Multiples, diviseurs et divisibilité : 20 exercices corrigésmaths 5e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : multiples, diviseurs et divisibilité, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. L'égalité $8\times 9=72$ dit que $72$ jetons se rangent en $8$ rangées de $9$, sans qu'il en reste : c'est le dessin. a) $72$ s'obtient en multipliant $8$ par un nombre entier : $72$ est un multiple de $8$. b) La division de $72$ par $9$ tombe juste ($72÷$$9=$$8$) : $9$ est un diviseur de $72$. c) $72$ est aussi un multiple de $9$ : la même égalité se lit dans les deux sens. d) Je cherche $72$ dans la table de $7$ : $7\times 10=70$ et $7\times 11=$$77$. $72$ tombe entre les deux : $72=7\times 10+$$2$, il reste $2$. Ce n'est pas un multiple de $7$. ⛔ Le piège : échanger les deux mots. Le multiple est le GRAND nombre ($72$), le diviseur est le petit ($8$ ou $9$). Réponse : a) multiple ; b) diviseur ; c) multiple ; d) non.
2. 2. a) Je récite la table de $7$ à partir d'un produit proche de $50$ : $7\times 7=$$49$, c'est juste en dessous. Puis $7\times 8=$$56$, $7\times 9=$$63$, $7\times 10=$$70$, $7\times 11=$$77$, $7\times 12=$$84$, $7\times 13=$$91$, $7\times 14=$$98$. Et $7\times 15=105$ dépasse $100$. b) Un nombre pair se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ : $56$, $70$, $84$ et $98$. Un sur deux : on ajoute $7$, un nombre impair, à chaque pas. c) Je les compte sur la grille : il y en a $7$. ⛔ Le piège : compter $49$ ou $105$. $49$ est plus petit que $50$ et $105$ plus grand que $100$ : ils sont en dehors. Réponse : a) $56$, $63$, $70$, $77$, $84$, $91$, $98$ ; b) $56$, $70$, $84$, $98$ ; c) $7$.
3. 3. Pour $2$ et pour $5$, je ne regarde QUE le chiffre des unités. Divisibles par $2$ (unités $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$) : $64$, $130$, $318$, $500$. Divisibles par $5$ (unités $0$ ou $5$) : $85$, $130$, $245$, $500$. Dans les deux cercles : $130$ et $500$. Ils se terminent par $0$ : ils sont divisibles par $10$. $777$ se termine par $7$ : il n'est dans aucun cercle. ⭐ Un nombre qui se termine par $0$ est divisible par $2$, par $5$ et par $10$ à la fois. ⛔ Le piège : ranger $85$ avec les nombres pairs parce que $8$ est pair. Seul le DERNIER chiffre compte. Réponse : par $2$ seulement : $64$, $318$ ; par $5$ seulement : $85$, $245$ ; dans les deux : $130$, $500$ ; dehors : $777$.
4. 4. Pour $3$ et $9$, je ne pose pas la division : j'additionne les chiffres, et je regarde si cette somme est dans la table de $3$ ou de $9$. $471$ : $4+7+1=$$12$. $12$ est dans la table de $3$, pas dans celle de $9$ : divisible par $3$ seulement. $2088$ : $2+0+8+8=$$18$. $18$ est dans les deux tables : divisible par $3$ et par $9$. $5101$ : $5+1+0+1=$$7$ : ni par $3$, ni par $9$. $369$ : $3+6+9=$$18$ : divisible par $3$ et par $9$. ⭐ Un nombre divisible par $9$ l'est toujours par $3$, puisque $9=3\times$$3$. L'inverse est faux : regarde $471$. ⛔ Le piège : regarder le dernier chiffre. $471$ se termine par $1$, et il est pourtant divisible par $3$ : $471=3\times$$157$. Réponse : $471$ par $3$ seulement ; $2088$ et $369$ par $3$ et par $9$ ; $5101$ par aucun des deux.

   nombre	somme	par 3 ; par 9
   471	12	oui ; non
   2 088	18	oui ; oui
   5 101	7	non ; non
   369	18	oui ; oui

