Le cosinus dans le triangle rectangle : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème : repérer l'hypoténuse et le côté adjacent, écrire le cosinus, calculer une longueur, puis un angle avec la touche cos⁻¹. Un télésiège, des panneaux solaires, le funiculaire de Montmartre, un voilier qui remonte au vent, la vitesse de Paris autour de l'axe de la Terre, une traversée à la nage. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et le triangle dessiné à l'échelle.

Relire le cours — Le cosinus d'un angle aigu

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Un geste par exercice. Je repère l'angle droit, puis je me place sur l'angle aigu étudié, avant d'écrire quoi que ce soit.

Rappel de cours

Dans un triangle rectangle, l'HYPOTÉNUSE est le côté en face de l'angle droit. Le côté ADJACENT à un angle aigu est celui qui touche cet angle sans être l'hypoténuse.
Le cosinus d'un angle aigu : cos = adjacent ÷ hypoténuse. C'est un nombre sans unité, toujours entre 0 et 1.
Un angle connu, une longueur cherchée : la touche cos. Deux longueurs connues, l'angle cherché : la touche cos⁻¹.
La calculatrice doit être en DEGRÉS : un « D » ou « DEG » affiché à l'écran.

1
Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$ . a) Nommer son hypoténuse. b) Nommer le côté adjacent à l'angle $M$ . c) Nommer le côté adjacent à l'angle $P$ . d) Le côté $[MN]$ est-il adjacent à $P$ ?
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Je repère d'abord l'angle droit : il est en $N$ . a) L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit, le seul qui ne touche pas $N$ : l'hypoténuse est $[PM]$ . b) Je me place en $M$ . Deux côtés touchent $M$ : $[PM]$ et $[MN]$ . $[PM]$ est déjà l'hypoténuse, donc le côté adjacent est $[MN]$ . c) Je me place en $P$ . Les deux côtés qui touchent $P$ sont $[PM]$ , l'hypoténuse, et $[NP]$ : le côté adjacent à $P$ est $[NP]$ . d) Non : $[MN]$ ne touche pas $P$ . Il est adjacent à $M$ seulement. ⛔ Le piège : prendre l'hypoténuse pour le côté adjacent, parce qu'elle touche AUSSI l'angle. Elle touche les deux angles aigus et n'est adjacente à aucun : l'adjacent, c'est l'AUTRE côté qui touche l'angle. Réponse : hypoténuse $[PM]$ ; adjacent à $M$ : $[MN]$ ; adjacent à $P$ : $[NP]$ .
2
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ , avec $RS = 12$ cm, $ST = 5$ cm et $TR = 13$ cm. a) Écrire $cos R$ avec les noms des côtés, puis donner sa valeur au centième. b) Même travail pour $cos T$ .
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L'angle droit est en $S$ : l'hypoténuse est $[TR]$ , $13$ cm. a) Je me place en $R$ : le côté adjacent est $[RS]$ . $cos R = \frac{RS}{TR} = \frac{12}{13} \approx$ $0, 92$ . b) Je me place en $T$ : l'adjacent change de côté, c'est maintenant $[ST]$ . $cos T = \frac{ST}{TR} = \frac{5}{13} \approx$ $0, 38$ . ⭐ Contrôle : les deux cosinus sont entre $0$ et $1$ , et l'hypoténuse reste en bas dans les deux quotients. ⛔ Le piège : garder l'adjacent de $R$ pour calculer $cos T$ , et retrouver $0, 92$ . L'adjacent est une PLACE par rapport à l'angle : il bouge quand l'angle bouge. Réponse : $cos R \approx 0, 92$ et $cos T \approx$ $0, 38$ .
3
Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ , avec $EF = 15$ cm, $FG = 8$ cm et $GE = 17$ cm. Un élève écrit : « $cos E =$ $\frac{17}{15} \approx$ $1, 13$ ». a) Sans rien recalculer, pourquoi est-ce forcément faux ? b) Écrire le bon quotient et donner $cos E$ au centième.
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a) L'hypoténuse est le plus long côté d'un triangle rectangle. Le côté adjacent est plus court qu'elle, donc le quotient adjacent sur hypoténuse est plus PETIT que $1$ . Un cosinus de $1, 13$ est impossible. b) L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est $[GE]$ , $17$ cm. Je me place en $E$ : le côté adjacent est $[EF]$ , $15$ cm. $cos E = \frac{EF}{GE} = \frac{15}{17} \approx$ $0, 88$ . ⛔ Le piège : renverser le quotient. L'adjacent est EN HAUT, l'hypoténuse EN BAS ; un résultat plus grand que $1$ est le signal qu'on les a échangés. Réponse : $cos E \approx$ $0, 88$ .
4
Le triangle $K L M$ est rectangle en $L$ , avec $K = 41°$ et $M K = 12$ cm. Calculer $K L$ , arrondi au dixième.
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L'angle droit est en $L$ : l'hypoténuse est $[M K]$ , $12$ cm. Je me place en $K$ : le côté adjacent est $[K L]$ . Dans le triangle $K L M$ rectangle en $L$ : $cos K =$ $\frac{K L}{M K}$ , donc $cos 41° =$ $\frac{K L}{12}$ . L'inconnue est EN HAUT : je multiplie les deux membres par $12$ . $K L = 12 \times cos 41° \approx 9, 1$ cm (la calculatrice affiche $9, 056 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $9, 1 <$ $12$ , l'adjacent est plus court que l'hypoténuse. ⛔ Le piège : la calculatrice réglée en radians. Elle affiche $12 \times cos 41 \approx$ $- 11, 85$ : une longueur NÉGATIVE. Je vérifie le « D » ou « DEG » à l'écran avant de calculer. Réponse : $K L \approx 9, 1$ cm.
5
Le triangle $D EF$ est rectangle en $E$ , avec $D = 28°$ et $D E = 7, 5$ cm. Calculer l'hypoténuse $F D$ , arrondie au dixième.
