{11} \approx 1519$ oiseaux. La population dépasse $1500$ oiseaux à partir de la $1 1^{e}$ année. ⚠️ Une population se compte en entiers : on arrondit le résultat, mais jamais les calculs intermédiaires.
18Deux abonnements
Deux salles de sport ouvrent le même mois. La salle A demande $15$ € le premier mois, puis $2$ € de plus chaque mois. La salle B demande $10$ € le premier mois, puis augmente son tarif de $10 %$ chaque mois. a) Modéliser chaque tarif par une suite. b) Comparer les tarifs au bout de $12$ mois. c) À partir de quel mois la salle B devient-elle la plus chère ?
Voir la correction
a) Salle A : on ajoute toujours $2$ €, la suite est arithmétique. $a_{n} = 15 +$ $2 n$ . Salle B : on multiplie toujours par $1, 1$ , la suite est géométrique. $b_{n} = 10 \times$ $1, 1^{n}$ . ( $n$ compte les mois écoulés depuis l'ouverture.) b) Au bout de $12$ mois : $a_{12} = 15 + 24 = 39$ € et $b_{12} = 10 \times 1, 1^{12} \approx 31, 38$ €. La salle B est encore la moins chère. c) On compare mois par mois. Au mois $16$ : $a_{16} = 47$ € et $b_{16} \approx 45, 95$ € — B est encore moins chère. Au mois $17$ : $a_{17} = 49$ € et $b_{17} \approx 50, 54$ € — B devient plus chère. C'est donc à partir du $1 7^{e}$ mois. ⭐ C'est la leçon du chapitre : une croissance en pourcentage part plus lentement, puis rattrape et dépasse toujours une croissance à somme fixe. La question n'est pas SI, mais QUAND.
19Les grains de riz
Une vieille légende raconte qu'un roi doit poser $1$ grain de riz sur la première case d'un damier, $2$ sur la deuxième, $4$ sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case. a) Combien de grains sur la $2 0^{e}$ case ? b) Combien de grains en tout sur les $20$ premières cases ?
Voir la correction
a) Le nombre de grains double à chaque case : c'est une suite géométrique de raison $2$ . La première case porte $1$ grain, soit $u_{0} =$ $1$ , et la case de rang $n + 1$ porte $u_{n} =$ $2^{n}$ . La $2 0^{e}$ case correspond à $n =$ $19$ : elle porte $2^{19} = 524288$ grains. b) Le total est la somme $1 + 2 + 4 + \dots +$ $2^{19}$ , une somme géométrique de $20$ termes. $S = \frac{2 ^{20} - 1}{2 - 1} = 2^{20} - 1 = 1048575$ grains. ⭐ La dernière case porte à elle seule presque la moitié du total : c'est ce que veut dire « croissance exponentielle ». ⚠️ Attention aux rangs : la $2 0^{e}$ case est le rang $19$ si l'on part de $u_{0}$ .
20Lire un tableau
On relève les premiers termes d'une suite : $u_{0} =$ $100$ , $u_{1} =$ $70$ , $u_{2} =$ $55$ , $u_{3} =$ $47, 5$ . a) Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier. b) Vérifier que $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} +$ $20$ . c) On pose $v_{n} = u_{n} -$ $40$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique. d) Vers quelle valeur la suite s'approche-t-elle ?
Voir la correction
a) On teste les deux. Différences : $70 - 100 =$ $- 30$ , puis $55 - 70 =$ $- 15$ . Elles ne sont pas égales : la suite n'est pas arithmétique. Quotients : $\frac{70}{100} =$ $0, 7$ , puis $\frac{55}{70} \approx$ $0, 786$ . Ils ne sont pas égaux non plus : elle n'est pas géométrique. b) On teste la relation sur les termes connus. $0, 5 \times 100 + 20 =$ $70$ , c'est bien $u_{1}$ . $0, 5 \times 70 + 20 =$ $55$ , c'est bien $u_{2}$ . $0, 5 \times 55 + 20 =$ $47, 5$ , c'est bien $u_{3}$ . ✔️ c) $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 40 = 0, 5 u_{n} + 20 - 40 = 0, 5 u_{n} -$ $20$ . Comme $0, 5 \times 40 =$ $20$ , on factorise : $v_{n + 1} = 0, 5 (u_{n} - 40) =$ $0, 5 v_{n}$ . $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0, 5$ , avec $v_{0} = 100 - 40 =$ $60$ . d) L'écart à $40$ est divisé par $2$ à chaque étape : il devient de plus en plus petit. La suite s'approche donc de $40$ . ⭐ Une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique n'est pas pour autant hors de portée : la suite auxiliaire la ramène à une géométrique, la seule dont on sache tout dire.