5. 5. Je pars de $1$ et j'avance. Chaque diviseur trouvé en donne un deuxième : celui qui complète le produit. $1\times 40=$$40$ : $1$ et $40$. $2\times 20=$$40$ : $2$ et $20$ ($40$ est pair). $3$ : non, $4+0=4$ n'est pas dans la table de $3$. $4\times 10=$$40$ : $4$ et $10$. $5\times 8=$$40$ : $5$ et $8$ ($40$ se termine par $0$). $6$ : non, $6\times 6=36$ et $6\times 7=$$42$. $7$ : non, $7\times 5=35$ et $7\times 6=$$42$. Je m'arrête : après $7$ vient $8$, qui est déjà dans ma liste. Les paires se croisent. ⛔ Le piège : ne garder que les petits, $1$, $2$, $4$ et $5$. Chaque petit diviseur amène son partenaire : $40$, $20$, $10$ et $8$. Réponse : $1$, $2$, $4$, $5$, $8$, $10$, $20$ et $40$ : huit diviseurs.
6. 6. a) Paul a vérifié que $91$ n'est divisible ni par $2$, ni par $5$, ni par $10$, ni par $3$ (donc ni par $9$). C'est juste, mais il n'a pas essayé les autres nombres. b) $7\times 13=$$91$ : la division de $91$ par $7$ tombe juste. $91$ est dans la table de $7$, et dans celle de $13$. c) $91$ est un multiple de $7$. $13$ est un diviseur de $91$. ⛔ Le piège : croire que les critères disent tout. Pour $7$, il n'y a pas de critère simple : il faut essayer la division. Réponse : $91=7\times$$13$ : Paul a tort.
7. 7. a) Tous se terminent par $0$ ou $5$, sauf $142$ : la règle est « divisible par $5$ », et l'intrus est $142$. b) Les sommes des chiffres : $1+8=$$9$ ; $5+4=$$9$ ; $8+1=$$9$ ; $9+9=$$18$ ; $1+0+8=$$9$ ; $1+1+5=$$7$. La règle est « divisible par $9$ », et l'intrus est $115$. c) Tous se terminent par $0$, sauf $2005$ : la règle est « divisible par $10$ », et l'intrus est $2005$. ⛔ Le piège du b) : chercher « pair ou impair ». $81$, $99$ et $115$ sont impairs : il y aurait trois intrus, ce n'est pas la bonne règle. Réponse : a) $142$ ; b) $115$ ; c) $2005$.

   liste	la règle	l'intrus
   a	par 5	142
   b	par 9	115
   c	par 10	2 005

8. 8. Pour $2$, $5$ et $10$, je regarde le chiffre des unités : c'est $0$. Donc $2520$ est divisible par $2$, par $5$ et par $10$. Pour $3$ et $9$, j'additionne les chiffres : $2+5+2+0=$$9$. $9$ est dans la table de $3$ et dans celle de $9$ : $2520$ est divisible par $3$ et par $9$. ⭐ $2520$ passe les cinq tests. C'est même le plus petit nombre divisible par tous les nombres de $1$ à $10$. ⛔ Le piège : utiliser la somme des chiffres pour $2$ ou pour $5$. Elle vaut $9$, un nombre impair, et pourtant $2520$ est pair. Réponse : $2520$ est divisible par $2$, $3$, $5$, $9$ et $10$.
9. 9. a) Divisible par $9$ : la somme des chiffres doit être dans la table de $9$. Sans le chiffre caché : $5+4=$$9$. Il faut $9+\square =9$ ou $18$ : $\square =0$ ou $\square =$$9$. Les nombres sont $504$ et $594$. b) Divisible par $5$ : le chiffre caché vaut $0$ ou $5$. Je teste la somme pour $3$ : $7+2+0=$$9$, oui ; $7+2+5=$$14$, non. Seul $720$ convient. c) Divisible par $10$ : $△=$$0$. Puis $1+\square +6+0=7+\square$ doit être dans la table de $9$ : c'est $9$, donc $\square =2$ ($18$ demanderait $\square =$$11$, qui n'est pas un chiffre). Le nombre est $1260$. ⛔ Le piège du a) : oublier $\square =$$0$. $504$ a bien un zéro au milieu, et $5+0+4=$$9$. Réponse : a) $504$ ou $594$ ; b) $720$ ; c) $1260$.

   nombre	condition	réponse
   5□4	par 9	504 ; 594
   72□	par 3 et 5	720
   1□6△	par 10 et 9	1 260

