Calculer avec les fractions
Additionner, soustraire, multiplier, prendre une fraction d'une quantité : quatre gestes, et une seule règle à ne jamais oublier — on n'additionne que des parts de même taille.
À quoi ça sert ?
Calculer avec des fractions sert dès qu'on partage : une recette qu'on fait à moitié, trois quarts d'un paquet de biscuits, la part d'un sentier déjà parcourue, un rythme en musique. À La Réunion, 3/4 d'un sentier de 12 km, c'est 9 km de marche — et 3 km qui restent.
Un peu d'histoire
Les Égyptiens, il y a 4000 ans, n'écrivaient presque que des fractions de numérateur 1 : pour eux, 3/4 s'écrivait 1/2 + 1/4. Additionner des fractions leur demandait donc de tout redécouper — exactement le geste qu'on fait encore aujourd'hui pour trouver un dénominateur commun.
Définition
Additionner ou soustraire deux fractions n'a de sens que si elles partagent le même dénominateur : on compte alors des parts de même taille, et on additionne seulement les numérateurs. Multiplier, au contraire, ne demande aucun dénominateur commun : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
+
=
Propriétés
Même dénominateur
On additionne (ou soustrait) les numérateurs, et on garde le dénominateur.
−
=
Dénominateurs différents
On redécoupe d'abord en parts de même taille : 3/4 + 1/6 = 9/12 + 2/12.
+
=
Multiplier
Haut × haut, bas × bas : 2/3 × 3/4 = 6/12, que l'on simplifie en 1/2.
×
=
Une fraction d'une quantité
On divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.
La formule
Additionner deux fractions de même dénominateur
a/c + b/c = (a + b)/c
Exemple : 1/4 + 2/4 = 3/4. Le dénominateur ne bouge pas, il dit la taille des parts.
+
=
1. Je regarde les dénominateurs
S'ils sont différents, je redécoupe pour qu'ils deviennent identiques.
+
=
2. Je calcule les numérateurs
Pour une somme : j'additionne le haut et je garde le bas.
+
=
3. Je simplifie à la fin
Un résultat se donne toujours sous sa forme la plus simple.
=
=
Selon ce que l'on cherche
Additionner
Même dénominateur d'abord, puis on additionne les numérateurs.
+
=
Multiplier
Haut × haut, bas × bas, sans dénominateur commun.
×
=
Fraction d'une quantité
On divise par le dénominateur, on multiplie par le numérateur.
Exemples corrigés
Une somme simple
Le calcul 1/4 + 2/4.
Combien font 1/4 + 2/4 ?
+
=
Les deux fractions ont le même dénominateur : les parts ont la même taille. J'additionne les numérateurs et je garde le dénominateur : 1 + 2 = 3, donc 3/4.
Une différence
Le calcul 3/5 − 1/5.
Combien font 3/5 − 1/5 ?
−
=
Même dénominateur : 3 − 1 = 2, donc 2/5.
Un produit
Le calcul 2/3 × 3/4.
Combien font 2/3 × 3/4 ?
×
=
Haut × haut : 2 × 3 = 6. Bas × bas : 3 × 4 = 12. Résultat 6/12, que l'on simplifie : 6/12 = 1/2.
Une fraction d'une quantité
3/4 d'un paquet de 20 biscuits.
Combien de biscuits cela fait-il ?
Je divise par le dénominateur : 20 ÷ 4 = 5 (c'est un quart). Puis je multiplie par le numérateur : 5 × 3 = 15. Il en prend 15, il en reste 5.
Le défi : deux parts d'un gâteau
Enzo mange 3/4 d'un gâteau le midi, puis 1/6 du même gâteau le soir.
Quelle quantité a-t-il mangée en tout ?
+
=
Les parts n'ont pas la même taille : je redécoupe en douzièmes. 3/4 = 9/12 et 1/6 = 2/12. J'additionne les numérateurs : 9 + 2 = 11, donc 11/12 du gâteau.
Pièges à éviter
- Additionner les dénominateurs : 1/2 + 1/3 ne fait pas 2/5. On met au même dénominateur d'abord.
- Chercher un dénominateur commun pour MULTIPLIER : inutile, on multiplie haut par haut et bas par bas.
- Oublier de simplifier le résultat à la fin (6/12 s'écrit 1/2).
À retenir
- Additionner ou soustraire : même dénominateur d'abord, puis on ne touche qu'aux numérateurs.
- Multiplier : haut × haut, bas × bas (aucun dénominateur commun à chercher).
- Une fraction d'une quantité : on divise par le dénominateur, on multiplie par le numérateur.
Je m'entraîne
1. Calcule 2/7 + 3/7.
Voir la correction
Même dénominateur : 2 + 3 = 5, donc 5/7.
2. Calcule 1/2 + 1/3.
Voir la correction
Les parts n'ont pas la même taille : je redécoupe en sixièmes. 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6, donc 3/6 + 2/6 = 5/6.
3. Calcule 1/2 × 4/5.
Voir la correction
Haut × haut : 1 × 4 = 4. Bas × bas : 2 × 5 = 10. Résultat 4/10, soit 2/5 simplifié.
4. Calcule 2/5 de 30.
Voir la correction
30 ÷ 5 = 6, puis 6 × 2 = 12.
5. À La Réunion, Tom parcourt 3/4 d'un sentier de 12 km. Combien de kilomètres a-t-il parcourus ?
Voir la correction
12 ÷ 4 = 3, puis 3 × 3 = 9. Tom a parcouru 9 km, il lui en reste 3.
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