Suite
100
terme 0
→
×0,5 +20
70
terme 1
→
×0,5 +20
55
terme 2
→
×0,5 +20
47,5
terme 3
→
×0,5 +20
43,75
terme 4
Règle
vers 40 ?

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : les suites numériques, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. L'écriture est explicite : on remplace $n$ par la valeur demandée. $u_{0} = 3 \times 0 + 5 =$ $5$ . $u_{1} = 3 \times 1 + 5 =$ $8$ . $u_{10} = 3 \times 10 + 5 =$ $35$ . ⭐ On a calculé $u_{10}$ sans passer par les neuf termes d'avant : c'est tout l'intérêt de l'écriture explicite.
2. L'écriture est par récurrence : chaque terme se calcule à partir du précédent. $u_{1} = 3 \times 2 - 1 =$ $5$ . $u_{2} = 3 \times 5 - 1 =$ $14$ . $u_{3} = 3 \times 14 - 1 =$ $41$ . ⚠️ On ne peut pas sauter directement à $u_{3}$ : il faut passer par $u_{1}$ et $u_{2}$ . C'est la limite de cette écriture.
Suite
2
terme 0
→
×3 −1
5
terme 1
→
×3 −1
14
terme 2
→
×3 −1
41
terme 3
Règle
u(n+1) = 3u(n) − 1
3. On calcule la différence entre deux termes qui se suivent. $u_{n + 1} = 4 (n + 1) - 7 = 4 n + 4 - 7 = 4 n -$ $3$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (4 n - 3) - (4 n - 7) =$ $4$ . La différence vaut $4$ quel que soit $n$ : la suite est ARITHMÉTIQUE, de raison $r =$ $4$ . Son premier terme est $u_{0} = 4 \times 0 - 7 =$ $- 7$ . ⚠️ La raison est $4$ , pas $- 7$ : c'est le nombre qui multiplie $n$ .
4. On calcule le quotient d'un terme par le précédent. $u_{n + 1} = 5 \times 2^{n + 1} = 5 \times 2^{n} \times$ $2$ . $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{5 \times 2 ^{n} \times 2}{5 \times 2 ^{n}} =$ $2$ . Le quotient vaut $2$ quel que soit $n$ : la suite est GÉOMÉTRIQUE, de raison $q =$ $2$ . Son premier terme est $u_{0} = 5 \times 2^{0} = 5 \times 1 =$ $5$ . ⚠️ $2^{0} =$ $1$ , donc $u_{0} = 5$ et non $0$ .
Suite
5
terme 0
→
×2
10
terme 1
→
×2
20
terme 2
→
×2
40
terme 3
→
×2
80
terme 4
Règle
u(n) = 5 × 2ⁿ
5. On calcule $u_{n + 1} -$ $u_{n}$ . $u_{n + 1} = - 3 (n + 1) + 10 = - 3 n - 3 +$ $10$ . $u_{n + 1} - u_{n} =$ $- 3$ . La différence est NÉGATIVE : chaque terme est plus petit que le précédent. La suite est décroissante. ⭐ Pour une suite arithmétique, le signe de la raison suffit : $r > 0$ croissante, $r < 0$ décroissante.
6. a) « On part de $100$ » donne $u_{0} =$ $100$ . « On ajoute $15$ » donne $u_{n + 1} = u_{n} +$ $15$ . b) Au rang $n$ , on a ajouté $15$ exactement $n$ fois : $u_{n} = 100 +$ $15 n$ . ⭐ Les deux écritures décrivent la MÊME suite. La première dit comment avancer, la seconde permet d'arriver directement au rang voulu.