10. 10. a) Par paires. $32=1\times 32=2\times 16=4\times$$8$ ; $3$ et $5$ ne tombent pas juste, et $6\times 6=36$ dépasse $32$. Diviseurs de $32$ : $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$. $48=1\times 48=2\times 24=3\times 16=4\times 12=6\times$$8$. Diviseurs de $48$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $16$, $24$, $48$. b) Les nombres présents dans les deux listes : $1$, $2$, $4$, $8$ et $16$. Le plus grand est $16$. c) Je divise le haut et le bas par $16$ : $32÷16=2$ et $48÷16=$$3$. Donc $\frac{32}{48}=$$\frac{2}{3}$. ⭐ Diviser par $2$ quatre fois de suite marche aussi, mais en quatre étapes. ⛔ Le piège : prendre $32$ comme diviseur commun parce qu'il divise $32$. $48=32\times 1+$$16$ : il reste $16$. Réponse : b) $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ ; le plus grand est $16$ ; c) $\frac{32}{48}=$$\frac{2}{3}$.
11. 11. a) $60=1\times 60=2\times 30=3\times 20=4\times 15=5\times 12=6\times$$10$. $7$ ne tombe pas juste, et $8\times 8=64$ dépasse $60$ : je m'arrête. Les diviseurs de $60$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$, $60$. b) Le nombre de rangées doit diviser $60$, valoir au moins $3$, et laisser au moins $3$ salades par rangée : $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$ ou $20$ rangées. Soit $3$ rangées de $20$, $4$ de $15$, $5$ de $12$, $6$ de $10$, $10$ de $6$, $12$ de $5$, $15$ de $4$, $20$ de $3$ : huit plantations. c) Un carré a autant de rangées que de salades par rangée. Les deux nombres les plus proches sont $6$ et $10$ : $6$ rangées de $10$, ou $10$ rangées de $6$. ⛔ Le piège : garder $2$ rangées de $30$, ou $60$ rangées de $1$. L'énoncé demande au moins $3$ de chaque. Réponse : huit plantations, de $3$ rangées de $20$ à $20$ rangées de $3$ ; la plus proche d'un carré : $6$ rangées de $10$.
12. 12. a) Faux. Contre-exemple : $43$ se termine par $3$, mais $4+3=7$ n'est pas dans la table de $3$. Pour $3$, le dernier chiffre ne dit rien. b) Vrai. Par $2$ : le dernier chiffre est pair. Par $5$ : il vaut $0$ ou $5$. Le seul qui convient aux deux est $0$, et un nombre qui se termine par $0$ est divisible par $10$. c) Vrai : c'est le critère de divisibilité par $9$, puisque $9$ est dans la table de $9$. d) Faux. Contre-exemple : $16$. Par paires : $1\times$$16$, $2\times$$8$, $4\times$$4$. La paire $4\times 4$ ne donne qu'un seul diviseur : $16$ a cinq diviseurs, $1$, $2$, $4$, $8$ et $16$. ⛔ Le piège du d) : compter $4$ deux fois. Dans la liste des diviseurs, chaque nombre ne s'écrit qu'une fois. Réponse : a) faux ; b) vrai ; c) vrai ; d) faux.
13. 13. a) $6\times 6=36$ et $6\times 7=$$42$ : $38$ est entre les deux, ce n'est pas un multiple de $6$. $38=6\times 6+$$2$ : avec $6$ rangées de $6$, il reste $2$ jetons, comme sur le dessin. b) Enlever : je descends au multiple de $6$ juste en dessous, $36$. Il enlève $38-36=2$ jetons. Ajouter : je monte au multiple de $6$ juste au-dessus, $42$. Il ajoute $42-38=4$ jetons. c) Les diviseurs de $38$ : $1\times$$38$, $2\times$$19$. $3$, $4$, $5$ et $6$ ne tombent pas juste, et $7\times 7=49$ dépasse $38$. Avec au moins $2$ colonnes et $2$ rangées : $2$ colonnes (de $19$ jetons de haut) ou $19$ colonnes (de $2$ jetons de haut). ⛔ Le piège du b) : répondre $4$ pour « enlever » en visant $42$. Enlever fait DESCENDRE : le multiple de $6$ visé est $36$. Réponse : a) non, il reste $2$ jetons ; b) enlever $2$ jetons, ou en ajouter $4$ ; c) $2$ ou $19$ colonnes.
14. 14. Je fais deux tests pour chaque nombre : le dernier chiffre (pour $2$, $5$ et $10$), puis la somme des chiffres (pour $3$ et $9$). $1350$ : il se termine par $0$, donc par $2$, $5$ et $10$. $1+3+5+0=$$9$ : par $3$ et par $9$. $2718$ : il se termine par $8$, donc par $2$, mais ni par $5$ ni par $10$. $2+7+1+8=$$18$ : par $3$ et par $9$. $4005$ : il se termine par $5$, donc par $5$, mais ni par $2$ ni par $10$. $4+0+0+5=$$9$ : par $3$ et par $9$. $994$ : il se termine par $4$, donc par $2$ seulement. $9+9+4=$$22$ : ni par $3$, ni par $9$. ⛔ Le piège : dire $994$ divisible par $9$ parce qu'il commence par deux $9$. On additionne TOUS les chiffres. Réponse : $1350$ par $2$, $3$, $5$, $9$ et $10$ ; $2718$ par $2$, $3$ et $9$ ; $4005$ par $3$, $5$ et $9$ ; $994$ par $2$ seulement.

