Puissances et écriture scientifique : 20 exercices corrigésmaths 3e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : puissances et écriture scientifique, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Je compte les facteurs : le $7$ apparaît quatre fois. Réponse : $7\times 7\times 7\times 7=$$7^4$. b) Le facteur répété est $-3$ tout entier : je garde les parenthèses. Réponse : $(-3)\times (-3)\times (-3)=$$(-3{)}^3$. c) $5^3=5\times 5\times$$5$. Réponse : la base est $5$, le nombre répété ; l'exposant est $3$, le nombre de facteurs. ⛔ Le piège : confondre avec $7\times$$4$. L'exposant compte des FACTEURS, il ne multiplie pas la base.
2. 2. a) $2^3=2\times 2\times 2=$$8$. b) $3^4=3\times 3\times 3\times 3=$$81$. J'avance deux par deux : $3\times 3=$$9$, puis $9\times 9=$$81$. c) $6^1=$$6$ : un seul facteur, c'est le nombre lui-même. d) $1^9=$$1$ : $1$ multiplié par lui-même reste $1$, autant de fois qu'on veut. ⛔ Le piège : $2^3=$$6$. Ça, c'est $2\times$$3$. Un cube de côté $2$ contient $8$ petits cubes, pas $6$.
3. 3. a) La base est $-2$, entre parenthèses : $(-2{)}^4=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=$$16$. Quatre signes moins, un nombre PAIR : le résultat est positif. b) Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le $2$ : $-2^4=-(2\times 2\times 2\times 2)=$$-16$. c) $(-2{)}^3=(-2)\times (-2)\times (-2)=$$-8$. Trois signes moins, un nombre IMPAIR : le résultat est négatif. ⛔ Le piège : lire $-2^4$ comme $(-2{)}^4$. Les parenthèses décident de la base : $(-2{)}^4$ vaut $16$, mais $-2^4$ vaut $-16$.

   Exposant	1	2	3	4
   (−2) puissance n	−2	4	−8	16
   Signe	−	+	−	+

4. 4. a) $10^6$ : un $1$ suivi de six zéros, $10^6=$$1000000$. $10^{-3}$ : le $1$ se place au troisième rang après la virgule, $10^{-3}=$$0,001$. b) Dans $0,0001$, le $1$ est au quatrième rang après la virgule : $0,0001=$$10^{-4}$. $100000$ s'écrit avec cinq zéros : $100000=$$10^5$. ⛔ Le piège : croire que $10^{-3}$ est un nombre négatif. Il est POSITIF, plus petit que $1$ : c'est $\frac{1}{1000}$.

   Puissance	10⁻⁴	10⁻³	10⁻¹	10¹	10⁵	10⁶
   Décimal	0,0001	0,001	0,1	10	100 000	1 000 000