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L'angle droit est en $E$ : l'hypoténuse est $[F D]$ . Je me place en $D$ : le côté adjacent est $[D E]$ , $7, 5$ cm. $cos D =$ $\frac{D E}{F D}$ , donc $cos 28° =$ $\frac{7 , 5}{F D}$ . Cette fois, l'inconnue est EN BAS. Je multiplie par $F D$ : $F D \times cos 28° =$ $7, 5$ , puis je divise par $cos 28°$ : $F D = \frac{7 , 5}{cos 28°} \approx 8, 5$ cm (la calculatrice affiche $8, 494 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $8, 5 >$ $7, 5$ , l'hypoténuse est bien le plus long côté. ⛔ Le piège : multiplier par habitude, $7, 5 \times cos 28° \approx 6, 6$ cm. Une hypoténuse plus courte que l'adjacent, c'est impossible. Réponse : $F D \approx 8, 5$ cm.
6
Le triangle $A BC$ est rectangle en $B$ , avec $A B = 5, 2$ cm et $C A = 8$ cm. Calculer l'angle $A$ , arrondi au dixième de degré.
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L'angle droit est en $B$ : l'hypoténuse est $[C A]$ , $8$ cm. Je me place en $A$ : le côté adjacent est $[A B]$ , $5, 2$ cm. $cos A = \frac{A B}{C A} = \frac{5 , 2}{8} =$ $0, 65$ . Je connais le cosinus, je cherche l'angle : la touche $cos^{- 1}$ fait le chemin inverse (parfois « Arccos », ou « seconde » puis « cos »). $A = cos^{- 1} (0, 65) \approx$ $49, 5°$ . ⭐ Contrôle : $49, 5°$ est bien un angle aigu. ⛔ Le piège : oublier la parenthèse. En tapant $cos^{- 1} 5, 2 \div$ $8$ , la calculatrice calcule d'abord $cos^{- 1} (5, 2)$ et affiche « Erreur » : aucun angle n'a un cosinus plus grand que $1$ . J'écris $cos^{- 1} (5, 2 \div$ $8)$ . Réponse : $A \approx$ $49, 5°$ .
7
Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$ , avec $PQ = 6, 6$ cm et $RP = 11$ cm. Calculer l'angle $P$ , arrondi au dixième de degré.
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L'angle droit est en $Q$ : l'hypoténuse est $[RP]$ , $11$ cm. Je me place en $P$ : le côté adjacent est $[PQ]$ , $6, 6$ cm. $cos P = \frac{PQ}{RP} = \frac{6 , 6}{11} =$ $0, 6$ . $P = cos^{- 1} (0, 6) \approx$ $53, 1°$ . ⭐ Contrôle : je repars de l'angle, $cos 53, 1° \approx$ $0, 60$ : la boucle est bouclée. ⛔ Le piège : appuyer sur $cos$ au lieu de $cos^{- 1}$ . La calculatrice affiche $cos (0, 6) \approx$ $0, 9999$ : c'est le cosinus d'un angle de $0, 6°$ , pas un angle. La touche $cos$ va de l'angle vers le nombre, la touche $cos^{- 1}$ du nombre vers l'angle. Réponse : $P \approx$ $53, 1°$ .
8
a) Avec la calculatrice, donner au centième $cos 25°$ , $cos 50°$ et $cos 75°$ . b) Quand l'angle double, de $25°$ à $50°$ , le cosinus est-il divisé par deux ? c) Sans calculatrice, ranger $cos 10°$ , $cos 40°$ et $cos 80°$ dans l'ordre croissant.
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a) $cos 25° \approx$ $0, 91$ , $cos 50° \approx 0, 64$ et $cos 75° \approx$ $0, 26$ . Je le VOIS sur le dessin : chaque rayon du quart de cercle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, de longueur $1$ . Son ombre sur le sol est le côté adjacent, et le cosinus vaut exactement cette ombre, puisque diviser par $1$ ne change rien. b) Non. La moitié de $0, 91$ , c'est environ $0, 45$ , alors que $cos 50° \approx$ $0, 64$ . Le cosinus diminue quand l'angle grandit, mais il n'est pas proportionnel à l'angle. c) Plus l'angle s'ouvre, plus le rayon se relève et plus son ombre raccourcit : le cosinus DIMINUE. Donc $cos 80° < cos 40° <$ $cos 10°$ . ⛔ Le piège : croire que l'angle et son cosinus sont proportionnels, « deux fois plus d'angle, deux fois moins de cosinus ». Le dessin le dément : les ombres ne raccourcissent pas au même rythme. Réponse : $0, 91$ , $0, 64$ et $0, 26$ ; non ; $cos 80° < cos 40° <$ $cos 10°$ .

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Rédiger comme en devoir : le triangle rectangle, l'égalité du cosinus avec les noms des côtés, le calcul, l'arrondi, le contrôle.

Rappel de cours

La phrase d'ouverture : « Dans le triangle … rectangle en …, cos … = adjacent ÷ hypoténuse », avec les NOMS des côtés.
Inconnue en haut du quotient (l'adjacent) : je multiplie. Inconnue en bas (l'hypoténuse) : je divise.
Je garde la valeur de la calculatrice jusqu'au bout, et j'arrondis à la FIN seulement.
Contrôle : l'adjacent est plus court que l'hypoténuse, et l'angle trouvé est aigu.

9
Le triangle $J K L$ est rectangle en $K$ , avec $J = 33°$ et $L J = 9, 4$ cm. a) Calculer $J K$ au dixième, en rédigeant. b) Calculer $K L$ au dixième avec le théorème de Pythagore.
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a) Dans le triangle $J K L$ rectangle en $K$ , l'hypoténuse est $[L J]$ . Je me place en $J$ : le côté adjacent est $[J K]$ . $cos J =$ $\frac{J K}{L J}$ , donc $cos 33° = \frac{J K}{9 , 4}$ et $J K = 9, 4 \times cos 33° \approx 7, 9$ cm. b) Le théorème de Pythagore dans le même triangle : $L J^{2} = J K^{2} +$ $K L^{2}$ , donc $K L^{2} = L J^{2} -$ $J K^{2}$ . Avec la valeur de $J K$ gardée en mémoire : $K L = 9, 4^{2} - J K^{2} \approx 5, 1$ cm. ⭐ Contrôle : $7, 9$ et $5, 1$ sont bien plus courts que $9, 4$ . ⛔ Le piège : prendre $9, 4$ cm pour l'adjacent, parce que $[L J]$ touche aussi $J$ , et calculer $9, 4 \div cos 33° \approx 11, 2$ cm. Un côté plus long que l'hypoténuse : impossible. Réponse : $J K \approx 7, 9$ cm et $K L \approx 5, 1$ cm.