    nombre	divisible par	pas par
    1 350	2, 3, 5, 9, 10	—
    2 718	2, 3, 9	5, 10
    4 005	3, 5, 9	2, 10
    994	2	3, 5, 9, 10

15. 15. Divisible par $5$ mais pas par $10$ : mon chiffre des unités est $5$. Avec $0$, je serais divisible par $10$. Entre $300$ et $400$ : mon chiffre des centaines est $3$. Je m'écris $3\square 5$. Divisible par $9$ : $3+\square +5=8+\square$ doit être dans la table de $9$. Avec un seul chiffre, seul $9$ est possible : $\square =$$1$. Je suis $315$. Contrôle : $3+1+5=$$9$, et $315=9\times$$35$. ⛔ Le piège : choisir $0$ pour les unités parce que « $0$ marche pour $5$ ». Le nombre serait alors divisible par $10$, ce que l'énoncé interdit. Réponse : je suis $315$.
16. 16. a) Le robot A se pose sur les multiples de $3$ : $3$, $6$, $9$, $12$, $15$, $18$, $21$, $24$, $27$, $30$, $33$, $36$, $39$, $42$, $45$, $48$. b) Le robot B se pose sur les multiples de $5$ : $5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$, $35$, $40$, $45$, $50$. c) Ils se posent tous les deux sur les nombres des deux listes : $15$, $30$ et $45$. Ce sont les multiples communs à $3$ et à $5$. Le premier est $15$. ⭐ $15$, $30$ et $45$ sont les multiples de $15$ : les deux robots se retrouvent tous les $15$ cm. ⛔ Le piège : comparer seulement le début des deux listes et répondre « jamais ». Il faut aller assez loin : la première rencontre est à $15$ cm. Réponse : c) sur $15$, $30$ et $45$ cm ; la première est $15$ cm.

17. 17. Le code du cadenas a) Divisible par $2$ : le dernier chiffre est pair. Par $5$ : il vaut $0$ ou $5$. Le seul chiffre qui convient aux deux est $0$. b) Le code s'écrit $7\square \square 0$. c) Divisible par $9$ : $7+\square +\square +0$ doit être dans la table de $9$. Si $\square =$$1$ : $7+1+1+0=$$9$, oui. Pour arriver à $18$, il faudrait $\square +\square =$$11$ : impossible, deux chiffres égaux font une somme paire. Pour $27$, il faudrait $\square +\square =$$20$, soit $\square =$$10$ : ce n'est pas un chiffre. Le code est $7110$. d) $7110=9\times$$790$ : la division tombe juste. ⛔ Le piège du a) : choisir $5$ pour le dernier chiffre. $5$ est impair : le code ne serait pas divisible par $2$. Réponse : le code est $7110$.
18. 18. Les chaises de la fête du collège a) Je teste les nombres de $8$ à $20$ un par un. $120=8\times$$15$, $120=10\times$$12$, $120=12\times$$10$, $120=15\times$$8$, $120=20\times$$6$. $9$ : non, $1+2+0=3$ n'est pas dans la table de $9$. $11$, $13$, $14$, $16$, $17$, $18$ et $19$ : aucun ne tombe juste (par exemple $120=11\times 10+$$10$). Les diviseurs de $120$ entre $8$ et $20$ sont $8$, $10$, $12$, $15$ et $20$. b) $15$ rangées de $8$ ; $12$ rangées de $10$ ; $10$ rangées de $12$ ; $8$ rangées de $15$ ; $6$ rangées de $20$. c) Nombre de rangées pair : $12$, $10$, $8$ ou $6$ rangées. Seule l'installation en $15$ rangées de $8$ disparaît. d) $127$ est impair : ni $8$, ni $10$, ni $12$, ni $14$, ni $16$, ni $18$, ni $20$. Il se termine par $7$ : ni $15$. $1+2+7=$$10$ : ni $9$. Il reste à essayer $11$, $13$, $17$ et $19$ : $127=11\times 11+$$6$ ; $127=13\times 9+$$10$ ; $127=17\times 7+$$8$ ; $127=19\times 6+$$13$. Aucune division ne tombe juste. ⛔ Le piège du c) : confondre le nombre de rangées et le nombre de chaises par rangée. « $8$ rangées de $15$ » a bien un nombre de rangées pair. Réponse : b) cinq installations ; c) $12$ rangées de $10$, $10$ de $12$, $8$ de $15$ et $6$ de $20$ ; d) non, c'est impossible.