Suite
100
terme 0
→
+15
115
terme 1
→
+15
130
terme 2
→
+15
145
terme 3
Règle
u(n) = 100 + 15n
7. Augmenter de $8 %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{8}{100} =$ $1, 08$ . La suite est géométrique de raison $1, 08$ et de premier terme $200$ . Au bout de $3$ ans : $200 \times 1, 0 8^{3} = 200 \times 1, 259712 \approx 251, 94$ €. ⛔ Le piège : ajouter trois fois $8 %$ de $200$ , c'est-à-dire $248$ €. C'est faux, car chaque année le pourcentage porte sur un loyer déjà augmenté.
8. On regroupe les termes par paires : le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier. Chaque paire vaut $50 + 1 =$ $51$ , et il y a $50$ termes. En écrivant la somme à l'endroit puis à l'envers, on obtient le DOUBLE de la somme : $50 \times 51 =$ $2550$ . Donc $1 + 2 + \dots + 50 = \frac{50 \times 51}{2} =$ $1275$ . ⭐ La formule $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ n'est que l'écriture de ce raisonnement.
9. Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on calcule la différence entre deux termes qui se suivent. $u_{n + 1} = 7 - 2 (n + 1) = 7 - 2 n - 2 = 5 -$ $2 n$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (5 - 2 n) - (7 - 2 n) = 5 - 2 n - 7 + 2 n =$ $- 2$ . Cette différence vaut $- 2$ quel que soit $n$ : la suite est donc arithmétique, de raison $r =$ $- 2$ . Son premier terme est $u_{0} =$ $7$ . ⛔ Écrire « c'est du premier degré en $n$ , donc c'est arithmétique » ne démontre rien. C'est le calcul de $u_{n + 1} - u_{n}$ qui fait la preuve.
10. Pour montrer qu'une suite est géométrique, on calcule le quotient d'un terme par le précédent. $u_{n + 1} = 3 \times$ $4^{n + 1}$ . On utilise $4^{n + 1} = 4^{n} \times$ $4$ , donc $u_{n + 1} = 3 \times 4^{n} \times$ $4$ . $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{3 \times 4 ^{n} \times 4}{3 \times 4 ^{n}} =$ $4$ . Ce quotient vaut $4$ quel que soit $n$ : la suite est géométrique, de raison $q = 4$ et de premier terme $u_{0} =$ $3$ . ⚠️ On divise, on ne soustrait pas : la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ dépendrait encore de $n$ .
11. On compte d'abord les termes : de $u_{0}$ à $u_{20}$ , il y a $21$ termes. On calcule le dernier : $u_{20} = 5 + 20 \times 3 =$ $65$ . La somme vaut : nombre de termes $\times$ la moyenne du premier et du dernier. $S = 21 \times \frac{5 + 65}{2} = 21 \times 35 =$ $735$ . ⛔ L'erreur la plus fréquente est de compter $20$ termes au lieu de $21$ . Le rang $0$ est un terme comme les autres.
12. Chaque terme est le double du précédent : c'est une somme géométrique de raison $q =$ $2$ . Le dernier terme est $2^{10}$ , donc la somme va de $q^{0}$ à $q^{10}$ : il y a $11$ termes. On applique $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{q ^{n + 1} - 1}{q - 1}$ avec $q = 2$ et $n =$ $10$ . $S = \frac{2 ^{11} - 1}{2 - 1} = 2048 - 1 =$ $2047$ . ⭐ Pour $q =$ $2$ , la somme vaut toujours le terme suivant moins $1$ : c'est pratique pour vérifier.
13. On calcule $u_{n + 1} -$ $u_{n}$ . $u_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 6 (n + 1) = n^{2} + 2 n + 1 - 6 n -$ $6$ . $u_{n + 1} - u_{n} = (n^{2} + 2 n + 1 - 6 n - 6) - (n^{2} - 6 n) = 2 n -$ $5$ . Cette différence dépend de $n$ : la suite n'est donc pas arithmétique, et son sens change. $2 n - 5 < 0$ pour $n ⩽$ $2$ , et $2 n - 5 > 0$ pour $n ⩾$ $3$ . La suite décroît de $u_{0}$ à $u_{3}$ , puis croît à partir de $u_{3}$ . Son minimum est $u_{3} = 9 - 18 =$ $- 9$ . ⚠️ Ici $n$ est un entier : on cherche à partir de quel RANG la différence change de signe, et $2, 5$ n'est pas un rang.