10
Le triangle $G H I$ est rectangle en $H$ , avec $I = 57°$ et $I H = 4, 6$ cm. Calculer $G I$ au dixième, en rédigeant.
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Je me place en $I$ , l'angle connu. L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est $[G I]$ . Le côté adjacent est $[I H]$ , $4, 6$ cm. Dans le triangle $G H I$ rectangle en $H$ : $cos I =$ $\frac{I H}{G I}$ , donc $cos 57° =$ $\frac{4 , 6}{G I}$ . L'inconnue est en BAS : $G I = \frac{4 , 6}{cos 57°} \approx 8, 4$ cm (la calculatrice affiche $8, 445 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $8, 4 >$ $4, 6$ , l'hypoténuse est la plus longue. ⛔ Le piège : arrondir le cosinus trop tôt. $cos 57° \approx$ $0, 5446$ ; arrondi à $0, 5$ , il donne $4, 6 \div 0, 5 = 9, 2$ cm, presque un centimètre de trop. Je tape tout le calcul d'un coup, et j'arrondis à la FIN. Réponse : $G I \approx 8, 4$ cm.
11
Le triangle $VW X$ est rectangle en $W$ , avec $VW = 6, 1$ cm et $X V = 7, 4$ cm. Calculer l'angle $V$ au dixième de degré, en rédigeant.
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L'angle droit est en $W$ : l'hypoténuse est $[X V]$ . Je me place en $V$ : le côté adjacent est $[VW]$ . Dans le triangle $VW X$ rectangle en $W$ : $cos V = \frac{VW}{X V} =$ $\frac{6 , 1}{7 , 4}$ . $V = cos^{- 1} (\frac{6 , 1}{7 , 4}) \approx$ $34, 5°$ . Je tape la division DANS la parenthèse, sans l'arrondir. ⛔ Le piège : arrondir le quotient d'abord. $6, 1 \div 7, 4 =$ $0, 8243 \dots$ ; coupé à $0, 82$ , il donne $cos^{- 1} (0, 82) \approx$ $34, 9°$ : le dixième demandé est faux. Réponse : $V \approx$ $34, 5°$ .
12
Le triangle $A BC$ est rectangle en $B$ , avec $A B = 7$ cm et $BC = 2, 4$ cm. a) Calculer l'hypoténuse $C A$ avec le théorème de Pythagore. b) Calculer $A$ au dixième de degré. c) Calculer $C$ au dixième de degré, avec le cosinus. d) Contrôler avec la somme des angles du triangle.
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a) Dans le triangle $A BC$ rectangle en $B$ , le théorème de Pythagore donne $C A^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 49 + 5, 76 =$ $54, 76$ , donc $C A = 54, 76 = 7, 4$ cm. b) L'hypoténuse est $[C A]$ . Je me place en $A$ : le côté adjacent est $[A B]$ . $cos A =$ $\frac{7}{7 , 4}$ , donc $A = cos^{- 1} (\frac{7}{7 , 4}) \approx$ $18, 9°$ . c) Je me place en $C$ : l'adjacent devient $[BC]$ . $cos C =$ $\frac{2 , 4}{7 , 4}$ , donc $C = cos^{- 1} (\frac{2 , 4}{7 , 4}) \approx$ $71, 1°$ . d) $18, 9° + 71, 1° =$ $90°$ , et avec l'angle droit on retrouve les $180°$ du triangle. ⛔ Le piège : oublier la racine carrée et prendre $54, 76$ pour l'hypoténuse. On trouverait $cos A = \frac{7}{54 , 76} \approx 0, 13$ et un angle de $82, 7°$ , en face du plus petit côté : absurde. Réponse : $C A = 7, 4$ cm, $A \approx 18, 9°$ et $C \approx$ $71, 1°$ .
13
Le câble d'un télésiège monte en ligne droite du départ $D$ à l'arrivée $A$ , sur $1200$ m, avec un angle de $22°$ par rapport à l'horizontale. On note $H$ le point à la hauteur de $D$ , à la verticale de $A$ : le triangle $DH A$ est rectangle en $H$ . a) Calculer la distance horizontale $DH$ , au mètre. b) Une carte montre les distances horizontales. Combien de mètres « manque »-t-elle par rapport au câble ?
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a) Dans le triangle $DH A$ rectangle en $H$ , l'hypoténuse est le câble $[A D]$ , $1200$ m. Je me place en $D$ : le côté adjacent est $[DH]$ , la distance horizontale. $cos D =$ $\frac{DH}{A D}$ , donc $DH = 1200 \times cos 22° \approx 1113$ m. b) La carte affiche environ $1113$ m, soit $1200 - 1113 = 87$ m de moins que le câble. ⛔ Le piège : diviser au lieu de multiplier, $1200 \div cos 22° \approx 1294$ m. La distance au sol serait plus longue que le câble : impossible. Réponse : la distance horizontale est d'environ $1113$ m, $87$ m de moins que le câble.
14
Un panneau solaire mesure $1, 7$ m de long. Posé sur un toit plat, il est incliné de $30°$ par rapport à l'horizontale, face au sud. On note $P$ son bord bas, $H$ son bord haut et $S$ le point du toit à la verticale de $H$ : le triangle $PS H$ est rectangle en $S$ . a) Quelle longueur de toit $PS$ le panneau occupe-t-il, au centimètre ? b) Le toit mesure $6$ m de profondeur. Combien de rangées de panneaux peut-on poser l'une derrière l'autre, sans compter l'ombre ?
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a) L'hypoténuse est le panneau $[H P]$ , $1, 7$ m. Je me place en $P$ : le côté adjacent est $[PS]$ , posé sur le toit. Dans le triangle $PS H$ rectangle en $S$ : $cos P =$ $\frac{PS}{H P}$ , donc $PS = 1, 7 \times cos 30° \approx 1, 47$ m. b) $6 \div 1, 47 \approx$ $4, 08$ : $4$ rangées entières tiennent, la cinquième dépasserait. ⛔ Le piège : diviser $6$ par la longueur du panneau, $6 \div 1, 7 \approx$ $3, 53$ , et ne poser que $3$ rangées. Incliné, le panneau prend MOINS de place au sol que sa longueur. Réponse : chaque panneau occupe environ $1, 47$ m de toit, et on peut poser $4$ rangées.
