Le cosinus d'un angle aigucours et exercices corrigés de maths 4e
Dans un triangle rectangle, Pythagore relie les longueurs entre elles. Le cosinus fait autre chose : il relie une longueur à un ANGLE. C'est ce qui permet de calculer un angle sans rapporteur, et une longueur qu'aucune règle n'atteint.
Le cosinus dans le triangle rectangle : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.À quoi ça sert : le cosinus d'un angle aigu
Le cosinus sert partout où une pente doit être mesurée sans être escaladée. À La Réunion, c'est l'inclinaison d'une route des Hauts, la pente d'une toiture qui doit résister aux cyclones, l'angle d'une échelle contre un mur — les fabricants recommandent entre 65° et 75°, et c'est le cosinus qui le vérifie. C'est aussi ce qui permet à un randonneur de calculer la distance réellement parcourue sur un sentier en pente à partir de la distance lue sur la carte.
Un peu d'histoire : le cosinus d'un angle aigu
Le mot « cosinus » vient du latin, mais l'idée est indienne : au Ve siècle, l'astronome Aryabhata dressait déjà des tables de rapports dans le triangle rectangle, sous le nom de « jya ». Traduit en arabe puis en latin, le mot a été confondu avec « jaib », qui signifie « repli d'un vêtement » — d'où « sinus », le pli, en latin. Notre vocabulaire de trigonométrie vient d'une erreur de traduction.
Définition : le cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on choisit un angle aigu. Le côté adjacent à cet angle est celui qui le touche sans être l'hypoténuse. Le cosinus de l'angle est alors le quotient de la longueur du côté adjacent par celle de l'hypoténuse. C'est un nombre, sans unité.
Propriétés : le cosinus d'un angle aigu
L'adjacent dépend de l'angle
« Adjacent » n'est pas le nom d'un côté : c'est une place par rapport à un angle. Le même triangle, regardé depuis B ou depuis C, ne donne pas le même côté adjacent.
angle en B → adjacent = AB
angle en C → adjacent = AC
Un nombre entre 0 et 1
L'adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, donc leur quotient est toujours plus petit que 1. Un cosinus supérieur à 1 est le signe d'un quotient inversé.
jamais plus grand que 1
L'adjacent est une part de l'hypoténuse
Le cosinus mesure quelle part de l'hypoténuse occupe l'adjacent. Ici l'adjacent vaut 8 sur une hypoténuse de 10 : le cosinus est 0,8.
De la valeur à l'angle
Quand l'angle grandit, son cosinus diminue : de 1 pour 0° jusqu'à 0 pour 90°. La touche cos⁻¹ fait le chemin inverse, de la valeur vers l'angle.
| angle | son cosinus |
|---|---|
| 0° | 1 |
| 37° | 0,8 |
| 60° | 0,5 |
| 90° | 0 |
La formule : le cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ
cos θ = adjacent ÷ hypoténuse
L'ordre ne s'invente pas : l'adjacent est au-dessus, l'hypoténuse au-dessous. C'est ce qui garantit un résultat entre 0 et 1.
Méthode : le cosinus d'un angle aigu
1. Repérer
On part de l'angle aigu donné, jamais de l'angle droit. On repère l'hypoténuse — en face de l'angle droit — puis l'adjacent : celui des deux autres côtés qui touche l'angle étudié.
l'angle aigu qu'on étudie
2. Calculer
On écrit la formule avec les noms des côtés, on remplace par les nombres, puis on isole ce qu'on cherche : l'adjacent se trouve en multipliant, l'hypoténuse en divisant.
3. Contrôler
Trois contrôles, tous de tête. Le cosinus trouvé est-il entre 0 et 1 ? L'adjacent trouvé est-il plus court que l'hypoténuse ? L'angle trouvé est-il bien aigu ? Un seul « non » et le calcul est à refaire.
Selon ce que l'on cherche : le cosinus d'un angle aigu
Nommer les côtés
L'angle aigu est donné. On identifie l'hypoténuse puis le côté adjacent, et on peut écrire la formule avant même de connaître les nombres.
Calculer une longueur
L'angle et une longueur sont connus. Si c'est l'hypoténuse qu'on connaît, on multiplie par le cosinus ; si c'est l'adjacent, on divise par le cosinus.
