Calculer avec les fractions : 20 exercices corrigésmaths 5e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : calculer avec les fractions, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. Les deux fractions ont le même dénominateur : ce sont des huitièmes, des parts de même taille. J'additionne les numérateurs et je garde le dénominateur : $3+2=$$5$. $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=$$\frac{5}{8}$. ⛔ Le piège : écrire $\frac{5}{16}$. Le dénominateur ne s'additionne pas : il dit la taille des parts, et elle n'a pas changé.
2. 2. Même dénominateur : je soustrais les numérateurs, $7-3=$$4$. $\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=$$\frac{4}{10}$. Je simplifie : $4$ et $10$ se divisent par $2$, donc $\frac{4}{10}=$$\frac{2}{5}$. ⚠️ Un résultat se donne toujours sous sa forme la plus simple : $\frac{4}{10}$ est juste, mais le calcul n'est pas fini.
3. 3. Les dénominateurs sont différents, mais $10$ est un multiple de $5$ : je transforme seulement $\frac{2}{5}$. $\frac{2}{5}=\frac{2\times 2}{5\times 2}=$$\frac{4}{10}$ : chaque cinquième est coupé en deux dixièmes. Maintenant les parts ont la même taille : $\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=$$\frac{7}{10}$. ⛔ Le piège : $\frac{2+3}{5+10}=$$\frac{5}{15}$. On n'additionne jamais des cinquièmes avec des dixièmes sans les redécouper.
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4. 4. $6$ est un multiple de $2$ : je transforme $\frac{1}{2}$ en sixièmes. $\frac{1}{2}=\frac{1\times 3}{2\times 3}=$$\frac{3}{6}$. $\frac{5}{6}-\frac{3}{6}=$$\frac{2}{6}$. Je simplifie par $2$ : $\frac{2}{6}=$$\frac{1}{3}$.
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5. 5. Pour multiplier, je n'ai besoin d'aucun dénominateur commun. Haut $\times$ haut : $3\times 2=$$6$. Bas $\times$ bas : $5\times 7=$$35$. $\frac{3}{5}\times \frac{2}{7}=$$\frac{6}{35}$. $6$ et $35$ n'ont aucun diviseur commun : la fraction ne se simplifie pas. ⛔ Le piège : chercher un dénominateur commun « comme pour l'addition ». C'est du travail pour rien, et c'est là qu'on se trompe.
6. 6. Haut $\times$ haut : $3\times 2=$$6$. Bas $\times$ bas : $4\times 9=$$36$. $\frac{3}{4}\times \frac{2}{9}=$$\frac{6}{36}$. Je simplifie : $6$ et $36$ se divisent par $6$, donc $\frac{6}{36}=$$\frac{1}{6}$. ⚠️ Simplifier par $2$ puis par $3$ donne la même chose : $\frac{6}{36}=\frac{3}{18}=$$\frac{1}{6}$. L'important est d'aller jusqu'au bout.
7. 7. Je divise par le dénominateur : $24÷3=$$8$. C'est un tiers de $24$. Je multiplie par le numérateur : $8\times 2=$$16$. Ce sont deux tiers. $\frac{2}{3}$ de $24$ vaut $16$. ⭐ Pour vérifier : $\frac{2}{3}$ est plus petit que $1$, donc le résultat doit être plus petit que $24$. C'est le cas.
8. 8. Je cherche $\frac{3}{10}$ de $250$ g. Un dixième : $250÷10=25$ g. Trois dixièmes : $25\times 3=75$ g. Il faut $75$ g de farine. ⚠️ Une quantité se donne avec son unité, dans une phrase.
