Multiples, diviseurs et divisibilitécours et exercices corrigés de maths 5e
Un multiple, c'est un nombre de jetons qui se range en rectangle plein. Reconnaître ces nombres au premier regard, sans poser la division : c'est tout l'objet des critères de divisibilité.
Multiples, diviseurs et divisibilité : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.À quoi ça sert : Multiples, diviseurs et divisibilité
Les diviseurs servent dès qu'il faut partager sans casser : répartir 24 élèves en équipes égales, ranger des chaises en rangées complètes, découper une plaque de gâteau en parts identiques. Un nombre premier de convives, et il restera toujours quelqu'un à part.
Un peu d'histoire : Multiples, diviseurs et divisibilité
Le crible d'Ératosthène, imaginé il y a plus de 2200 ans à Alexandrie, cherchait déjà les nombres qui n'ont aucun diviseur en dehors de 1 et d'eux-mêmes : les nombres premiers. Aujourd'hui, ce sont eux qui protègent les paiements sur Internet.
Définition : Multiples, diviseurs et divisibilité
Un nombre a est un multiple d'un nombre b lorsque la division de a par b tombe juste, c'est-à-dire que son reste vaut 0. On dit alors aussi que b est un diviseur de a. Puisque 7 × 6 = 42, le nombre 42 est un multiple de 7 (et de 6), et 7 est un diviseur de 42.
Propriétés : Multiples, diviseurs et divisibilité
Multiple et diviseur
Deux mots pour la même égalité : 42 = 7 × 6, donc 42 est un multiple de 7 et 7 un diviseur de 42.
Par 2, 5 et 10
Seul le dernier chiffre décide, quelle que soit la taille du nombre.
| Données | Divisible par | si le nombre se termine par |
|---|---|---|
| 2 | 0, 2, 4, 6 ou 8 | |
| 5 | 0 ou 5 | |
| 10 | 0 |
Par 3 et 9
On additionne les chiffres : si la somme est dans la table de 3 (ou de 9), le nombre l'est aussi.
Lister les diviseurs
On cherche par paires, à partir de 1, jusqu'à ce que les deux nombres se croisent.
| Données | On multiplie | …par | et on obtient |
|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 24 | |
| 2 | 12 | 24 | |
| 3 | 8 | 24 | |
| 4 | 6 | 24 |
La formule : Multiples, diviseurs et divisibilité
Multiple et diviseur
a = b × k
S'il existe un entier k tel que a = b × k, alors a est un multiple de b, et b est un diviseur de a. Exemple : 42 = 7 × 6.
Méthode : Multiples, diviseurs et divisibilité
1. Je regarde le dernier chiffre
Il répond tout de suite pour 2, 5 et 10.
| Données | Divisible par | si le nombre se termine par |
|---|---|---|
| 2 | 0, 2, 4, 6 ou 8 | |
| 5 | 0 ou 5 | |
| 10 | 0 |
2. J'additionne les chiffres
Pour 3 et 9, c'est cette somme qu'il faut regarder, pas le nombre lui-même.
3. Je cherche par paires
1 et le nombre, 2 et sa moitié… jusqu'à ce que les deux se rejoignent.
| Données | On multiplie | …par | et on obtient |
|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 24 | |
| 2 | 12 | 24 | |
| 3 | 8 | 24 | |
| 4 | 6 | 24 |
Selon ce que l'on cherche : Multiples, diviseurs et divisibilité
Reconnaître un multiple
La division tombe juste : les jetons forment un rectangle plein.
Trancher sans calculer
Les critères répondent au premier regard, sans poser la division.
| Données | Divisible par | si le nombre se termine par |
|---|---|---|
| 2 | 0, 2, 4, 6 ou 8 | |
| 5 | 0 ou 5 | |
| 10 | 0 |
Partager en parts égales
Les diviseurs d'un nombre sont toutes les façons de le partager sans reste.
| Données | On multiplie | …par | et on obtient |
|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 24 | |
| 2 | 12 | 24 | |
| 3 | 8 | 24 | |
| 4 | 6 | 24 |
Exemples corrigés : Multiples, diviseurs et divisibilité
Multiple ou diviseur ?
On sait que 7 × 6 = 42.
Que peut-on dire de 42 et de 7 ?
42 est un multiple de 7 (et de 6), et 7 est un diviseur de 42. Les 42 cases se rangent en 6 lignes de 7 sans reste.
Le nombre 375
Le nombre 375.
Est-il divisible par 2 ? par 5 ?
| Données | Divisible par | si le nombre se termine par |
|---|---|---|
| 2 | 0, 2, 4, 6 ou 8 | |
| 5 | 0 ou 5 | |
| 10 | 0 |
Il se termine par 5 : il n'est donc PAS divisible par 2 (il faudrait 0, 2, 4, 6 ou 8), mais il est divisible par 5.
Le nombre 4 152
Le nombre 4 152.
Est-il divisible par 3 ? Sans poser la division.
J'additionne les chiffres : 4 + 1 + 5 + 2 = 12. Or 12 est dans la table de 3, donc 4 152 est divisible par 3. (12 n'est pas dans la table de 9 : il n'est donc pas divisible par 9.)
Tous les diviseurs de 24
Le nombre 24.
Quels sont tous ses diviseurs ?
| Données | On multiplie | …par | et on obtient |
|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 24 | |
| 2 | 12 | 24 | |
| 3 | 8 | 24 | |
| 4 | 6 | 24 |
Je cherche par paires : 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6. Après 4, les nombres se croisent. Les diviseurs de 24 sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Le piège du 13
Le nombre 13, qui se termine par 3.
Est-il divisible par 3 ?
Non. Le dernier chiffre ne dit rien pour 3 : il faut additionner les chiffres, et 1 + 3 = 4, qui n'est pas dans la table de 3. Sur le dessin, la dernière ligne reste incomplète : il reste 1.
Pièges à éviter : Multiples, diviseurs et divisibilité
- Regarder le dernier chiffre pour la divisibilité par 3 : 13 se termine par 3 et n'est PAS divisible par 3 (1 + 3 = 4).
- Confondre multiple et diviseur : 42 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 42.
- Oublier que tout nombre est divisible par 1 et par lui-même.
À retenir : Multiples, diviseurs et divisibilité
- a est un multiple de b quand la division a ÷ b tombe juste (reste 0) ; b est alors un diviseur de a.
- Par 2, 5 ou 10 : seul le dernier chiffre décide.
- Par 3 ou 9 : on additionne les chiffres, et on regarde cette somme.
Exercices corrigés : Multiples, diviseurs et divisibilité
1. Zéro est-il un multiple de 7 ?
Voir la correction
Oui : 0 = 7 × 0, et la division 0 ÷ 7 tombe juste. Zéro est un multiple de tous les nombres.
2. Quel nombre est un diviseur de TOUS les nombres entiers ?
Voir la correction
Le nombre 1 : tout nombre a s'écrit a = 1 × a.
3. Un nombre se termine par 0. Par lesquels est-il forcément divisible ?
Voir la correction
Par 2, par 5 et par 10 à la fois — c'est le seul dernier chiffre qui réunit les trois critères.
4. Le nombre 738 est-il divisible par 9 ?
Voir la correction
7 + 3 + 8 = 18, qui est dans la table de 9. Donc oui, 738 est divisible par 9 — et par 3 du même coup.
5. Liste tous les diviseurs de 18.
Voir la correction
Par paires : 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6. Les diviseurs sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
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