Suite
0
terme 0
→
−5
-5
terme 1
→
−3
-8
terme 2
→
−1
-9
terme 3
→
+1
-8
terme 4
→
+3
-5
terme 5
Règle
u(n) = n² − 6n
14. En première, un problème de seuil se traite en calculant les termes un par un. C'est ce que fait un algorithme « tant que » : tant que $u ⩽$ $2000$ , on multiplie $u$ par $1, 05$ et on compte une année de plus. Au bout de $14$ ans : $1000 \times 1, 0 5^{14} \approx 1979, 93$ €, ce n'est pas encore assez. Au bout de $15$ ans : $1000 \times 1, 0 5^{15} \approx 2078, 93$ €. La somme dépasse $2000$ € à partir de la $1 5^{e}$ année. ⚠️ On répond par le RANG, pas par la valeur atteinte.
15. a) On ajoute toujours la même quantité : la suite est ARITHMÉTIQUE, de raison $30$ et de premier terme $250$ . $u_{n} = 250 +$ $30 n$ , donc $u_{5} = 250 + 150 = 400$ membres. b) On multiplie par le même nombre : la suite est GÉOMÉTRIQUE, de raison $1, 12$ . $v_{n} = 250 \times$ $1, 1 2^{n}$ , donc $v_{5} = 250 \times 1, 1 2^{5} \approx 250 \times 1, 7623 \approx 441$ membres. ⭐ Une hausse fixe donne une suite arithmétique, un pourcentage donne une géométrique. C'est le premier tri à faire devant un énoncé.
16. La suite auxiliaire a) $u_{1} = 0, 8 \times 10 + 6 =$ $14$ , puis $u_{2} = 0, 8 \times 14 + 6 =$ $17, 2$ . b) On part de $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 30$ et on remplace $u_{n + 1}$ : $v_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 6 - 30 = 0, 8 u_{n} -$ $24$ . On factorise pour faire réapparaître $u_{n} -$ $30$ : comme $0, 8 \times 30 =$ $24$ , on écrit $v_{n + 1} = 0, 8 (u_{n} - 30) =$ $0, 8 v_{n}$ . Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $0, 8$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 8$ . Son premier terme est $v_{0} = u_{0} - 30 = 10 - 30 =$ $- 20$ . c) Pour une suite géométrique, $v_{n} = v_{0} \times$ $q^{n}$ , donc $v_{n} = - 20 \times$ $0, 8^{n}$ . On revient à $u$ : comme $v_{n} = u_{n} -$ $30$ , on a $u_{n} = v_{n} +$ $30$ , soit $u_{n} = - 20 \times 0, 8^{n} +$ $30$ . Vérification avec $n =$ $1$ : $- 20 \times 0, 8 + 30 = - 16 + 30 =$ $14$ , c'est bien $u_{1}$ . ✔️ d) Comme $0 < 0, 8 <$ $1$ , le nombre $0, 8^{n}$ devient de plus en plus petit et s'approche de $0$ . Donc $u_{n}$ s'approche de $30$ , sans jamais l'atteindre. ⛔ L'oubli classique est de s'arrêter à $v_{n}$ . La question porte sur $u_{n}$ : il faut toujours faire le chemin du retour.
Suite
10
terme 0
→
×0,8 +6
14
terme 1
→
×0,8 +6
17,2
terme 2
→
×0,8 +6
19,76
terme 3
Règle
u(n+1) = 0,8u(n) + 6
17. Une espèce protégée a) Augmenter de $6 %$ , c'est multiplier par $1, 06$ . La suite est GÉOMÉTRIQUE, de raison $1, 06$ et de premier terme $u_{0} =$ $800$ . Son terme général est $u_{n} = 800 \times$ $1, 0 6^{n}$ . b) $u_{10} = 800 \times 1, 0 6^{10} \approx 800 \times 1, 7908 \approx 1433$ oiseaux. c) On calcule les termes un par un jusqu'à dépasser $1500$ . Au bout de $10$ ans : environ $1433$ oiseaux, ce n'est pas assez. Au bout de $11$ ans : $800 \times 1, 0 6^{11} \approx 1519$ oiseaux. La population dépasse $1500$ oiseaux à partir de la $1 1^{e}$ année. ⚠️ Une population se compte en entiers : on arrondit le résultat, mais jamais les calculs intermédiaires.