9. 9. Ni $4$ ni $6$ n'est un multiple de l'autre : je cherche un multiple commun. Dans la table de $6$ : $6$, puis $12$ — et $12$ est aussi dans la table de $4$. $\frac{1}{4}=\frac{1\times 3}{4\times 3}=\frac{3}{12}$ et $\frac{1}{6}=\frac{1\times 2}{6\times 2}=$$\frac{2}{12}$. $\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=$$\frac{5}{12}$. ⭐ Prendre $24$ (soit $4\times$$6$) marche aussi : $\frac{6}{24}+\frac{4}{24}=$$\frac{10}{24}$, qui se simplifie en $\frac{5}{12}$. Le plus petit multiple commun évite seulement cette dernière étape.
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10. 10. Un multiple commun à $4$ et $5$ : $20$. $\frac{3}{4}=\frac{3\times 5}{4\times 5}=\frac{15}{20}$ et $\frac{2}{5}=\frac{2\times 4}{5\times 4}=$$\frac{8}{20}$. $\frac{15}{20}-\frac{8}{20}=$$\frac{7}{20}$. $7$ et $20$ n'ont aucun diviseur commun : c'est fini. ⚠️ Ce qu'on fait en bas, on le fait en haut : multiplier seulement le dénominateur changerait la fraction.
11. 11. $8$ est un multiple de $2$ et de $4$ : je mets tout en huitièmes. $\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$ et $\frac{1}{4}=$$\frac{2}{8}$. $\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=$$\frac{7}{8}$. ⭐ Il manque $\frac{1}{8}$ pour faire $1$ : à chaque fois, on ajoute la moitié de ce qui manquait.
12. 12. a) $\frac{1}{2}=0,5$ et $\frac{2}{5}=$$0,4$. Son résultat est plus PETIT que $\frac{1}{2}$, alors qu'il a ajouté quelque chose à $\frac{1}{2}$ : c'est impossible. b) Il a additionné les numérateurs entre eux ($1+$$1=$$2$) et les dénominateurs entre eux ($2+$$3=$$5$). Or une moitié et un tiers ne sont pas des parts de même taille : on ne peut pas les compter ensemble. c) Je redécoupe en sixièmes : $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ et $\frac{1}{3}=$$\frac{2}{6}$. Donc $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=$$\frac{5}{6}$. ⭐ Le contrôle du a) marche pour n'importe quelle somme : le résultat est toujours plus grand que chacun des deux termes.
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13. 13. Haut $\times$ haut : $4\times 3=$$12$. Bas $\times$ bas : $9\times 8=$$72$. $\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}=$$\frac{12}{72}$. $12$ et $72$ se divisent par $12$ : $\frac{12}{72}=$$\frac{1}{6}$. ⭐ On peut aussi simplifier AVANT de multiplier : $4$ et $8$ se divisent par $4$, $3$ et $9$ se divisent par $3$. Il reste $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ — le même résultat, avec de plus petits nombres.
14. 14. a) $\frac{3}{5}\times$$\frac{2}{5}$, c'est prendre les $\frac{3}{5}$ de $\frac{2}{5}$ : une partie seulement de $\frac{2}{5}$. Le résultat est donc plus petit que $\frac{2}{5}$, et sûrement pas plus grand que $1$. Or $\frac{6}{5}$ dépasse $1$. b) Il a multiplié les numérateurs ($3\times$$2=$$6$) mais il a GARDÉ le dénominateur $5$, comme dans une addition. c) Bas $\times$ bas aussi : $5\times 5=$$25$. Donc $\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=$$\frac{6}{25}$. ⛔ « Je garde le dénominateur » est la règle de l'addition. Pour multiplier : haut $\times$ haut ET bas $\times$ bas.
15. 15. « de » veut dire « fois » : je calcule $\frac{3}{4}\times$$\frac{2}{5}$. Haut $\times$ haut : $3\times 2=$$6$. Bas $\times$ bas : $4\times 5=$$20$. $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=$$\frac{6}{20}$. Je simplifie par $2$ : $\frac{6}{20}=$$\frac{3}{10}$. ⭐ C'est bien plus petit que $\frac{2}{5}$ (soit $\frac{4}{10}$) : on n'en a pris que les trois quarts.
