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Problèmes de géométrie planecours et exercices corrigés de maths 2nde

Mesurer un arbre sans y grimper, trouver le chemin le plus court jusqu'à un phare, ou le plus grand enclos possible avec 60 mètres de clôture. Tout ça tient dans un seul triangle rectangle — à condition de savoir quel côté est l'hypoténuse.

Problèmes de géométrie plane : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.

Mots clésSinus, cosinus, tangente, projeté orthogonal

Le secretC'est l'angle regardé qui décide du nom des côtés

OutilLe projeté orthogonal : il donne la distance ET la hauteur

À quoi ça sert : Problèmes de géométrie plane

Un panneau de col annonce « pente 12 % » : la route monte de $12$ m pour $100$ m parcourus à l'HORIZONTALE. Ce n'est donc pas un angle, c'est une tangente — et l'angle vaut seulement $6, 8°$ . ⛔ Et si ton compteur affiche $2$ km, ces $2$ km sont mesurés le long de la route : c'est l'hypoténuse. La montée vaut $2000 \times sin 6, 8° \approx 238$ m, et non $240$ . Même géométrie pour l'arbre qu'on mesure de loin, la rampe d'accès d'un bâtiment, ou le plus court chemin d'une route vers un phare.

Un peu d'histoire : Problèmes de géométrie plane

Les premières tables trigonométriques sont des tables de CORDES, dressées par Hipparque de Nicée au IIᵉ siècle avant notre ère pour prévoir la position des astres. Le mot « sinus » vient d'une méprise : les mathématiciens indiens puis arabes notaient ce rapport par un mot signifiant « corde d'arc », que les traducteurs latins du XIIᵉ siècle ont confondu avec un mot voisin voulant dire « pli, repli » — sinus en latin. Le nom est resté.

Définition : Problèmes de géométrie plane

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $x$ : l'HYPOTÉNUSE est le côté opposé à l'angle droit, le côté ADJACENT à $x$ est celui qui le touche sans être l'hypoténuse, et le côté OPPOSÉ à $x$ est le troisième. On pose alors $cos x =$ $\frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ , $sin x = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ et $tan x =$ $\frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ .

⭐ Retenir le mot « CAH SOH TOA » : Cosinus-Adjacent-Hypoténuse, Sinus-Opposé-Hypoténuse, Tangente-Opposé-Adjacent. ⛔ Et se rappeler que l'hypoténuse ne change jamais, alors que « adjacent » et « opposé » S'ÉCHANGENT quand on regarde l'autre angle aigu.

Propriétés : Problèmes de géométrie plane

Les trois rapports, sur un triangle connu

Dans le triangle $A BC$ rectangle en $B$ , avec $A B =$ $4$ , $BC = 3$ et $A C =$ $5$ , on regarde l'angle $A$ . L'hypoténuse est $A C =$ $5$ , l'adjacent à $A$ est $A B =$ $4$ , l'opposé est $BC =$ $3$ . Donc $cos A =$ $0, 8$ , $sin A = 0, 6$ et $tan A =$ $0, 75$ .

⭐ $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$

Vrai pour TOUT angle. C'est le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle d'hypoténuse $1$ , dont les côtés mesurent alors $cos x$ et $sin x$ . Cette égalité donne l'un des deux quand on connaît l'autre, SANS jamais calculer l'angle.

Données	on connaît	on trouve
cos x = 0,6	0,36 + sin²x = 1	sin x = 0,8
sin x = 0,8	cos²x + 0,64 = 1	cos x = 0,6

Le projeté orthogonal : le point le plus proche

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(M H)$ soit perpendiculaire à $d$ . ⭐ Parmi TOUS les points de $d$ , $H$ est le plus proche de $M$ — car pour tout autre point $A$ de $d$ , $M A$ est l'hypoténuse du triangle $M H A$ , donc $M A >$ $M H$ . La longueur $M H$ s'appelle la distance de $M$ à la droite $d$ .

Données	données	résultat
HA	5 m	MH² = 169 − 25
MA	13 m	MH = 12 m

Le projeté fabrique la hauteur, donc l'aire

Dans le triangle $A BC$ avec $A B = 8$ cm, $A C = 6$ cm et $A =$ $30°$ , on appelle $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ . Le triangle $A H C$ est rectangle en $H$ : $sin 30° =$ $\frac{C H}{6}$ , donc $C H = 3$ cm. L'aire vaut alors $\frac{8 \times 3}{2} = 12$ cm².

Données	le calcul	le résultat
la hauteur	CH = 6 × sin 30°	3 cm
l'aire	8 × 3 ÷ 2	12 cm²

Méthode : Problèmes de géométrie plane

1. 1. Je repère l'angle droit, puis mon angle

L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit. Ensuite seulement je regarde MON angle : le côté qui le touche est l'adjacent, le dernier est l'opposé.