5. 5. a) Multiplier par $10^4$ déplace la virgule de quatre rangs vers la droite : $3,7\times 10^4=$$37000$. b) Multiplier par $10^{-3}$ déplace la virgule de trois rangs vers la GAUCHE : $52\times 10^{-3}=$$0,052$. c) Deux rangs vers la droite : $0,8\times 10^2=$$80$. ⛔ Le piège : coller quatre zéros derrière $3,7$ et écrire $3,70000$. C'est la virgule qui se déplace ; des zéros ajoutés au bout d'un décimal ne changent rien.
6. 6. L'écriture scientifique est $a\times 10^n$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule : $1⩽a<$$10$. a) Je place la virgule après le $4$ : $4,5$. Pour revenir à $45000$, il faut la déplacer de quatre rangs vers la droite. Réponse : $45000=4,5\times$$10^4$. b) Je place la virgule après le $6$ : $6,2$. Pour revenir à $0,0062$, trois rangs vers la gauche, donc un exposant négatif. Réponse : $0,0062=6,2\times$$10^{-3}$. c) Deux rangs vers la droite. Réponse : $830=8,3\times$$10^2$. ⛔ Le piège : écrire $45\times$$10^3$. Le calcul est juste, mais $45$ a deux chiffres avant la virgule : ce n'est pas l'écriture scientifique.
7. 7. a) Je compte les zéros : $100000\times 1000$ en a $5+$$3$. Réponse : $10^5\times 10^3=10^{5+3}=$$10^8$. b) Diviser par $10^2$ retire deux zéros aux sept. Réponse : $10^7÷10^2=10^{7-2}=$$10^5$. c) $(10^2{)}^3=10^2\times 10^2\times$$10^2$ : trois fois deux zéros. Réponse : $(10^2{)}^3=10^{2\times 3}=$$10^6$. ⛔ Le piège : multiplier les exposants dans a) et écrire $10^{15}$. Pour un PRODUIT de puissances, on ADDITIONNE les exposants.
8. 8. a) $3^2\times 3^5=(3\times 3)\times (3\times 3\times 3\times 3\times$$3)$ : sept facteurs $3$. Réponse : $3^2\times 3^5=3^{2+5}=$$3^7$. b) Dans $\frac{2^9}{2^4}$, les quatre facteurs $2$ du bas se simplifient avec quatre du haut ; il en reste $9-4=$$5$. Réponse : $2^9÷2^4=2^{9-4}=$$2^5$. c) $(5^2{)}^3=5^2\times 5^2\times$$5^2$ : trois paquets de deux facteurs, six facteurs en tout. Réponse : $(5^2{)}^3=5^{2\times 3}=$$5^6$. ⛔ Le piège : écrire que $(5^2{)}^3$ vaut $5^5$. Une puissance de puissance MULTIPLIE les exposants ; c'est le produit $5^2\times 5^3$ qui s'écrit avec l'exposant $2+$$3$.
9. 9. a) Case $1$ : $1$ grain ; case $2$ : $2$ ; case $3$ : $2\times 2=$$4$ ; case $4$ : $2\times 2\times 2=$$8$. Réponse : $8=2^3$ grains. b) À chaque case, un facteur $2$ de plus. La case $4$ en compte trois, donc la case $8$ en compte sept : $2^7=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=$$128$. Réponse : $128$ grains. c) La case $n$ porte $n-1$ facteurs $2$, car la première case n'en a aucun. Case $11$ : $2^{10}=$$1024$. Réponse : il a tort, il y a $1024$ grains. ⛔ Le piège : prendre le numéro de la case pour l'exposant. Je vérifie sur une case que je connais : la case $3$ porte $4$ grains, c'est $2\times$$2$, deux facteurs seulement.

