Statistiques : moyenne, médiane, étendue : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : statistiques : moyenne, médiane, étendue, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. J'additionne les cinq temps, puis je divise par le nombre de longueurs, $5$. $42+45+44+47+42=$$220$, et $\frac{220}{5}=$$44$. ⭐ Contrôle : $44$ est bien entre le temps le plus court, $42$ s, et le plus long, $47$ s. Sur le dessin, la ligne rouge de la moyenne passe au milieu des barres : ce qui dépasse au-dessus comble ce qui manque en dessous. ⛔ Le piège : ne compter qu'une fois le temps $42$, qui revient deux fois : $\frac{42+45+44+47}{4}=$$44,5$. Chaque longueur compte, même si son temps se répète. Réponse : il nage une longueur en $44$ s en moyenne.
2. 2. Je RANGE d'abord, du plus petit au plus grand : $58$, $64$, $69$, $72$, $77$, $81$, $90$. Il y a $7$ valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu, la $4^e$, avec $3$ valeurs de chaque côté. Donc la médiane est $72$ cm. ⛔ Le piège : prendre la $4^e$ valeur de la liste non rangée, $90$ : c'est le plus grand chêne, pas celui du milieu. Réponse : la hauteur médiane est $72$ cm : au moins la moitié des chênes mesure $72$ cm ou moins.
3. 3. Je range : $15$, $17$, $18$, $19$, $21$, $24$. Il y a $6$ valeurs, un nombre pair : aucune n'est au milieu. La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, la $3^e$ et la $4^e$ : $\frac{18+19}{2}=$$18,5$. ⭐ $18,5$ n'est aucune des valeurs, et ce n'est pas grave : $3$ jours sont en dessous, $3$ au-dessus. ⛔ Le piège : prendre les deux valeurs du milieu SANS ranger, la $3^e$ et la $4^e$ de la liste : $\frac{15+19}{2}=$$17$. Réponse : la température médiane est $18,5$ °C.
4. 4. L'étendue mesure l'écart entre les deux extrêmes : la plus grande valeur moins la plus petite. Le chat le plus lourd pèse $5,1$ kg (C3), le plus léger $3,6$ kg (C2). Étendue : $5,1-3,6=1,5$ kg. ⛔ Le piège : faire « dernière moins première » dans la liste, $4,5-4,2=$$0,3$. Les extrêmes ne sont ni au début ni à la fin : je les cherche. Réponse : l'étendue est $1,5$ kg : entre le chat le plus léger et le plus lourd, il y a $1,5$ kg.
5. 5. Chaque pointure compte autant de fois qu'il y a de joueuses qui la portent : je multiplie chaque pointure par son effectif, j'additionne, puis je divise par le nombre TOTAL de joueuses. Effectif total : $3+6+7+4=20$ joueuses. Somme : $37\times 3+38\times 6+39\times 7+40\times 4=111+228+273+160=$$772$. Moyenne : $\frac{772}{20}=$$38,6$. ⭐ Contrôle : $38,6$ est bien entre $37$ et $40$. ⛔ Le piège : diviser par $4$, le nombre de pointures DIFFÉRENTES : $\frac{772}{4}=$$193$, une pointure de géant. Réponse : la pointure moyenne est $38,6$.

   Pointure	Joueuses	Pointure × joueuses
   37	3	111
   38	6	228
   39	7	273
   40	4	160
   Total	20	772