Données	d'abord	ensuite
l'angle droit	donne l'hypoténuse	puis adjacent / opposé

2. 2. Je choisis le bon rapport

Je regarde ce que je connais et ce que je cherche : deux côtés parmi trois désignent un seul des trois rapports. ⛔ Si l'hypoténuse n'intervient pas, c'est la tangente.

Données	j'utilise
hypoténuse + adjacent	cosinus
hypoténuse + opposé	sinus
opposé + adjacent	tangente

3. 3. Pour une aire, je fabrique la hauteur

Pas de hauteur dans l'énoncé ? Je place le projeté orthogonal d'un sommet sur le côté opposé : il crée un triangle rectangle, donc un sinus, donc la hauteur.

Données	je place	j'obtiens
le projeté H	un triangle rectangle	la hauteur, puis l'aire

Selon ce que l'on cherche : Problèmes de géométrie plane

Lire un pourcentage de pente

$12$ % signifie $12$ m de montée pour $100$ m à l'horizontale : c'est $tan α =$ $0, 12$ , donc $α \approx$ $6, 8°$ . ⛔ Un pourcentage de pente n'est JAMAIS un angle.

La pente est une tangente

Données	pente	angle
12 %	tan α = 0,12	6,8°
100 %	tan α = 1	45°

Trouver la distance à une droite

C'est toujours la perpendiculaire, et rien d'autre. Le pied de cette perpendiculaire est le projeté orthogonal ; tout autre chemin est une hypoténuse, donc plus long.

Données	chemin	longueur
par H (perpendiculaire)	MH	la plus courte
par un autre point A	MA	toujours plus grande

Chercher un maximum

Avec $60$ m de clôture le long d'une rivière, l'aire vaut $A (x) = x (60 - 2 x) = 450 - 2 (x -$ $15)^{2}$ . Un carré est toujours positif ou nul, donc on retire toujours quelque chose à $450$ — sauf si $x =$ $15$ . Aire maximale : $450$ m², pour $15$ m sur $30$ m.

Deux largeurs, la même aire

Données	aire
10 m	400 m²
15 m	450 m² ← maximum
20 m	400 m²

Exemples corrigés : Problèmes de géométrie plane

Les trois rapports d'un coup

$A BC$ rectangle en $A$ , $A B =$ $4$ , $A C =$ $3$ , $BC =$ $5$ .

Calculer $cos B$ , $sin B$ et $tan B$ .

Données	valeur
cos B	4/5 = 0,8
sin B	3/5 = 0,6
tan B	3/4 = 0,75

Pour l'angle $B$ : l'hypoténuse est $BC =$ $5$ , l'adjacent est $A B =$ $4$ , l'opposé est $A C =$ $3$ . Donc $cos B = \frac{4}{5} =$ $0, 8$ , $sin B = \frac{3}{5} = 0, 6$ et $tan B = \frac{3}{4} =$ $0, 75$ . ⭐ Si on regardait $C$ , l'adjacent et l'opposé s'échangeraient : le cosinus deviendrait $0, 6$ .

⭐ Trouver un sinus sans l'angle

$x$ est un angle aigu et $cos x =$ $0, 6$ .

Calculer $sin x$ sans calculer $x$ .

Données	calcul
on remplace	0,36 + sin²x = 1
on isole	sin²x = 0,64

$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ donne $0, 6^{2} + sin^{2} x =$ $1$ , c'est-à-dire $0, 36 + sin^{2} x =$ $1$ , donc $sin^{2} x = 0, 64$ et $sin x =$ $0, 8$ . ⛔ On garde la racine POSITIVE parce que l'angle est aigu : le sinus d'un angle aigu est toujours positif.

La distance à une droite

$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ . $A$ est sur $d$ , $H A = 5$ m et $M A = 13$ m.

Quelle est la distance de $M$ à la droite $d$ ?

Données	valeur
MA (hypoténuse)	13 m
MH (distance)	12 m

Le triangle $M H A$ est rectangle en $H$ , donc Pythagore : $M H^{2} + 5^{2} =$ $1 3^{2}$ , d'où $M H^{2} = 169 - 25 = 144$ et $M H = 12$ m. ⭐ C'est bien la distance de $M$ à $d$ : tous les autres points de $d$ sont plus loin, puisque le segment qui les joint à $M$ serait une hypoténuse.

Une aire sans hauteur donnée

$A B = 8$ cm, $A C = 6$ cm, $A =$ $30°$ .

Calculer l'aire du triangle $A BC$ .

Données	valeur
hauteur CH	6 × sin 30° = 3 cm
aire	8 × 3 ÷ 2 = 12 cm²

On place $H$ , projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ . Dans le triangle $A H C$ rectangle en $H$ , l'hypoténuse est $A C = 6$ et le côté opposé à $A$ est $C H$ : donc $sin 30° =$ $\frac{C H}{6}$ , d'où $C H = 6 \times 0, 5 = 3$ cm. L'aire vaut $\frac{A B \times C H}{2} = \frac{8 \times 3}{2} = 12$ cm².