18. Deux abonnements a) Salle A : on ajoute toujours $2$ €, la suite est arithmétique. $a_{n} = 15 +$ $2 n$ . Salle B : on multiplie toujours par $1, 1$ , la suite est géométrique. $b_{n} = 10 \times$ $1, 1^{n}$ . ( $n$ compte les mois écoulés depuis l'ouverture.) b) Au bout de $12$ mois : $a_{12} = 15 + 24 = 39$ € et $b_{12} = 10 \times 1, 1^{12} \approx 31, 38$ €. La salle B est encore la moins chère. c) On compare mois par mois. Au mois $16$ : $a_{16} = 47$ € et $b_{16} \approx 45, 95$ € — B est encore moins chère. Au mois $17$ : $a_{17} = 49$ € et $b_{17} \approx 50, 54$ € — B devient plus chère. C'est donc à partir du $1 7^{e}$ mois. ⭐ C'est la leçon du chapitre : une croissance en pourcentage part plus lentement, puis rattrape et dépasse toujours une croissance à somme fixe. La question n'est pas SI, mais QUAND.
19. Les grains de riz a) Le nombre de grains double à chaque case : c'est une suite géométrique de raison $2$ . La première case porte $1$ grain, soit $u_{0} =$ $1$ , et la case de rang $n + 1$ porte $u_{n} =$ $2^{n}$ . La $2 0^{e}$ case correspond à $n =$ $19$ : elle porte $2^{19} = 524288$ grains. b) Le total est la somme $1 + 2 + 4 + \dots +$ $2^{19}$ , une somme géométrique de $20$ termes. $S = \frac{2 ^{20} - 1}{2 - 1} = 2^{20} - 1 = 1048575$ grains. ⭐ La dernière case porte à elle seule presque la moitié du total : c'est ce que veut dire « croissance exponentielle ». ⚠️ Attention aux rangs : la $2 0^{e}$ case est le rang $19$ si l'on part de $u_{0}$ .
20. Lire un tableau a) On teste les deux. Différences : $70 - 100 =$ $- 30$ , puis $55 - 70 =$ $- 15$ . Elles ne sont pas égales : la suite n'est pas arithmétique. Quotients : $\frac{70}{100} =$ $0, 7$ , puis $\frac{55}{70} \approx$ $0, 786$ . Ils ne sont pas égaux non plus : elle n'est pas géométrique. b) On teste la relation sur les termes connus. $0, 5 \times 100 + 20 =$ $70$ , c'est bien $u_{1}$ . $0, 5 \times 70 + 20 =$ $55$ , c'est bien $u_{2}$ . $0, 5 \times 55 + 20 =$ $47, 5$ , c'est bien $u_{3}$ . ✔️ c) $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 40 = 0, 5 u_{n} + 20 - 40 = 0, 5 u_{n} -$ $20$ . Comme $0, 5 \times 40 =$ $20$ , on factorise : $v_{n + 1} = 0, 5 (u_{n} - 40) =$ $0, 5 v_{n}$ . $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0, 5$ , avec $v_{0} = 100 - 40 =$ $60$ . d) L'écart à $40$ est divisé par $2$ à chaque étape : il devient de plus en plus petit. La suite s'approche donc de $40$ . ⭐ Une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique n'est pas pour autant hors de portée : la suite auxiliaire la ramène à une géométrique, la seule dont on sache tout dire.
Suite
100
terme 0
→
×0,5 +20
70
terme 1
→
×0,5 +20
55
terme 2
→
×0,5 +20
47,5
terme 3
→
×0,5 +20
43,75
terme 4
Règle
vers 40 ?

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