6. 6. J'additionne les cinq températures AVEC leurs signes, puis je divise par $5$. $(-4)+(-1)+2+(-3)+1=$$-5$. $\frac{-5}{5}=$$-1$. ⭐ Contrôle : $-1$ est bien entre la plus basse, $-4$, et la plus haute, $2$. ⛔ Le piège : oublier les signes « moins » : $\frac{4+1+2+3+1}{5}=$$2,2$. Une moyenne au-dessus de zéro alors que trois matins sur cinq ont gelé : impossible. Réponse : la température moyenne est $-1$ °C.
7. 7. a) L'étendue est le plus grand temps moins le plus petit. Le plus petit temps, c'est celui du plus rapide, $38$ min. Donc le plus lent a mis $38+12=50$ min. b) Non : aucun temps ne dépasse celui du plus lent, $50$ min. D'ailleurs $52-38=$$14$, plus que l'étendue. ⛔ Le piège : calculer $38-12=26$ min. Le plus rapide a le PLUS PETIT temps : le plus lent est au-dessus, pas en dessous. Réponse : le plus lent a mis $50$ min ; $52$ min est impossible.
8. 8. Je vérifie d'abord la moyenne : $\frac{14+2+13+12+14}{5}=\frac{55}{5}=$$11$. Ce qui coupe le groupe en deux moitiés, ce n'est pas la moyenne, c'est la MÉDIANE. Je range : $2$, $12$, $13$, $14$, $14$. $5$ valeurs : la médiane est la $3^e$, $13$. Léa, avec $12$, est SOUS la médiane : elle est l'avant-dernière du groupe. Pourquoi la moyenne est-elle si basse ? La note $2$, très à l'écart, la tire vers le bas. ⛔ Le piège : croire que la moyenne coupe le groupe en deux. Ici, $4$ élèves sur $5$ ont plus que la moyenne. Réponse : non, Léa n'est pas dans la meilleure moitié : la médiane est $13$.
9. 9. a) Total : $18+25+12+30+21+16+25=147$ kg. Moyenne : $\frac{147}{7}=21$ kg. b) Je range : $12$, $16$, $18$, $21$, $25$, $25$, $30$. $7$ valeurs : la médiane est la $4^e$, $21$ kg. c) $30-12=18$ kg. d) Plus de $21$ kg : R2 ($25$), R4 ($30$) et R7 ($25$). Cela fait $3$ ruches. R5 donne exactement $21$ kg : ce n'est pas « plus ». ⭐ Ici, la moyenne et la médiane sont égales : aucune ruche n'est très à l'écart, la série est équilibrée. ⛔ Le piège au b) : prendre la $4^e$ ruche du diagramme, R4, qui vaut $30$. Le diagramme suit l'ordre des ruches, pas l'ordre des masses. Réponse : $21$ kg en moyenne, médiane $21$ kg, étendue $18$ kg, $3$ ruches au-dessus de la moyenne.
10. 10. a) $1$ mois de $28$ jours (février), $4$ mois de $30$ jours (avril, juin, septembre, novembre) et $7$ mois de $31$ jours. Contrôle : $1+4+7=$$12$. b) Chaque durée compte autant de fois que son effectif : $28\times 1+30\times 4+31\times 7=28+120+217=$$365$, le nombre de jours de l'année. Moyenne : $\frac{365}{12}\approx 30,4$ jours. c) $12$ valeurs : la médiane est la moyenne des $6^e$ et $7^e$. J'additionne les effectifs dans l'ordre : $1$, puis $5$, puis $12$. Les rangs $6$ à $12$ ont $31$ jours : la $6^e$ et la $7^e$ valeur valent $31$, la médiane est $31$ jours. Étendue : $31-28=3$ jours. d) Le total passe à $366$ jours : moyenne $\frac{366}{12}=30,5$ jours. La médiane ne bouge pas, $31$ jours. L'étendue devient $31-29=2$ jours. ⛔ Le piège au c) : répondre $30$, la valeur « du milieu » parmi $28$, $30$ et $31$. La médiane se cherche dans les RANGS des $12$ mois, pas parmi les $3$ valeurs différentes. Réponse : $30,4$ jours en moyenne, médiane $31$ jours, étendue $3$ jours ; en 2028 : $30,5$ jours, $31$ jours et $2$ jours.

    Jours	Mois	Cumul	Jours × mois
    28	1	1	28
    30	4	5	120
    31	7	12	217
    Total	12		365
11. 11. a) $11+14+9+14=$$48$, et $\frac{48}{4}=$$12$. b) Une moyenne de $13$ sur $5$ contrôles, c'est un total de $13\times 5=65$ points. Il en a déjà $48$ : il lui faut $65-48=$$17$. Je vérifie : $\frac{48+17}{5}=\frac{65}{5}=$$13$. c) Il faudrait un total de $15\times 5=75$ points, donc $75-48=27$ au dernier contrôle. Impossible : la note maximale est $20$. ⛔ Le piège : répondre $13$, la moyenne qu'il vise. Avec $13$ au dernier contrôle, sa moyenne serait $\frac{48+13}{5}=$$12,2$ : la dernière note doit aussi rattraper le retard des quatre premières. Réponse : $12$ de moyenne aujourd'hui ; il lui faut $17$ ; $15$ de moyenne est impossible.
12. 12. a) $180+195+210+200+190+205+920=$$2100$, et $\frac{2100}{7}=300$ milliers d'euros, soit $300000$ €. b) Je range : $180$, $190$, $195$, $200$, $205$, $210$, $920$. $7$ valeurs : la médiane est la $4^e$, $200$ milliers d'euros. c) $6$ maisons sur $7$ : toutes, sauf la villa. d) La médiane, $200000$ €. La villa, très à l'écart, tire la moyenne vers le haut. La médiane, elle, ne regarde que le rang du milieu : la villa pourrait valoir le double, la médiane ne bougerait pas. ⛔ Le piège : croire que « en moyenne » veut dire « d'habitude ». Ici, aucune maison ne s'est vendue près de $300000$ €. Réponse : moyenne $300000$ €, médiane $200000$ € ; la médiane décrit mieux une maison ordinaire.
13. 13. a) Chaque valeur compte autant de fois que son effectif : $1\times 27+2\times 8+3\times 3+4\times 2=27+16+9+8=60$ personnes, dans $27+8+3+2=40$ voitures. Moyenne : $\frac{60}{40}=1,5$ personne par voiture. b) $40$ valeurs : la médiane est la moyenne des $20^e$ et $21^e$. Les $27$ premières voitures, rangées, n'ont qu'une personne : la $20^e$ et la $21^e$ valent $1$, donc la médiane est $1$. c) La médiane dit l'inverse du maire : plus de la moitié des voitures, $27$ sur $40$, roulent avec le conducteur SEUL. La moyenne de $1,5$ vient de quelques voitures pleines. ⛔ Le piège au b) : prendre le milieu des valeurs $1$, $2$, $3$, $4$, soit $2,5$. La médiane se cherche parmi les $40$ voitures, avec les effectifs cumulés. Réponse : $1,5$ personne en moyenne, médiane $1$ : la plupart des voitures ne transportent que le conducteur.

