Les statistiques : 20 exercices corrigésmaths 3e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les statistiques, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Je lis la colonne « $1$ but » : $8$ matchs. b) L'effectif total est la somme de la ligne des effectifs : $4+8+7+4+2=25$ matchs. c) Au moins $2$ buts, c'est $2$, $3$ ou $4$ buts : $7+4+2=13$ matchs. Fréquence : $\frac{13}{25}=$$0,52$, soit $52$ %. d) $\frac{4}{25}=$$0,16$, soit $16$ %. ⛔ Le piège : diviser par $5$, le nombre de colonnes. La fréquence se calcule sur l'effectif TOTAL, les $25$ matchs. Réponse : $8$ matchs ; $25$ matchs ; $13$ matchs, soit $52$ % ; $16$ % sans but.
2. 2. a) Je cherche la barre la plus haute : mai, avec $69$ mm. La plus basse : février, avec $42$ mm. b) Je passe les barres en revue et je garde celles qui dépassent $55$ : mai ($69$), juillet ($59$), août ($58$) et décembre ($62$). Cela fait $4$ mois. c) Je lis le haut de la barre de juillet : $59$ mm. ⛔ Le piège au b) : compter octobre. Il reçoit $55$ mm tout juste, et « plus de $55$ » exclut $55$. ⭐ Surprise : à Paris, le mois le plus sec n'est pas en été, c'est février. Réponse : mai ($69$ mm) et février ($42$ mm) ; $4$ mois ; $59$ mm.
3. 3. J'additionne toutes les valeurs, puis je divise par leur nombre, ici $6$ matchs. $18+25+12+30+21+14=$$120$, et $\frac{120}{6}=$$20$. ⭐ Contrôle : $20$ est bien entre le plus petit score, $12$, et le plus grand, $30$. ⛔ Le piège : s'arrêter à la somme, $120$. Une moyenne plus grande que tous les scores est impossible : il manque la division. Réponse : elle marque en moyenne $20$ points par match.
4. 4. Chaque valeur compte autant de fois que son effectif : je multiplie chaque valeur par son effectif, j'additionne, puis je divise par l'effectif total. Effectif total : $5+10+6+3+1=25$ élèves. Somme : $0\times 5+1\times 10+2\times 6+3\times 3+4\times 1=0+10+12+9+4=$$35$. Moyenne : $\frac{35}{25}=$$1,4$. ⛔ Le piège : faire la moyenne des valeurs du tableau, $\frac{0+1+2+3+4}{5}=$$2$. Ce serait compter le seul élève qui a $4$ frères et sœurs autant que les $10$ qui en ont $1$. Réponse : $1,4$ frère ou sœur par élève, en moyenne.

   Frères et sœurs	0	1	2	3	4
   Valeur × effectif	0	10	12	9	4
5. 5. Je RANGE d'abord, du plus petit au plus grand : $44$, $47$, $49$, $50$, $52$, $55$, $58$, $61$, $70$. Il y a $9$ valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu, la $5^e$, avec $4$ valeurs de chaque côté. Donc la médiane est $52$ minutes. ⛔ Le piège : prendre la $5^e$ valeur de la liste telle qu'elle arrive, $58$. Sans ranger, le milieu de la liste ne veut rien dire. Réponse : le temps médian est $52$ min : la moitié des coureurs a mis $52$ min ou moins.
6. 6. Je range : $28$, $30$, $32$, $36$, $38$, $40$, $45$, $50$. Il y a $8$ valeurs, un nombre pair : pas de valeur au milieu. La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, la $4^e$ et la $5^e$ : $\frac{36+38}{2}=$$37$. ⭐ $37$ n'est aucune des valeurs, et ce n'est pas grave : $4$ semaines sont en dessous, $4$ au-dessus. ⛔ Le piège : avec un effectif pair, prendre une seule des deux valeurs centrales, ou les prendre sans ranger : $\frac{40+36}{2}=$$38$. Réponse : la médiane est $37$ km.
7. 7. L'étendue mesure l'écart entre les deux extrêmes : la plus grande valeur moins la plus petite. La plus grande taille est $205$ cm (J5), la plus petite $178$ cm (J4). Étendue : $205-178=27$ cm. ⛔ Le piège : répondre $205$, la valeur maximale. L'étendue n'est pas un maximum, c'est un ÉCART. ⛔ Autre piège : faire « dernière moins première » dans la liste non rangée, $197-186=$$11$. Réponse : l'étendue est $27$ cm : entre le plus petit et le plus grand joueur, il y a $27$ cm.