    par rangée	rangées	pair ?
    8	15	non
    10	12	oui
    12	10	oui
    15	8	oui
    20	6	oui

19. 19. Pourquoi la règle du 9 marche a) $9+1=$$10$, $99+1=$$100$, $999+1=$$1000$. Et $9=9\times$$1$, $99=9\times$$11$, $999=9\times$$111$ : ce sont des multiples de $9$. b) Je remplace $1000$ par $999+$$1$, $100$ par $99+$$1$, $10$ par $9+$$1$. $5\times 1000=5\times 999+$$5$ ; $4\times 100=4\times 99+$$4$ ; $2\times 10=2\times 9+$$2$. En regroupant : $5\times 999+4\times 99+2\times$$9$, plus $5+4+2+$$7$. Les chiffres du nombre se retrouvent seuls, additionnés. c) $5\times$$999$, $4\times 99$ et $2\times 9$ sont des multiples de $9$. Leur somme aussi : $4995+396+18=$$5409$, et $5409=9\times$$601$. d) Il reste la somme des chiffres : $5+4+2+7=$$18$, un multiple de $9$. Un multiple de $9$ plus un multiple de $9$, cela donne un multiple de $9$ : $5427$ est divisible par $9$. Contrôle : $5427=9\times$$603$. ⭐ Le même raisonnement marche pour $3$, puisque $9$, $99$ et $999$ sont aussi des multiples de $3$. ⛔ Le piège : croire que la règle est un tour de magie. Elle vient de ce que $10$, $100$ et $1000$ valent « un multiple de $9$, plus $1$ ». Réponse : $5427=9\times$$603$ : il est divisible par $9$, et c'est la somme de ses chiffres, $18$, qui le dit.

    morceau	valeur	table de 9
    5 × 999	4 995	9 × 555
    4 × 99	396	9 × 44
    2 × 9	18	9 × 2
    5 + 4 + 2 + 7	18	9 × 2

20. 20. Le mur de la salle de bains Le côté du carreau doit tenir un nombre entier de fois dans $120$ ET dans $90$ : c'est un diviseur commun aux deux. a) $120=20\times$$6$, mais $90=20\times 4+$$10$ : il resterait une bande de $10$ cm. Pas de carreaux de $20$ cm. $120=15\times 8$ et $90=15\times$$6$ : les carreaux de $15$ cm conviennent. b) $8$ carreaux dans la longueur, $6$ dans la hauteur : $8\times 6=48$ carreaux. c) Je liste les diviseurs de $90$, le plus petit des deux nombres : $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $9$, $10$, $15$, $18$, $30$, $45$, $90$. Je les teste dans $120$, en partant du plus grand : $90$ et $45$ ne tombent pas juste ($120=$$45\times 2+$$30$), $30$ oui : $120=30\times$$4$. Le plus grand carreau fait $30$ cm de côté. Il en faut $4\times 3=$$12$. ⛔ Le piège : vérifier une seule des deux longueurs. $20$ divise $120$, mais pas $90$. Réponse : a) non pour $20$ cm, oui pour $15$ cm ; b) $48$ carreaux ; c) des carreaux de $30$ cm, $12$ en tout.