15
Le toboggan droit d'une aire de jeux mesure $4, 5$ m de long. Vu du dessus, il avance de $3, 9$ m. On note $B$ son bas, $H$ son haut et $S$ le point du sol sous $H$ : le triangle $BS H$ est rectangle en $S$ . Calculer l'angle $B$ que fait le toboggan avec le sol, au dixième de degré.
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L'hypoténuse est le toboggan $[H B]$ , $4, 5$ m. Je me place en $B$ : le côté adjacent est $[BS]$ , $3, 9$ m, la longueur vue du dessus. Dans le triangle $BS H$ rectangle en $S$ : $cos B = \frac{BS}{H B} =$ $\frac{3 , 9}{4 , 5}$ , donc $B = cos^{- 1} (\frac{3 , 9}{4 , 5}) \approx$ $29, 9°$ . ⭐ Contrôle : le toboggan avance de $3, 9$ m pour $4, 5$ m de long, il est plutôt couché ; un angle de moins de $45°$ avec le sol est cohérent. ⛔ Le piège : répondre avec l'angle en $H$ . Les deux angles aigus font $90°$ ensemble : $90° - 29, 9° = 60, 1°$ est l'angle du toboggan avec la VERTICALE, pas avec le sol. Réponse : le toboggan fait un angle d'environ $29, 9°$ avec le sol.
16
Le triangle $U VW$ est rectangle en $V$ , avec $U V = 5, 5$ cm et $W U = 12, 5$ cm. Pour trouver un angle, un élève écrit : « $cos V =$ $\frac{U V}{W U} =$ $0, 44$ ». a) Pourquoi cette égalité n'a-t-elle pas de sens ? b) De quel angle $0, 44$ est-il vraiment le cosinus ? Calculer cet angle au dixième de degré. c) En déduire l'angle $W$ .
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a) $V$ est l'angle DROIT. Le cosinus se calcule pour un angle AIGU du triangle rectangle : en $V$ , il n'y a pas d'adjacent à choisir, puisque l'hypoténuse est justement en face de $V$ . b) L'hypoténuse est $[W U]$ . Le côté $[U V]$ touche $U$ sans être l'hypoténuse : c'est le côté adjacent à $U$ . Donc $\frac{U V}{W U} = \frac{5 , 5}{12 , 5} = 0, 44$ est $cos U$ , et $U = cos^{- 1} (0, 44) \approx$ $63, 9°$ . c) Les trois angles font $180°$ , dont $90°$ en $V$ : $W \approx 90° - 63, 9° =$ $26, 1°$ . ⛔ Le piège : partir de l'angle droit. Je repère l'angle droit pour trouver l'hypoténuse, puis je me place TOUJOURS sur un angle aigu. Réponse : $0, 44$ est $cos U$ ; $U \approx 63, 9°$ et $W \approx$ $26, 1°$ .

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles. Je trouve le triangle rectangle caché, je le dessine, je repère l'adjacent et l'hypoténuse, puis une phrase de réponse.

Rappel de cours

Le triangle rectangle se cache dans le monde : une verticale et une horizontale, la largeur d'une rivière et sa berge, le rayon d'un cercle et son axe.
Le côté adjacent est souvent la distance HORIZONTALE, celle d'une carte ; l'hypoténuse, le trajet réel, en pente.
Si l'adjacent manque, le théorème de Pythagore le donne d'abord.

17Le funiculaire de Montmartre
Le funiculaire de Montmartre, à Paris, monte en ligne droite de la gare basse $G$ à la gare haute $S$ : la voie mesure $108$ m et le dénivelé est de $36$ m. On note $H$ le point à la hauteur de $G$ , à la verticale de $S$ : le triangle $G H S$ est rectangle en $H$ . a) Calculer la distance horizontale $G H$ au dixième de mètre. b) En déduire l'angle $G$ de la voie avec l'horizontale, au dixième de degré. c) Un élève calcule $cos^{- 1} (\frac{36}{108})$ . Quel angle trouve-t-il, et qu'a-t-il confondu ?
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La voie $[SG]$ est l'hypoténuse, $108$ m ; le dénivelé $[H S]$ mesure $36$ m. Je me place en $G$ : le côté adjacent est $[G H]$ , que je ne connais pas encore. a) Le théorème de Pythagore dans le triangle $G H S$ rectangle en $H$ : $G H^{2} = S G^{2} - H S^{2} = 11664 - 1296 =$ $10368$ , donc $G H = 10368 \approx 101, 8$ m. b) $cos G =$ $\frac{G H}{SG}$ , avec la valeur de $G H$ gardée en mémoire : $G = cos^{- 1} (\frac{G H}{108}) \approx$ $19, 5°$ . c) Il trouve $cos^{- 1} (\frac{36}{108}) \approx$ $70, 5°$ . Mais $[H S]$ ne touche pas $G$ : ce n'est pas l'adjacent de $G$ . Il a calculé l'angle en $S$ , celui de la voie avec la verticale. D'ailleurs $19, 5° + 70, 5° =$ $90°$ . ⛔ Le piège : prendre le dénivelé pour l'adjacent. Avec le cosinus, il faut l'adjacent : ici, Pythagore le donne d'abord. Réponse : la voie avance d'environ $101, 8$ m à l'horizontale et monte avec un angle d'environ $19, 5°$ .
18Le voilier qui remonte au vent
Un voilier doit rejoindre une bouée à $12$ milles marins, exactement face au vent. Il ne peut pas avancer droit contre le vent : il remonte au mieux à $45°$ du vent, et fait donc deux bords égaux, en zigzag. Pour le premier bord, on note $D$ le départ, $V$ le point où il vire de bord et $M$ le point de l'axe du vent à la hauteur de $V$ : le triangle $D M V$ est rectangle en $M$ , avec $D M = 6$ milles et $D =$ $45°$ . a) Calculer la longueur $V D$ du premier bord, au centième de mille. b) Quelle distance le voilier parcourt-il en tout ? Combien de fois les $12$ milles en ligne droite ? c) Un équipier calcule $6 \times$ $cos 45°$ . Pourquoi son résultat est-il forcément faux ?