8. 8. a) $16+26+22=64$ médailles. b) La fréquence d'une couleur est son effectif divisé par l'effectif TOTAL, $64$. Or : $\frac{16}{64}=$$0,25$, soit $25$ %. Argent : $\frac{26}{64}=$$0,40625$, soit environ $40,6$ %. Bronze : $\frac{22}{64}=$$0,34375$, soit environ $34,4$ %. c) $0,25+0,40625+0,34375=$$1$, soit $100$ %. Avec les arrondis : $25+40,6+34,4=$$100$. ⛔ Le piège : diviser par $3$, le nombre de couleurs. On divise par le nombre de MÉDAILLES. Réponse : $64$ médailles ; or $25$ %, argent $40,6$ %, bronze $34,4$ %.
9. 9. a) La moyenne est la somme divisée par le nombre de jours : « =SOMME(B2:H2)/7 », ou directement « =MOYENNE(B2:H2) ». b) $8200+10500+6400+12000+9300+15100+8500=$$70000$, et $\frac{70000}{7}=10000$ pas par jour. c) Je range : $6400$, $8200$, $8500$, $9300$, $10500$, $12000$, $15100$. $7$ valeurs : la médiane est la $4^e$, $9300$ pas. d) $15100-6400=8700$ pas. ⭐ La moyenne ($10000$) dépasse la médiane ($9300$) : le samedi à $15100$ pas tire la moyenne vers le haut. ⛔ Le piège au c) : répondre $12000$, la valeur du jeudi, au milieu de la SEMAINE mais pas au milieu de la série rangée. Réponse : $10000$ pas en moyenne, médiane $9300$ pas, étendue $8700$ pas.
10. 10. a) Total : $48+42+45+46+69+51+59+58+45+55+54+62=634$ mm. Moyenne : $\frac{634}{12}\approx 52,8$ mm par mois. b) Je range : $42$, $45$, $45$, $46$, $48$, $51$, $54$, $55$, $58$, $59$, $62$, $69$. $12$ valeurs, un nombre pair : la médiane est la moyenne des $6^e$ et $7^e$ valeurs, $\frac{51+54}{2}=52,5$ mm. c) $52,8$ et $52,5$ sont très proches : aucun mois n'est extrême, la pluie est bien répartie sur l'année. Ici, moyenne et médiane racontent la même histoire. ⛔ Le piège au b) : prendre la $6^e$ valeur seule, $51$. Avec $12$ valeurs, il y a DEUX valeurs centrales. Réponse : $634$ mm par an, environ $52,8$ mm par mois en moyenne, médiane $52,5$ mm.
11. 11. a) Je lis le haut du bâton « $2$ » : $8$ élèves. Effectif total : $4+9+8+5+3+1=30$ élèves. b) Chaque valeur compte autant de fois que son effectif : $0\times 4+1\times 9+2\times 8+3\times 5+4\times 3+5\times 1=0+9+16+15+12+5=$$57$, et $\frac{57}{30}=1,9$ livre. c) $30$ valeurs : la médiane est la moyenne des $15^e$ et $16^e$. J'additionne les effectifs au fur et à mesure : $4$, $13$, $21$… Les rangs $14$ à $21$ ont lu $2$ livres : la $15^e$ et la $16^e$ valeur valent $2$, donc la médiane est $2$. d) Au moins $3$ livres : $5+3+1=9$ élèves, et $\frac{9}{30}=$$0,3$, soit $30$ %. ⛔ Le piège au c) : prendre la valeur du plus haut bâton, $1$, ou le milieu de l'axe. La médiane se cherche dans les RANGS, avec les effectifs cumulés. Réponse : $8$ élèves sur $30$ ; $1,9$ livre en moyenne ; médiane $2$ ; $30$ %.

    Livres	0	1	2	3	4	5
    Effectif cumulé	4	13	21	26	29	30
12. 12. a) Inès : $\frac{14+16+15+17+13}{5}=\frac{75}{5}=$$15$. Maya : $\frac{5+28+9+25+8}{5}=\frac{75}{5}=$$15$. La même moyenne. b) Inès : $17-13=4$ points. Maya : $28-5=23$ points. c) La moyenne ne les distingue pas ; l'étendue, si. Les scores d'Inès sont serrés entre $13$ et $17$ ; ceux de Maya vont de $5$ à $28$. Pour compter sur une joueuse à CHAQUE match, je choisis Inès, la plus régulière. ⭐ Maya reste utile : elle peut faire un très gros match. Mais on ne sait jamais lequel. ⛔ Le piège : conclure « elles se valent » en ne regardant que la moyenne. Réponse : même moyenne, $15$ points ; étendues $4$ et $23$ ; je choisis Inès.