    Personnes	Voitures	Cumul
    1	27	27
    2	8	35
    3	3	38
    4	2	40
14. 14. a) Série fausse : $14+9+81+11+13=$$128$, moyenne $\frac{128}{5}=25,6$ min. Rangée : $9$, $11$, $13$, $14$, $81$ : médiane $13$ min. Étendue : $81-9=72$ min. b) Série corrigée : $14+9+18+11+13=$$65$, moyenne $\frac{65}{5}=13$ min. Rangée : $9$, $11$, $13$, $14$, $18$ : médiane $13$ min. Étendue : $18-9=9$ min. c) La médiane n'a pas bougé : elle ne dépend que de la valeur du MILIEU, et le $81$ comme le $18$ restent à la dernière place. La moyenne et l'étendue, elles, utilisent la plus grande valeur : l'erreur les fausse. ⛔ Le piège : croire qu'une seule faute de frappe ne change presque rien. Ici, elle double presque la moyenne et multiplie l'étendue par $8$. Réponse : série fausse : $25,6$ ; $13$ ; $72$. Série corrigée : $13$ ; $13$ ; $9$. Seule la médiane résiste à l'erreur.
15. 15. a) $25$ valeurs, un nombre impair : la médiane est la $13^e$ valeur, avec $12$ élèves avant et $12$ après. J'additionne les effectifs au fur et à mesure : $1$, $3$, $7$, $13$. Les rangs $8$ à $13$ ont $3$ bonnes réponses : la $13^e$ valeur est $3$, la médiane est $3$. b) $0\times 1+1\times 2+2\times 4+3\times 6+4\times 5+5\times 7=0+2+8+18+20+35=$$83$, et $\frac{83}{25}=3,32$ bonnes réponses. c) $5-0=5$ bonnes réponses. ⛔ Le piège au a) : répondre $5$, parce que c'est la valeur qui a le plus d'élèves, ou $2,5$, le milieu entre $0$ et $5$. La médiane se trouve par les RANGS. Réponse : médiane $3$, moyenne $3,32$, étendue $5$.

    Réponses	Élèves	Cumul
    0	1	1
    1	2	3
    2	4	7
    3	6	13
    4	5	18
    5	7	25

16. 16. Je ne peux pas faire la moyenne des deux moyennes : les classes n'ont pas le même nombre d'élèves. Je repasse par les TOTAUX de points. 4e A : $12,5\times 20=250$ points. 4e B : $10\times 30=300$ points. Total : $250+300=550$ points pour $20+30=50$ élèves. Moyenne : $\frac{550}{50}=$$11$. ⭐ Contrôle : $11$ est entre $10$ et $12,5$, et plus près de $10$ : la 4e B, plus nombreuse, pèse plus lourd. ⛔ Le piège : $\frac{12,5+10}{2}=$$11,25$. Ce serait juste si les deux classes avaient le même effectif. Réponse : la moyenne des $50$ élèves est $11$.