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Je me place en $D$ . L'hypoténuse est le bord $[V D]$ , le trajet réel. Le côté adjacent est $[D M]$ , $6$ milles : le chemin gagné face au vent. a) $cos D =$ $\frac{D M}{V D}$ , donc $cos 45° =$ $\frac{6}{V D}$ . L'inconnue est en bas : $V D = \frac{6}{cos 45°} \approx 8, 49$ milles. b) Deux bords égaux : $2 \times V D \approx 16, 97$ milles. Et $16, 97 \div 12 \approx$ $1, 41$ : le voilier parcourt environ $1, 41$ fois la ligne droite, soit $41$ % de plus. c) $6 \times cos 45° \approx 4, 24$ milles : un bord plus court que les $6$ milles gagnés face au vent. L'hypoténuse serait plus courte que l'adjacent, c'est impossible. ⛔ Le piège : multiplier par réflexe. Quand l'inconnue est l'hypoténuse, elle est EN BAS du quotient : je divise. Réponse : chaque bord mesure environ $8, 49$ milles ; le voilier parcourt environ $16, 97$ milles, $1, 41$ fois la ligne droite.
19Paris tourne moins vite que l'équateur
La Terre est une boule de rayon $6371$ km qui fait un tour sur elle-même en $24$ h environ. Paris, en $P$ , est à la latitude $49°$ Nord (arrondie). Pendant un tour, Paris décrit un cercle de centre $H$ , sur l'axe des pôles. Dans le triangle $P H O$ rectangle en $H$ , où $O$ est le centre de la Terre, on a $OP = 6371$ km et $P =$ $49°$ . a) Calculer le rayon $P H$ du cercle de Paris, au kilomètre. b) Calculer la longueur de ce cercle, au kilomètre. c) En déduire la vitesse de Paris autour de l'axe, en km/h, et la comparer à celle d'un point de l'équateur.
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Je me place en $P$ . L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est $[OP]$ , le rayon de la Terre. Le côté adjacent est $[P H]$ , le rayon du cercle de Paris. a) $cos P =$ $\frac{P H}{OP}$ , donc $P H = 6371 \times cos 49° \approx 4180$ km. b) La longueur d'un cercle de rayon $r$ est $2 \times π \times$ $r$ : $2 \times π \times P H \approx 26262$ km, avec la valeur de $P H$ gardée en mémoire. c) Paris fait ce tour en $24$ h : $26262 \div 24 \approx 1094$ km/h. À l'équateur, le cercle a pour rayon $6371$ km : $2 \times π \times 6371 \approx 40030$ km, soit environ $1668$ km/h. ⛔ Le piège : prendre le rayon de la Terre pour celui du cercle de Paris. Plus on monte vers le pôle, plus le cercle rétrécit, et le cosinus mesure ce rétrécissement : $cos 49° \approx$ $0, 66$ . Réponse : le cercle de Paris a un rayon d'environ $4180$ km et une longueur d'environ $26262$ km ; Paris tourne à environ $1094$ km/h, contre $1668$ km/h à l'équateur.
20La traversée à la nage
Une nageuse part du point $D$ d'une berge pour traverser une rivière de $45$ m de large. Le point $F$ est juste en face de $D$ , sur l'autre berge. Emportée par le courant, elle nage en ligne droite et touche l'autre berge en $P$ , après $52$ m : le triangle $D FP$ est rectangle en $F$ . a) Calculer l'angle $D$ entre son trajet et la direction « tout droit en face », au dixième de degré. b) À quelle distance $FP$ du point visé arrive-t-elle ? Au dixième de mètre. c) Par une eau plus calme, son trajet ne s'écarte que de $15°$ . Quelle distance nage-t-elle alors, au dixième de mètre ?
Voir la correction
Je me place en $D$ . L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est le trajet $[P D]$ , $52$ m. Le côté adjacent est $[D F]$ , la largeur de la rivière, $45$ m. a) $cos D = \frac{D F}{P D} =$ $\frac{45}{52}$ , donc $D = cos^{- 1} (\frac{45}{52}) \approx$ $30, 1°$ . b) Le théorème de Pythagore : $F P^{2} = P D^{2} - D F^{2} = 2704 - 2025 =$ $679$ , donc $FP = 679 \approx 26, 1$ m. c) Le côté adjacent reste la largeur, $45$ m, et le trajet est l'hypoténuse cherchée. L'inconnue est en bas : $\frac{45}{cos 15°} \approx 46, 6$ m. ⛔ Le piège : calculer la dérive par une soustraction, $52 - 45 = 7$ m. Les côtés d'un triangle rectangle ne se soustraient pas : c'est Pythagore qui relie les trois. Réponse : elle nage avec un angle d'environ $30, 1°$ et arrive à environ $26, 1$ m du point visé ; par eau calme, elle nagerait environ $46, 6$ m.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : le cosinus dans le triangle rectangle, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Je repère d'abord l'angle droit : il est en $N$ . a) L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit, le seul qui ne touche pas $N$ : l'hypoténuse est $[PM]$ . b) Je me place en $M$ . Deux côtés touchent $M$ : $[PM]$ et $[MN]$ . $[PM]$ est déjà l'hypoténuse, donc le côté adjacent est $[MN]$ . c) Je me place en $P$ . Les deux côtés qui touchent $P$ sont $[PM]$ , l'hypoténuse, et $[NP]$ : le côté adjacent à $P$ est $[NP]$ . d) Non : $[MN]$ ne touche pas $P$ . Il est adjacent à $M$ seulement. ⛔ Le piège : prendre l'hypoténuse pour le côté adjacent, parce qu'elle touche AUSSI l'angle. Elle touche les deux angles aigus et n'est adjacente à aucun : l'adjacent, c'est l'AUTRE côté qui touche l'angle. Réponse : hypoténuse $[PM]$ ; adjacent à $M$ : $[MN]$ ; adjacent à $P$ : $[NP]$ .