13. 13. Une moyenne de $12$ sur $6$ semaines, c'est un total de $12\times 6=72$ mm. Les cinq semaines connues font $8+15+10+14+9=56$ mm. La sixième a donc reçu $72-56=16$ mm. ⭐ Je vérifie : $\frac{56+16}{6}=\frac{72}{6}=$$12$. ⛔ Le piège : répondre $12$, « la moyenne ». Les cinq premières semaines ont une moyenne de $11,2$ : il faut compenser. Réponse : $16$ mm la sixième semaine.
14. 14. a) Somme : $0+2+0+1+3+0+85+2+1+0=94$ mm. Moyenne : $\frac{94}{10}=9,4$ mm. Je range : $0$, $0$, $0$, $0$, $1$, $1$, $2$, $2$, $3$, $85$. $10$ valeurs : la médiane est la moyenne des $5^e$ et $6^e$, $\frac{1+1}{2}=1$ mm. b) Un seul jour dépasse $9,4$ mm : le jour de l'orage. Les neuf autres sont en dessous. c) Une journée ordinaire : la MÉDIANE, $1$ mm. L'orage tire la moyenne vers le haut, pas la médiane, qui ne regarde que les rangs. Le total d'eau, lui, se retrouve avec la MOYENNE : $9,4\times 10=94$ mm, comme si l'eau était répartie également sur les dix jours. ⛔ Le piège : dire « il a plu environ $9$ mm par jour ». Aucun jour n'a ressemblé à ça. Réponse : moyenne $9,4$ mm, médiane $1$ mm ; un seul jour au-dessus de la moyenne.
15. 15. La vitesse moyenne, c'est la distance totale divisée par la durée totale. Chaque vitesse compte autant de fois que le nombre d'heures où il l'a tenue. Distance : $3\times 30+1\times 18=90+18=108$ km. Durée : $3+1=4$ h. Vitesse moyenne : $\frac{108}{4}=27$ km/h. ⛔ Le piège : $\frac{30+18}{2}=24$ km/h. Ce serait vrai s'il avait roulé aussi longtemps à chaque vitesse ; il a roulé TROIS fois plus longtemps à $30$ km/h. Réponse : $27$ km/h.
16. 16. a) VRAI. La médiane coupe la série rangée en deux moitiés : au moins la moitié des $24$ élèves, soit $12$, ont une note supérieure ou égale à $12$. b) VRAI. L'étendue est la meilleure note moins la plus basse, donc la meilleure note vaut $5+14=$$19$. c) IMPOSSIBLE À SAVOIR. La moyenne n'est pas forcément une note de la série : $11$ peut n'avoir été obtenu par personne, ou par plusieurs élèves. d) FAUX. Toutes les notes montent de $1$ : la plus haute passe à $20$, la plus basse à $6$, et $20-6=$$14$. L'écart ne bouge pas. ⛔ Le piège au c) : croire que la moyenne est la note « d'au moins un élève ». ⛔ Le piège au d) : croire que tout augmente de $1$. La moyenne et la médiane, oui ; l'étendue, non. Réponse : vrai, vrai, impossible à savoir, faux.
17. 17. Kipchoge à Berlin a) Je compte les secondes après $2$ h, avec $1$ min $=60$ s. 2015 : $4\times 60+0=240$ s. 2017 : $3\times 60+32=212$ s. 2018 : $1\times 60+39=99$ s. 2022 : $1\times 60+9=69$ s. 2023 : $2\times 60+42=162$ s. b) $240+212+99+69+162=$$782$, et $\frac{782}{5}=156,4$ s. Or $156,4=2\times 60+$$36,4$ : le temps moyen est $2$ h $02$ min $36,4$ s. c) Je range : $69$, $99$, $162$, $212$, $240$. $5$ valeurs : la médiane est la $3^e$, $162$ s, soit $2$ h $02$ min $42$ s, le temps de 2023. d) $240-69=171$ s, et $171=2\times 60+$$51$ : $2$ min $51$ s entre sa course la plus lente (2015) et la plus rapide (2022, record du monde à l'époque). ⛔ Le piège : calculer sur les minutes comme sur des décimaux. De $2$ h $01$ min $09$ s à $2$ h $04$ min $00$ s, il n'y a pas « $2,91$ min » : une minute compte $60$ secondes, pas $100$. Réponse : moyenne $2$ h $02$ min $36,4$ s ; médiane $2$ h $02$ min $42$ s ; étendue $2$ min $51$ s.