16. 16. Je cherche d'abord ceux qui y mangent : $\frac{3}{7}$ de $28$. Un septième : $28÷7=$$4$. Trois septièmes : $4\times 3=12$ élèves. Les autres : $28-12=$$16$. $16$ élèves ne mangent pas à la cantine. ⭐ Autre chemin : la classe entière, c'est $\frac{7}{7}$. Ceux qui n'y mangent pas sont $\frac{7}{7}-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$ de la classe, et $\frac{4}{7}$ de $28$ vaut $4\times 4=$$16$. ⛔ Le piège : s'arrêter à $12$. La question porte sur ceux qui ne mangent PAS.
17. 17. Le gâteau patate a) Un tiers et un quart ne sont pas des parts de même taille : je redécoupe en douzièmes ($12$ est dans la table de $3$ et dans celle de $4$). $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ et $\frac{1}{4}=$$\frac{3}{12}$, donc $\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=$$\frac{7}{12}$. Ils ont mangé $\frac{7}{12}$ du gâteau. b) Le gâteau entier, c'est $\frac{12}{12}$. Il reste $\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$ du gâteau. c) La moitié du gâteau, c'est $\frac{6}{12}$. Or $\frac{5}{12}<$$\frac{6}{12}$ : il reste un peu MOINS de la moitié. ⛔ Le piège du a) : $\frac{1+1}{3+4}=$$\frac{2}{7}$. Ce serait moins que la part de Maëlle seule ($\frac{1}{3}$) : impossible.
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18. 18. La récolte de letchis a) $\frac{5}{8}$ de $240$ : un huitième vaut $240÷8=30$ kg, donc cinq huitièmes valent $30\times 5=150$ kg. Il vend $150$ kg. b) $240-150=$$90$. Il lui reste $90$ kg. c) Il donne $\frac{1}{3}$ de CES $90$ kg : $90÷3=30$ kg. d) $90-30=$$60$. Il garde $60$ kg. Sur $240$ kg, cela fait $\frac{60}{240}$, que je simplifie par $60$ : $\frac{60}{240}=$$\frac{1}{4}$. Il garde un quart de sa récolte. ⛔ Le piège du c) : calculer $\frac{1}{3}$ de $240$ (soit $80$ kg). L'énoncé dit « de ce qui reste » : la fraction se prend sur $90$ kg, pas sur la récolte entière.
19. 19. La recette pour quatre a) $4$ personnes sur $6$, c'est $\frac{4}{6}$ de la recette. Je simplifie par $2$ : $\frac{4}{6}=$$\frac{2}{3}$. b) $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{4}$ : « de » veut dire « fois ». $\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{6}{12}=$$\frac{1}{2}$. Il lui faut $\frac{1}{2}$ litre de lait. c) $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{6}=$$\frac{1}{3}$. Il lui faut $\frac{1}{3}$ de kg de farine. ⭐ Contrôle : les deux résultats sont plus PETITS que les quantités de départ ($\frac{1}{2}<$$\frac{3}{4}$ et $\frac{1}{3}<$$\frac{1}{2}$). C'est normal, on cuisine pour moins de monde.
20. 20. L'ordre des calculs a) La multiplication passe AVANT la soustraction : $\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{12}=$$\frac{1}{6}$. Il reste $A=\frac{3}{4}-$$\frac{1}{6}$. En douzièmes : $\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=$$\frac{7}{12}$. Donc $A=$$\frac{7}{12}$. b) Il a calculé de gauche à droite : $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=$$\frac{1}{2}$, puis $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{6}=$$\frac{1}{3}$. Il a oublié la priorité de la multiplication. c) Les parenthèses d'abord : $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=$$\frac{5}{6}$. Puis $B=\frac{5}{6}\times \frac{3}{5}=\frac{15}{30}=$$\frac{1}{2}$. ⛔ Le piège de tout le chapitre, version longue : on ne lit pas un calcul de gauche à droite, on cherche d'abord ce qui est prioritaire.