2. L'angle droit est en $S$ : l'hypoténuse est $[TR]$ , $13$ cm. a) Je me place en $R$ : le côté adjacent est $[RS]$ . $cos R = \frac{RS}{TR} = \frac{12}{13} \approx$ $0, 92$ . b) Je me place en $T$ : l'adjacent change de côté, c'est maintenant $[ST]$ . $cos T = \frac{ST}{TR} = \frac{5}{13} \approx$ $0, 38$ . ⭐ Contrôle : les deux cosinus sont entre $0$ et $1$ , et l'hypoténuse reste en bas dans les deux quotients. ⛔ Le piège : garder l'adjacent de $R$ pour calculer $cos T$ , et retrouver $0, 92$ . L'adjacent est une PLACE par rapport à l'angle : il bouge quand l'angle bouge. Réponse : $cos R \approx 0, 92$ et $cos T \approx$ $0, 38$ .
3. a) L'hypoténuse est le plus long côté d'un triangle rectangle. Le côté adjacent est plus court qu'elle, donc le quotient adjacent sur hypoténuse est plus PETIT que $1$ . Un cosinus de $1, 13$ est impossible. b) L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est $[GE]$ , $17$ cm. Je me place en $E$ : le côté adjacent est $[EF]$ , $15$ cm. $cos E = \frac{EF}{GE} = \frac{15}{17} \approx$ $0, 88$ . ⛔ Le piège : renverser le quotient. L'adjacent est EN HAUT, l'hypoténuse EN BAS ; un résultat plus grand que $1$ est le signal qu'on les a échangés. Réponse : $cos E \approx$ $0, 88$ .
4. L'angle droit est en $L$ : l'hypoténuse est $[M K]$ , $12$ cm. Je me place en $K$ : le côté adjacent est $[K L]$ . Dans le triangle $K L M$ rectangle en $L$ : $cos K =$ $\frac{K L}{M K}$ , donc $cos 41° =$ $\frac{K L}{12}$ . L'inconnue est EN HAUT : je multiplie les deux membres par $12$ . $K L = 12 \times cos 41° \approx 9, 1$ cm (la calculatrice affiche $9, 056 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $9, 1 <$ $12$ , l'adjacent est plus court que l'hypoténuse. ⛔ Le piège : la calculatrice réglée en radians. Elle affiche $12 \times cos 41 \approx$ $- 11, 85$ : une longueur NÉGATIVE. Je vérifie le « D » ou « DEG » à l'écran avant de calculer. Réponse : $K L \approx 9, 1$ cm.
5. L'angle droit est en $E$ : l'hypoténuse est $[F D]$ . Je me place en $D$ : le côté adjacent est $[D E]$ , $7, 5$ cm. $cos D =$ $\frac{D E}{F D}$ , donc $cos 28° =$ $\frac{7 , 5}{F D}$ . Cette fois, l'inconnue est EN BAS. Je multiplie par $F D$ : $F D \times cos 28° =$ $7, 5$ , puis je divise par $cos 28°$ : $F D = \frac{7 , 5}{cos 28°} \approx 8, 5$ cm (la calculatrice affiche $8, 494 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $8, 5 >$ $7, 5$ , l'hypoténuse est bien le plus long côté. ⛔ Le piège : multiplier par habitude, $7, 5 \times cos 28° \approx 6, 6$ cm. Une hypoténuse plus courte que l'adjacent, c'est impossible. Réponse : $F D \approx 8, 5$ cm.
6. L'angle droit est en $B$ : l'hypoténuse est $[C A]$ , $8$ cm. Je me place en $A$ : le côté adjacent est $[A B]$ , $5, 2$ cm. $cos A = \frac{A B}{C A} = \frac{5 , 2}{8} =$ $0, 65$ . Je connais le cosinus, je cherche l'angle : la touche $cos^{- 1}$ fait le chemin inverse (parfois « Arccos », ou « seconde » puis « cos »). $A = cos^{- 1} (0, 65) \approx$ $49, 5°$ . ⭐ Contrôle : $49, 5°$ est bien un angle aigu. ⛔ Le piège : oublier la parenthèse. En tapant $cos^{- 1} 5, 2 \div$ $8$ , la calculatrice calcule d'abord $cos^{- 1} (5, 2)$ et affiche « Erreur » : aucun angle n'a un cosinus plus grand que $1$ . J'écris $cos^{- 1} (5, 2 \div$ $8)$ . Réponse : $A \approx$ $49, 5°$ .
7. L'angle droit est en $Q$ : l'hypoténuse est $[RP]$ , $11$ cm. Je me place en $P$ : le côté adjacent est $[PQ]$ , $6, 6$ cm. $cos P = \frac{PQ}{RP} = \frac{6 , 6}{11} =$ $0, 6$ . $P = cos^{- 1} (0, 6) \approx$ $53, 1°$ . ⭐ Contrôle : je repars de l'angle, $cos 53, 1° \approx$ $0, 60$ : la boucle est bouclée. ⛔ Le piège : appuyer sur $cos$ au lieu de $cos^{- 1}$ . La calculatrice affiche $cos (0, 6) \approx$ $0, 9999$ : c'est le cosinus d'un angle de $0, 6°$ , pas un angle. La touche $cos$ va de l'angle vers le nombre, la touche $cos^{- 1}$ du nombre vers l'angle. Réponse : $P \approx$ $53, 1°$ .
8. a) $cos 25° \approx$ $0, 91$ , $cos 50° \approx 0, 64$ et $cos 75° \approx$ $0, 26$ . Je le VOIS sur le dessin : chaque rayon du quart de cercle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, de longueur $1$ . Son ombre sur le sol est le côté adjacent, et le cosinus vaut exactement cette ombre, puisque diviser par $1$ ne change rien. b) Non. La moitié de $0, 91$ , c'est environ $0, 45$ , alors que $cos 50° \approx$ $0, 64$ . Le cosinus diminue quand l'angle grandit, mais il n'est pas proportionnel à l'angle. c) Plus l'angle s'ouvre, plus le rayon se relève et plus son ombre raccourcit : le cosinus DIMINUE. Donc $cos 80° < cos 40° <$ $cos 10°$ . ⛔ Le piège : croire que l'angle et son cosinus sont proportionnels, « deux fois plus d'angle, deux fois moins de cosinus ». Le dessin le dément : les ombres ne raccourcissent pas au même rythme. Réponse : $0, 91$ , $0, 64$ et $0, 26$ ; non ; $cos 80° < cos 40° <$ $cos 10°$ .