18. 18. Le climat de Paris a) $5+6+9+12+16+19+21+21+17+13+9+6=$$154$, et $\frac{154}{12}\approx 12,8$ °C. b) Je range : $5$, $6$, $6$, $9$, $9$, $12$, $13$, $16$, $17$, $19$, $21$, $21$. $12$ valeurs : la médiane est la moyenne des $6^e$ et $7^e$, $\frac{12+13}{2}=12,5$ °C. c) $21-5=16$ °C, entre janvier et juillet-août. d) Plus de $12,8$ °C : mai, juin, juillet, août, septembre et octobre. $6$ mois, la moitié de l'année. e) La moyenne de l'année est presque exactement la moyenne des douze mois (les mois n'ont pas tous le même nombre de jours), et nos arrondis au degré se compensent. ⛔ Le piège au c) : répondre $21$, le maximum. L'étendue est un écart : la plus grande valeur moins la plus petite. Réponse : environ $12,8$ °C en moyenne, médiane $12,5$ °C, étendue $16$ °C, $6$ mois au-dessus de la moyenne.
19. 19. Le salaire « moyen » de l'entreprise a) $10+6+2+2=20$ personnes. b) Chaque salaire compte autant de fois que son effectif : $1900\times 10+2200\times 6+2800\times 2+7500\times 2=19000+13200+5600+15000=52800$ €. Moyenne : $\frac{52800}{20}=2640$ €. c) $20$ salaires, un nombre pair : la médiane est la moyenne des $10^e$ et $11^e$. Rangs $1$ à $10$ : $1900$ € ; rangs $11$ à $16$ : $2200$ €. Médiane : $\frac{1900+2200}{2}=2050$ €. d) $10+6=16$ personnes sur $20$ gagnent moins que $2640$ €, soit $80$ %. e) Ce n'est pas faux : la moyenne vaut bien $2640$ €. Mais quatre personnes sur cinq gagnent moins ; ce sont les deux dirigeants qui tirent la moyenne. Le salaire médian, $2050$ €, dit mieux ce que gagne un salarié ordinaire. f) Le total augmente de $2000$ € : la moyenne devient $\frac{54800}{20}=2740$ €. La médiane ne regarde que les rangs $10$ et $11$ : elle reste $2050$ €. ⛔ Le piège au b) : la moyenne des quatre salaires du tableau, $\frac{1900+2200+2800+7500}{4}=3600$ €, comme s'il y avait autant de dirigeants que d'employés. Réponse : moyenne $2640$ €, médiane $2050$ € ; l'augmentation des dirigeants ajoute $100$ € à la moyenne et rien à la médiane.

    Salaire net (€)	1 900	2 200	2 800	7 500
    Salaire × effectif	19 000	13 200	5 600	15 000
20. 20. Le portrait-robot a) Je traduis chaque contrainte. Moyenne $12$ sur $5$ notes : un total de $12\times 5=$$60$. Médiane $14$ : la $3^e$ note rangée vaut $14$. Étendue $10$ : la plus grande note dépasse la plus petite de $10$. J'essaie une plus petite note de $6$, donc une plus grande de $16$ : $6$, ?, $14$, ?, $16$. Il reste $60-6-14-16=24$ pour les deux notes manquantes, l'une entre $6$ et $14$, l'autre entre $14$ et $16$ : $10$ et $14$ conviennent. Une solution : $6$, $10$, $14$, $14$, $16$. Je vérifie : $6+10+14+14+16=$$60$, médiane $14$, étendue $16-6=$$10$. b) Non. La médiane est $14$, donc la plus grande note vaut au moins $14$, et avec une étendue de $4$ la plus petite vaut au moins $14-4=$$10$. Les deux notes du bas valent donc au moins $10$, les trois du haut au moins $14$ : le total vaut au moins $10+10+14+14+14=$$62$, plus que $60$. ⛔ Le piège : chercher au hasard. Je pars des contraintes : le total d'abord, puis la note du milieu, puis les extrêmes. Réponse : par exemple $6$, $10$, $14$, $14$, $16$ ; au b), c'est impossible.