   Case	1	2	3	4	8	11
   Facteurs 2	aucun	1	2	3	7	10
   Grains	1	2	4	8	128	1 024
10. 10. a) $2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$ et $5^2=5\times 5=$$25$. Réponse : non, $32\ne$$25$. b) $3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$ et $4^3=4\times 4\times 4=$$64$. Réponse : non, $81\ne$$64$. c) J'essaie $2$ et $4$ : $2^4=16$ et $4^2=$$16$. Réponse : $a=2$ et $b=4$ conviennent. ⛔ Le piège : croire qu'on peut échanger la base et l'exposant. La base est le nombre répété, l'exposant le nombre de répétitions : ils n'ont pas le même rôle, et le c) est une exception, pas une règle.
11. 11. Les règles sont les mêmes qu'avec des exposants positifs ; seul le calcul sur les exposants demande de surveiller les signes. a) $10^{-2}\times 10^5=10^{-2+5}=$$10^3$. Contrôle : $0,01\times 100000=$$1000$. b) $10^{-4}\times 10^{-3}=10^{-4+(-3)}=$$10^{-7}$. c) $10^3÷10^{-2}=10^{3-(-2)}=10^{3+2}=$$10^5$. Contrôle : $1000÷0,01=$$100000$ ; diviser par un centième, c'est multiplier par cent. ⛔ Le piège : calculer $3-2$ au lieu de $3-(-2)$ dans c), et répondre $10^1$. Soustraire $-2$, c'est ajouter $2$.
12. 12. a) Je place la virgule après le premier chiffre : $1,5$. Pour revenir au nombre, huit rangs vers la droite. Réponse : $1,5\times 10^8$ km. b) Le premier chiffre non nul est le $7$. Pour revenir à $0,000007$, six rangs vers la gauche. Réponse : $7\times 10^{-6}$ m. c) Neuf zéros après le $8$. Réponse : $8\times 10^9$ êtres humains. d) $0,52$ est plus petit que $1$ : ce n'est pas une écriture scientifique. $0,52=5,2\times$$10^{-1}$, donc $0,52\times 10^5=5,2\times 10^{-1}\times$$10^5$. Réponse : $5,2\times$$10^4$. ⛔ Le piège : dans d), augmenter l'exposant. Le nombre devant devient dix fois plus grand ($0,52$ devient $5,2$) : pour garder la même valeur, la puissance de dix doit devenir dix fois plus petite, et l'exposant perd $1$.
13. 13. Je regroupe les nombres d'un côté, les puissances de dix de l'autre : dans un produit, on a le droit de changer l'ordre des facteurs. $A=(3\times 2)\times (10^4\times 10^5)=6\times$$10^9$. $B=(6\times 5)\times (10^7\times 10^{-3})=30\times$$10^4$. Mais $30$ n'est pas entre $1$ et $10$ : $30=3\times$$10$, donc $B=3\times$$10^5$. $C=\frac{8}{2}\times \frac{10^6}{10^2}=4\times$$10^4$. ⛔ Le piège : s'arrêter à $30\times 10^4$ pour B. Le calcul est juste, mais l'écriture scientifique demande un seul chiffre avant la virgule.
14. 14. J'écris d'abord $0,0009$ en écriture scientifique : $0,0009=9\times$$10^{-4}$. Je compare les exposants : la plus grande puissance de dix l'emporte. Le plus petit exposant est $-5$ : $5\times 10^{-5}$ est le plus petit nombre. Deux nombres ont l'exposant $-4$ : je compare $3,2$ et $9$, donc $3,2\times 10^{-4}$ est plus petit que $9\times$$10^{-4}$. Le plus grand exposant est $-3$ : $1,1\times 10^{-3}$ est le plus grand. Réponse : $5\times 10^{-5}<3,2\times 10^{-4}<0,0009<1,1\times$$10^{-3}$. ⛔ Le piège : croire que $-5$ est un « gros » exposant parce que $5$ est grand. $10^{-5}=0,00001$ est dix fois plus petit que $10^{-4}$.

    Écriture	5 × 10⁻⁵	3,2 × 10⁻⁴	9 × 10⁻⁴	1,1 × 10⁻³
    Décimal	0,00005	0,00032	0,0009	0,0011

15. 15. A : en haut, $2^3\times 2^4=2^{3+4}=$$2^7$. Puis $\frac{2^7}{2^5}=2^{7-5}=$$2^2$. Réponse : $A=2^2=$$4$. ⭐ Contrôle par les nombres : $\frac{8\times 16}{32}=\frac{128}{32}=$$4$. B : $(3^2{)}^2=3^{2\times 2}=$$3^4$. Le dernier $3$ s'écrit $3^1$ : un facteur de plus. $3^4\times 3^1=3^{4+1}=$$3^5$. Réponse : $B=3^5=$$243$. ⛔ Le piège : oublier le $3$ seul, parce qu'aucun exposant n'est écrit. $3=$$3^1$ : il compte pour un facteur.
16. 16. a) $2^3+2^4=8+16=$$24$, alors que $2^7=$$128$. FAUX : aucune règle ne permet d'additionner des puissances en ajoutant les exposants. b) $2^3\times 3^3=8\times 27=216$ et $6^3=6\times 6\times 6=$$216$. VRAI : l'exposant est commun, et $(2\times 3)\times (2\times 3)\times (2\times 3)$ contient trois $2$ et trois $3$. c) $10^2+10^3=100+1000=$$1100$, alors que $10^5=$$100000$. FAUX. d) Dix facteurs $-1$ : un nombre pair de signes moins, le produit est positif. VRAI : $(-1{)}^{10}=$$1$. ⛔ Le piège : répondre « faux » au b) par réflexe, parce que les bases sont différentes. Ce qui décide, c'est ce qui est COMMUN : ici, l'exposant.
17. 17. Le voyage de la lumière a) Durée $=$ distance $÷$ vitesse : $\frac{1,5\times 10^8}{3\times 10^5}=\frac{1,5}{3}\times 10^{8-5}=0,5\times 10^3=500$ s. Et $500=8\times 60+$$20$. Réponse : $8$ min $20$ s. b) $\frac{4,5\times 10^9}{3\times 10^5}=1,5\times 10^4=15000$ s. Une heure compte $3600$ s : $4\times 3600=$$14400$, il reste $600$ s, soit $10$ min. Réponse : $4$ h $10$ min. c) $\frac{4,5\times 10^9}{1,5\times 10^8}=3\times 10^1=$$30$. Réponse : Neptune est environ $30$ fois plus loin du Soleil que la Terre. ⭐ Contrôle : $30\times 500=15000$ s, la durée du b). Trente fois plus loin, trente fois plus longtemps. ⛔ Le piège : diviser les exposants, $8÷$$5$. Pour un QUOTIENT de puissances de dix, on SOUSTRAIT les exposants.
18. 18. Le disque plein de photos a) Nombre de photos $=$ capacité $÷$ poids d'une photo : $\frac{10^{12}}{4\times 10^6}=\frac{1}{4}\times 10^{12-6}=0,25\times$$10^6$. $0,25$ est plus petit que $1$ : $0,25\times 10^6=2,5\times$$10^5$. Réponse : $2,5\times 10^5$ photos, soit $250000$ photos. b) $250000÷25=10000$ jours. Une année compte $365$ jours : $10000÷365\approx$$27,4$. Réponse : $10000$ jours, environ $27$ ans. c) $\frac{10^9}{10^6}=10^{9-6}=$$10^3$. Réponse : un Go contient $1000$ Mo. ⛔ Le piège : dans a), s'arrêter à $0,25\times$$10^6$. Le nombre devant doit être entre $1$ et $10$ : il devient dix fois plus grand, l'exposant perd $1$.