9. a) Dans le triangle $J K L$ rectangle en $K$ , l'hypoténuse est $[L J]$ . Je me place en $J$ : le côté adjacent est $[J K]$ . $cos J =$ $\frac{J K}{L J}$ , donc $cos 33° = \frac{J K}{9 , 4}$ et $J K = 9, 4 \times cos 33° \approx 7, 9$ cm. b) Le théorème de Pythagore dans le même triangle : $L J^{2} = J K^{2} +$ $K L^{2}$ , donc $K L^{2} = L J^{2} -$ $J K^{2}$ . Avec la valeur de $J K$ gardée en mémoire : $K L = 9, 4^{2} - J K^{2} \approx 5, 1$ cm. ⭐ Contrôle : $7, 9$ et $5, 1$ sont bien plus courts que $9, 4$ . ⛔ Le piège : prendre $9, 4$ cm pour l'adjacent, parce que $[L J]$ touche aussi $J$ , et calculer $9, 4 \div cos 33° \approx 11, 2$ cm. Un côté plus long que l'hypoténuse : impossible. Réponse : $J K \approx 7, 9$ cm et $K L \approx 5, 1$ cm.
10. Je me place en $I$ , l'angle connu. L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est $[G I]$ . Le côté adjacent est $[I H]$ , $4, 6$ cm. Dans le triangle $G H I$ rectangle en $H$ : $cos I =$ $\frac{I H}{G I}$ , donc $cos 57° =$ $\frac{4 , 6}{G I}$ . L'inconnue est en BAS : $G I = \frac{4 , 6}{cos 57°} \approx 8, 4$ cm (la calculatrice affiche $8, 445 \dots$ ). ⭐ Contrôle : $8, 4 >$ $4, 6$ , l'hypoténuse est la plus longue. ⛔ Le piège : arrondir le cosinus trop tôt. $cos 57° \approx$ $0, 5446$ ; arrondi à $0, 5$ , il donne $4, 6 \div 0, 5 = 9, 2$ cm, presque un centimètre de trop. Je tape tout le calcul d'un coup, et j'arrondis à la FIN. Réponse : $G I \approx 8, 4$ cm.
11. L'angle droit est en $W$ : l'hypoténuse est $[X V]$ . Je me place en $V$ : le côté adjacent est $[VW]$ . Dans le triangle $VW X$ rectangle en $W$ : $cos V = \frac{VW}{X V} =$ $\frac{6 , 1}{7 , 4}$ . $V = cos^{- 1} (\frac{6 , 1}{7 , 4}) \approx$ $34, 5°$ . Je tape la division DANS la parenthèse, sans l'arrondir. ⛔ Le piège : arrondir le quotient d'abord. $6, 1 \div 7, 4 =$ $0, 8243 \dots$ ; coupé à $0, 82$ , il donne $cos^{- 1} (0, 82) \approx$ $34, 9°$ : le dixième demandé est faux. Réponse : $V \approx$ $34, 5°$ .
12. a) Dans le triangle $A BC$ rectangle en $B$ , le théorème de Pythagore donne $C A^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 49 + 5, 76 =$ $54, 76$ , donc $C A = 54, 76 = 7, 4$ cm. b) L'hypoténuse est $[C A]$ . Je me place en $A$ : le côté adjacent est $[A B]$ . $cos A =$ $\frac{7}{7 , 4}$ , donc $A = cos^{- 1} (\frac{7}{7 , 4}) \approx$ $18, 9°$ . c) Je me place en $C$ : l'adjacent devient $[BC]$ . $cos C =$ $\frac{2 , 4}{7 , 4}$ , donc $C = cos^{- 1} (\frac{2 , 4}{7 , 4}) \approx$ $71, 1°$ . d) $18, 9° + 71, 1° =$ $90°$ , et avec l'angle droit on retrouve les $180°$ du triangle. ⛔ Le piège : oublier la racine carrée et prendre $54, 76$ pour l'hypoténuse. On trouverait $cos A = \frac{7}{54 , 76} \approx 0, 13$ et un angle de $82, 7°$ , en face du plus petit côté : absurde. Réponse : $C A = 7, 4$ cm, $A \approx 18, 9°$ et $C \approx$ $71, 1°$ .
13. a) Dans le triangle $DH A$ rectangle en $H$ , l'hypoténuse est le câble $[A D]$ , $1200$ m. Je me place en $D$ : le côté adjacent est $[DH]$ , la distance horizontale. $cos D =$ $\frac{DH}{A D}$ , donc $DH = 1200 \times cos 22° \approx 1113$ m. b) La carte affiche environ $1113$ m, soit $1200 - 1113 = 87$ m de moins que le câble. ⛔ Le piège : diviser au lieu de multiplier, $1200 \div cos 22° \approx 1294$ m. La distance au sol serait plus longue que le câble : impossible. Réponse : la distance horizontale est d'environ $1113$ m, $87$ m de moins que le câble.
14. a) L'hypoténuse est le panneau $[H P]$ , $1, 7$ m. Je me place en $P$ : le côté adjacent est $[PS]$ , posé sur le toit. Dans le triangle $PS H$ rectangle en $S$ : $cos P =$ $\frac{PS}{H P}$ , donc $PS = 1, 7 \times cos 30° \approx 1, 47$ m. b) $6 \div 1, 47 \approx$ $4, 08$ : $4$ rangées entières tiennent, la cinquième dépasserait. ⛔ Le piège : diviser $6$ par la longueur du panneau, $6 \div 1, 7 \approx$ $3, 53$ , et ne poser que $3$ rangées. Incliné, le panneau prend MOINS de place au sol que sa longueur. Réponse : chaque panneau occupe environ $1, 47$ m de toit, et on peut poser $4$ rangées.
15. L'hypoténuse est le toboggan $[H B]$ , $4, 5$ m. Je me place en $B$ : le côté adjacent est $[BS]$ , $3, 9$ m, la longueur vue du dessus. Dans le triangle $BS H$ rectangle en $S$ : $cos B = \frac{BS}{H B} =$ $\frac{3 , 9}{4 , 5}$ , donc $B = cos^{- 1} (\frac{3 , 9}{4 , 5}) \approx$ $29, 9°$ . ⭐ Contrôle : le toboggan avance de $3, 9$ m pour $4, 5$ m de long, il est plutôt couché ; un angle de moins de $45°$ avec le sol est cohérent. ⛔ Le piège : répondre avec l'angle en $H$ . Les deux angles aigus font $90°$ ensemble : $90° - 29, 9° = 60, 1°$ est l'angle du toboggan avec la VERTICALE, pas avec le sol. Réponse : le toboggan fait un angle d'environ $29, 9°$ avec le sol.