Calculer un angle
Les deux longueurs sont connues. On calcule leur quotient, puis on utilise la touche cos⁻¹ de la calculatrice pour remonter à l'angle.
Exemples corrigés : le cosinus d'un angle aigu
La longueur au pied du mur
Le triangle ABC est rectangle en A. L'angle en B mesure 37° et l'hypoténuse BC mesure 10 cm.
Combien mesure le côté adjacent AB ?
L'angle étudié est en B, l'hypoténuse est BC et le côté adjacent est AB. On écrit cos B = AB ÷ BC, donc cos 37° = AB ÷ 10. La calculatrice donne cos 37° ≈ 0,8, donc AB ≈ 10 × 0,8 = 8. Le côté AB mesure environ 8 cm. Contrôle : 8 est bien plus court que 10.
L'angle de l'échelle
Une échelle de 10 m est posée contre un mur. Son pied est à 5 m du mur. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5 m et BC = 10 m.
Quel angle l'échelle fait-elle avec le sol ?
L'angle cherché est en B. Le côté adjacent est AB = 5, l'hypoténuse est BC = 10. On écrit cos B = 5 ÷ 10 = 0,5. Avec la touche cos⁻¹, on obtient B = 60°. L'échelle fait un angle de 60° avec le sol — un peu moins que les 65° recommandés par les fabricants.
La route des Hauts
Une portion de route monte avec un angle de 12° par rapport à l'horizontale. Sur la carte, la distance horizontale mesure 800 m.
Quelle distance parcourt-on réellement sur la route ?
La distance de la carte est le côté adjacent, la route est l'hypoténuse. On écrit cos 12° = 800 ÷ BC. La calculatrice donne cos 12° ≈ 0,978. Donc BC = 800 ÷ 0,978 ≈ 818. On parcourt environ 818 m, soit 18 m de plus que ce que la carte annonce. Contrôle : l'hypoténuse est bien la plus longue.
Pièges à éviter : le cosinus d'un angle aigu
- Partir de l'angle droit : le cosinus se calcule toujours à partir d'un angle AIGU, jamais des 90°.
- Garder « adjacent = AB » quand on change d'angle : le côté adjacent est celui qui touche l'angle étudié, il change de place si on change d'angle.
- Trouver un cosinus plus grand que 1 : c'est impossible, l'adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse. C'est le signe qu'on a inversé le quotient.
À retenir : le cosinus d'un angle aigu
- Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l'hypoténuse.
- Le côté adjacent est celui qui touche l'angle étudié sans être l'hypoténuse : il change si on change d'angle.
- Un cosinus est toujours compris entre 0 et 1. Pour remonter de sa valeur à l'angle, on utilise la touche cos⁻¹.
Exercices corrigés : le cosinus d'un angle aigu
1. Dans un triangle ABC rectangle en A, on étudie l'angle en C. Quel côté est l'hypoténuse, et quel côté est adjacent à cet angle ?
Voir la correction
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit : c'est BC. Le côté adjacent à l'angle C est celui qui le touche sans être l'hypoténuse : c'est AC. Attention, si on avait étudié l'angle en B, l'adjacent aurait été AB.
2. Un élève trouve un cosinus égal à 1,25. Que peux-tu dire de son calcul sans rien recalculer ?
Voir la correction
Il s'est trompé. Le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, donc leur quotient est toujours compris entre 0 et 1. Un résultat supérieur à 1 signifie qu'il a divisé l'hypoténuse par l'adjacent au lieu de l'inverse.
3. Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle mesure 5 cm et l'hypoténuse 10 cm. Combien mesure cet angle ?
Voir la correction
On calcule le cosinus : 5 ÷ 10 = 0,5. Avec la touche cos⁻¹ de la calculatrice, cos⁻¹(0,5) donne 60°. L'angle mesure 60°. Contrôle : 60° est bien un angle aigu.
4. Pourquoi le cosinus d'un angle diminue-t-il quand l'angle augmente ?
Voir la correction
Parce qu'en ouvrant l'angle, on couche l'hypoténuse : le côté adjacent devient de plus en plus court par rapport à elle. À 0°, les deux côtés se confondent et le cosinus vaut 1 ; à 90°, l'adjacent a disparu et le cosinus vaut 0.
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