    Préfixe	kilo (ko)	méga (Mo)	giga (Go)	téra (To)
    Octets	10³	10⁶	10⁹	10¹²
    En clair	mille	un million	un milliard	mille milliards

19. 19. Les fourmis de la Terre a) $\frac{2\times 10^{16}}{8\times 10^9}=\frac{2}{8}\times 10^{16-9}=0,25\times 10^7=2,5\times$$10^6$. Réponse : environ $2,5\times 10^6$ fourmis par être humain, soit $2500000$. b) Longueur $=$ nombre $\times$ longueur d'une fourmi : $2\times 10^{16}\times 5\times 10^{-3}=(2\times 5)\times 10^{16+(-3)}=10\times 10^{13}=10^{14}$ m. c) $1$ km $=10^3$ m, donc je divise par $10^3$ : $10^{14-3}=10^{11}$ km. Puis $\frac{10^{11}}{4\times 10^4}=0,25\times 10^7=2,5\times$$10^6$. Réponse : la file ferait environ deux millions et demi de tours de la Terre. ⛔ Le piège : dans b), écrire que $10\times 10^{13}$ fait $10^{13}$, en oubliant le $10$ devant. $10=$$10^1$ : il ajoute un zéro.
20. 20. Plier une feuille jusqu'à la Lune a) $1$ pliage : $2$ couches ; $2$ pliages : $2\times 2=$$4$ ; $3$ pliages : $2\times 2\times 2=$$8$. Réponse : après $n$ pliages, $2^n$ couches, un facteur $2$ par pliage. b) $2^{10}=1024$ couches. Épaisseur : $1024\times 10^{-4}=0,1024$ m. Réponse : environ $10$ cm, l'épaisseur d'un gros dictionnaire. c) $4,4\times 10^{12}\times 10^{-4}=4,4\times 10^8$ m. En kilomètres, je divise par $10^3$ : $4,4\times 10^5$ km. Même exposant que la distance Terre-Lune, et $4,4>$$3,84$. Réponse : la pile dépasserait la Lune. ⭐ En vrai, la feuille refuse de se plier bien avant : vers le septième pliage. Mais le calcul montre la force du doublement : $42$ doublements suffisent pour passer de $0,1$ mm à la Lune. ⛔ Le piège : croire qu'après $10$ pliages on a $2\times 10=20$ couches. Chaque pliage MULTIPLIE par $2$, il n'ajoute pas $2$.

    Pliages	1	2	3	10
    Couches	2	4	8	1 024
    Épaisseur	0,2 mm	0,4 mm	0,8 mm	10,24 cm