Pièges à éviter : Problèmes de géométrie plane

⛔ Un pourcentage de pente est une TANGENTE, pas un angle. $12$ % donne $α \approx$ $6, 8°$ , pas $12°$ .
⛔ Ce que mesure un compteur le long d'une route, c'est l'HYPOTÉNUSE. Pour la montée, il faut donc un sinus, pas une tangente.
⛔ « Adjacent » et « opposé » dépendent de l'angle REGARDÉ, et s'échangent quand on passe à l'autre angle aigu. Seule l'hypoténuse ne bouge jamais.
⛔ Un sinus et un cosinus d'angle aigu sont toujours compris entre $0$ et $1$ . Un résultat supérieur à $1$ signale une erreur de rapport.
⛔ La distance d'un point à une droite n'est pas la distance à un point quelconque de cette droite : c'est la PERPENDICULAIRE, et elle seule.
⛔ Dans $cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ , on écrit $cos^{2} x$ pour $(cos x)^{2}$ . Ce n'est pas le cosinus de $x^{2}$ .

À retenir : Problèmes de géométrie plane

CAH SOH TOA : cosinus = adjacent/hypoténuse, sinus = opposé/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent.
L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit — et c'est le plus grand côté.
$cos^{2} x + sin^{2} x =$ $1$ : elle donne l'un quand on connaît l'autre, sans calculer l'angle.
Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ est le point de $d$ le plus PROCHE de $M$ ; $M H$ est la distance de $M$ à $d$ .
Ce même segment $M H$ est aussi une hauteur : il donne l'aire d'un triangle.
Une aire écrite sous la forme $450 - 2 (x - 15)^{2}$ livre son maximum sans calcul : il est atteint quand le carré s'annule.

Exercices corrigés : Problèmes de géométrie plane

1. Dans un triangle rectangle, quel côté est l'hypoténuse ?
Voir la correction
Celui qui est en face de l'angle droit. C'est aussi le plus grand des trois côtés.
2. $A BC$ est rectangle en $C$ avec $C A = 6$ et $CB =$ $8$ . Que vaut $tan A$ ?
Voir la correction
Pour l'angle $A$ , l'opposé est $CB = 8$ et l'adjacent est $C A =$ $6$ . Donc $tan A = \frac{8}{6} \approx$ $1, 33$ .
3. $A BC$ est rectangle en $B$ , $A = 35°$ et $A C = 10$ cm. Comment calculer $BC$ ?
Voir la correction
$A C$ est l'hypoténuse et $BC$ est le côté opposé à $A$ : on utilise le sinus. $BC = 10 \times sin 35° \approx 5, 74$ cm.
4. $x$ est un angle aigu et $sin x =$ $\frac{5}{13}$ . Que vaut $cos x$ ?
Voir la correction
$cos^{2} x = 1 - \frac{25}{169} =$ $\frac{144}{169}$ , donc $cos x =$ $\frac{12}{13}$ . On garde la valeur positive, l'angle étant aigu.
5. Peut-on avoir $cos x = 1, 2$ pour un angle aigu ?
Voir la correction
Non. Le cosinus est un côté divisé par l'hypoténuse, or l'hypoténuse est le plus grand côté : le quotient est toujours compris entre $0$ et $1$ .
6. $A BC$ est rectangle en $A$ . Quel est le projeté orthogonal de $B$ sur $(A C)$ ?
Voir la correction
C'est le point $A$ lui-même, puisque $(A B)$ est déjà perpendiculaire à $(A C)$ .
7. $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ , avec $M H =$ $4$ . Un point $A$ de $d$ peut-il vérifier $M A =$ $3$ ?
Voir la correction
Non. $M A$ est l'hypoténuse du triangle $M H A$ , donc $M A ⩾ M H =$ $4$ . Une distance de $3$ est impossible.
8. $A BC$ est isocèle en $A$ avec $A B = A C = 5$ cm et $BC = 6$ cm. Où est le projeté orthogonal $I$ de $A$ sur $(BC)$ ?
Voir la correction
Au milieu de $[BC]$ , car le triangle est isocèle en $A$ . Donc $B I =$ $3$ , et Pythagore donne $A I = 25 - 9 = 4$ cm.
9. Avec le triangle précédent, quelle est l'aire de $A BC$ ?
Voir la correction
La hauteur est $A I = 4$ cm et la base $BC = 6$ cm, donc l'aire vaut $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm².
10. Un rectangle a un périmètre de $20$ cm et une largeur $x$ . Son aire vaut $A (x) = 25 - (x -$ $5)^{2}$ . Quelle est l'aire maximale ?
Voir la correction
$25$ cm², atteinte quand le carré s'annule, c'est-à-dire pour $x =$ $5$ : le rectangle est alors un carré de côté $5$ cm.

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