16. a) $V$ est l'angle DROIT. Le cosinus se calcule pour un angle AIGU du triangle rectangle : en $V$ , il n'y a pas d'adjacent à choisir, puisque l'hypoténuse est justement en face de $V$ . b) L'hypoténuse est $[W U]$ . Le côté $[U V]$ touche $U$ sans être l'hypoténuse : c'est le côté adjacent à $U$ . Donc $\frac{U V}{W U} = \frac{5 , 5}{12 , 5} = 0, 44$ est $cos U$ , et $U = cos^{- 1} (0, 44) \approx$ $63, 9°$ . c) Les trois angles font $180°$ , dont $90°$ en $V$ : $W \approx 90° - 63, 9° =$ $26, 1°$ . ⛔ Le piège : partir de l'angle droit. Je repère l'angle droit pour trouver l'hypoténuse, puis je me place TOUJOURS sur un angle aigu. Réponse : $0, 44$ est $cos U$ ; $U \approx 63, 9°$ et $W \approx$ $26, 1°$ .
17. Le funiculaire de Montmartre La voie $[SG]$ est l'hypoténuse, $108$ m ; le dénivelé $[H S]$ mesure $36$ m. Je me place en $G$ : le côté adjacent est $[G H]$ , que je ne connais pas encore. a) Le théorème de Pythagore dans le triangle $G H S$ rectangle en $H$ : $G H^{2} = S G^{2} - H S^{2} = 11664 - 1296 =$ $10368$ , donc $G H = 10368 \approx 101, 8$ m. b) $cos G =$ $\frac{G H}{SG}$ , avec la valeur de $G H$ gardée en mémoire : $G = cos^{- 1} (\frac{G H}{108}) \approx$ $19, 5°$ . c) Il trouve $cos^{- 1} (\frac{36}{108}) \approx$ $70, 5°$ . Mais $[H S]$ ne touche pas $G$ : ce n'est pas l'adjacent de $G$ . Il a calculé l'angle en $S$ , celui de la voie avec la verticale. D'ailleurs $19, 5° + 70, 5° =$ $90°$ . ⛔ Le piège : prendre le dénivelé pour l'adjacent. Avec le cosinus, il faut l'adjacent : ici, Pythagore le donne d'abord. Réponse : la voie avance d'environ $101, 8$ m à l'horizontale et monte avec un angle d'environ $19, 5°$ .
18. Le voilier qui remonte au vent Je me place en $D$ . L'hypoténuse est le bord $[V D]$ , le trajet réel. Le côté adjacent est $[D M]$ , $6$ milles : le chemin gagné face au vent. a) $cos D =$ $\frac{D M}{V D}$ , donc $cos 45° =$ $\frac{6}{V D}$ . L'inconnue est en bas : $V D = \frac{6}{cos 45°} \approx 8, 49$ milles. b) Deux bords égaux : $2 \times V D \approx 16, 97$ milles. Et $16, 97 \div 12 \approx$ $1, 41$ : le voilier parcourt environ $1, 41$ fois la ligne droite, soit $41$ % de plus. c) $6 \times cos 45° \approx 4, 24$ milles : un bord plus court que les $6$ milles gagnés face au vent. L'hypoténuse serait plus courte que l'adjacent, c'est impossible. ⛔ Le piège : multiplier par réflexe. Quand l'inconnue est l'hypoténuse, elle est EN BAS du quotient : je divise. Réponse : chaque bord mesure environ $8, 49$ milles ; le voilier parcourt environ $16, 97$ milles, $1, 41$ fois la ligne droite.
19. Paris tourne moins vite que l'équateur Je me place en $P$ . L'angle droit est en $H$ : l'hypoténuse est $[OP]$ , le rayon de la Terre. Le côté adjacent est $[P H]$ , le rayon du cercle de Paris. a) $cos P =$ $\frac{P H}{OP}$ , donc $P H = 6371 \times cos 49° \approx 4180$ km. b) La longueur d'un cercle de rayon $r$ est $2 \times π \times$ $r$ : $2 \times π \times P H \approx 26262$ km, avec la valeur de $P H$ gardée en mémoire. c) Paris fait ce tour en $24$ h : $26262 \div 24 \approx 1094$ km/h. À l'équateur, le cercle a pour rayon $6371$ km : $2 \times π \times 6371 \approx 40030$ km, soit environ $1668$ km/h. ⛔ Le piège : prendre le rayon de la Terre pour celui du cercle de Paris. Plus on monte vers le pôle, plus le cercle rétrécit, et le cosinus mesure ce rétrécissement : $cos 49° \approx$ $0, 66$ . Réponse : le cercle de Paris a un rayon d'environ $4180$ km et une longueur d'environ $26262$ km ; Paris tourne à environ $1094$ km/h, contre $1668$ km/h à l'équateur.
20. La traversée à la nage Je me place en $D$ . L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est le trajet $[P D]$ , $52$ m. Le côté adjacent est $[D F]$ , la largeur de la rivière, $45$ m. a) $cos D = \frac{D F}{P D} =$ $\frac{45}{52}$ , donc $D = cos^{- 1} (\frac{45}{52}) \approx$ $30, 1°$ . b) Le théorème de Pythagore : $F P^{2} = P D^{2} - D F^{2} = 2704 - 2025 =$ $679$ , donc $FP = 679 \approx 26, 1$ m. c) Le côté adjacent reste la largeur, $45$ m, et le trajet est l'hypoténuse cherchée. L'inconnue est en bas : $\frac{45}{cos 15°} \approx 46, 6$ m. ⛔ Le piège : calculer la dérive par une soustraction, $52 - 45 = 7$ m. Les côtés d'un triangle rectangle ne se soustraient pas : c'est Pythagore qui relie les trois. Réponse : elle nage avec un angle d'environ $30, 1°$ et arrive à environ $26, 1$ m du point visé ; par eau calme, elle nagerait environ $46, 6$ m.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : le cosinus dans le triangle rectangle, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3