    Classe	Élèves	Moyenne	Points
    4e A	20	12,5	250
    4e B	30	10	300
    Total	50	11	550
17. 17. Les huit planètes a) $5+12+13+7+143+121+51+50=$$402$, et $\frac{402}{8}=50,25$ milliers de km, soit environ $50000$ km. b) Je range : $5$, $7$, $12$, $13$, $50$, $51$, $121$, $143$. $8$ valeurs : la médiane est la moyenne des $4^e$ et $5^e$, $\frac{13+50}{2}=31,5$ milliers de km. c) $143-5=138$ milliers de km : Jupiter est presque $30$ fois plus large que Mercure. d) Non. La médiane, $31,5$, tombe dans le vide : aucune planète ne mesure entre $13$ et $50$ milliers de km. La série forme DEUX familles : quatre petites planètes rocheuses, de $5$ à $13$, et quatre géantes, de $50$ à $143$. Je décris plutôt chaque famille : $\frac{5+7+12+13}{4}=9,25$ pour les rocheuses, $\frac{50+51+121+143}{4}=91,25$ pour les géantes. ⛔ Le piège : croire qu'un indicateur décrit toujours une valeur « typique ». Quand la série a deux groupes, la médiane tombe entre les deux. Réponse : moyenne $50,25$, médiane $31,5$, étendue $138$ (en milliers de km) ; il faut décrire les deux familles séparément.
18. 18. Deux toits solaires a) A : $14+15+13+14+16+15+11=98$ kWh, soit $\frac{98}{7}=14$ kWh par jour. B : $18+6+19+17+5+18+15=98$ kWh, soit $14$ kWh par jour aussi. Même total, même moyenne. b) A rangée : $11$, $13$, $14$, $14$, $15$, $15$, $16$ : médiane $14$ kWh. B rangée : $5$, $6$, $15$, $17$, $18$, $18$, $19$ : médiane $17$ kWh. c) A : $16-11=5$ kWh. B : $19-5=14$ kWh. d) La plus régulière est A : son étendue est bien plus petite. Mais un jour ordinaire, B produit plus : sa médiane, $17$ kWh, dépasse $14$. Ce sont deux jours très nuageux, à $5$ et $6$ kWh, qui font tomber sa moyenne. ⛔ Le piège : conclure « les deux se valent » parce que les moyennes sont égales. La moyenne cache ici deux histoires différentes. Réponse : $98$ kWh, soit $14$ kWh par jour, pour les deux ; médianes $14$ et $17$ kWh ; étendues $5$ et $14$ kWh ; A est la plus régulière, B produit plus un jour ordinaire.
19. 19. Les cigognes du marais a) $6+9+11+14+15=$$55$, et $\frac{55}{5}=$$11$. La série est déjà rangée : $5$ valeurs, la médiane est la $3^e$, $11$. b) Une moyenne de $12$ sur $6$ jours, c'est un total de $12\times 6=72$ cigognes. Il en a déjà compté $55$ : il faut $72-55=17$ cigognes le sixième jour. c) Je range : $6$, $9$, $11$, $14$, $15$, $17$. $6$ valeurs : la médiane est la moyenne des $3^e$ et $4^e$, $\frac{11+14}{2}=$$12,5$. d) Avec $6$ valeurs, la médiane est la moyenne des $3^e$ et $4^e$. Si le sixième nombre vaut $9$ ou moins, les deux valeurs du milieu sont $9$ et $11$ : médiane $10$. S'il vaut $14$ ou plus, ce sont $11$ et $14$ : médiane $12,5$. Entre les deux, les valeurs du milieu sont $11$ et ce nombre : il faut qu'il vaille $11$. Il n'y a donc qu'une possibilité : $11$ cigognes. ⛔ Le piège au c) : garder l'ancienne médiane, $11$. Ajouter une valeur change le nombre de valeurs, donc le rang du milieu. Réponse : moyenne et médiane $11$ ; $17$ cigognes ; nouvelle médiane $12,5$ ; seul le nombre $11$ garde la médiane à $11$.
20. 20. Les randonnées oubliées a) Une moyenne de $11$ km sur $4$ randonnées : $11\times 4=44$ km en tout. b) $4$ valeurs : la médiane est la moyenne des $2^e$ et $3^e$ distances rangées. Si leur moyenne vaut $10$, leur somme vaut $10\times 2=20$ km. c) La plus longue : $44-6-20=18$ km. Étendue : $18-6=12$ km. d) Il faut deux distances rangées entre $6$ et $18$, de somme $20$ : par exemple $8$ et $12$. Série : $6$, $8$, $12$, $18$. Je vérifie : $6+8+12+18=$$44$, et $\frac{8+12}{2}=$$10$. e) La $2^e$ distance vaut au moins $6$ (la plus courte) et au plus $10$ (sinon elle dépasserait la $3^e$, qui vaut $20$ moins elle). Cela fait $5$ séries : au milieu, $6$ et $14$, $7$ et $13$, $8$ et $12$, $9$ et $11$, ou $10$ et $10$. ⛔ Le piège : chercher les quatre distances au hasard. Je pars du TOTAL, que donne la moyenne, puis de la somme du milieu, que donne la médiane : la plus longue tombe toute seule. Réponse : $44$ km ; $20$ km ; $18$ km et une étendue de $12$ km ; par exemple $6$, $8$, $12$, $18$ ; $5$ séries possibles.