Les nombres relatifs : 20 exercices corrigésmaths 5e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les nombres relatifs, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. Je cherche d'abord le signe : au-dessus, un gain, un étage, c'est positif ; au-dessous, une perte, un sous-sol, c'est négatif. a) Sous le niveau de la mer : négatif. L'épave est à $-12$ m. b) Un gain : positif. Le club gagne $+35$ €. c) En dessous de zéro : négatif. Il fait $-4,5$ °C. d) Au-dessus du rez-de-chaussée : positif. C'est l'étage $+3$. e) Sous le rez-de-chaussée : négatif. C'est l'étage $-2$. ⛔ Le piège : oublier le signe moins et écrire $4,5$ °C au c). Sans son signe, la température serait au-dessus de zéro : ce n'est plus le même temps. Réponse : a) $-12$ ; b) $+35$ ; c) $-4,5$ ; d) $+3$ ; e) $-2$.

   l'information	signe	relatif
   sous la mer	−	−12
   un gain	+	+35
   sous zéro	−	−4,5
   un étage	+	+3
   un sous-sol	−	−2

2. 2. Un nombre négatif porte le signe moins : il est à gauche de zéro. Un nombre positif est à droite de zéro. Son signe plus peut s'écrire ou non : $3,2$ et $+3,2$, c'est le même nombre. Négatifs : $-7$, $-0,5$ et $-1$. Positifs : $3,2$ et $+8$. $0$ n'est ni positif ni négatif : c'est la frontière entre les deux. ⛔ Le piège : croire que $-0,5$ est positif parce qu'il est « tout près de zéro ». Il est à gauche de zéro : il est négatif.
3. 3. a) Entre $0$ et $1$, il y a deux petits intervalles. Une graduation vaut donc $1÷2=$$0,5$. b) Je pars de zéro et je compte les graduations, $0,5$ par $0,5$. A est à gauche de zéro, à cinq graduations : $5\times 0,5=$$2,5$. Donc A a pour abscisse $-2,5$. B est sur le nombre $-1$ : son abscisse est $-1$. C est à une graduation à droite de zéro : $0,5$. D est à cinq graduations à droite : $2,5$. ⛔ Le piège : compter chaque graduation pour $1$ et lire $-5$ pour A. Je regarde toujours d'abord ce que vaut une graduation. ⭐ A et D sont à la même distance de zéro, de part et d'autre : leurs abscisses sont opposées. Réponse : A$(-2,5)$, B$(-1)$, C$(0,5)$, D$(2,5)$.
4. 4. Je place zéro, puis je gradue : deux carreaux pour une unité, donc un carreau pour $0,5$. E : $-3$ est négatif, je vais à gauche de zéro de $3$ unités, soit $6$ carreaux. F : $1,5$ est positif, je vais à droite d'une unité et demie, soit $3$ carreaux. G : $-0,5$ est négatif, je vais à gauche d'une demi-unité, soit $1$ carreau. G est entre $-1$ et $0$. H : $4$ unités à droite, soit $8$ carreaux. ⛔ Le piège : placer G entre $0$ et $1$ en ne lisant que « $0,5$ ». Le signe moins l'envoie à gauche de zéro.
5. 5. Sur la droite graduée, le plus grand est le plus à droite. a) Un négatif est toujours plus petit qu'un positif : $-8<$$3$. b) Deux négatifs : le plus grand est le plus proche de zéro. $-6$ est plus proche de zéro que $-9$, donc $-6>$$-9$. c) $-2$ est plus proche de zéro que $-2,5$, donc $-2,5<$$-2$. d) Tout négatif est plus petit que zéro : $0>$$-0,1$. ⛔ Le piège : écrire $-6<-9$ au b), « parce que $6<$$9$ ». Chez les négatifs, c'est l'inverse : plus on s'éloigne de zéro vers la gauche, plus le nombre est petit. Réponse : a) $<$ ; b) $>$ ; c) $<$ ; d) $>$.
6. 6. L'opposé d'un nombre est à la même distance de zéro, de l'autre côté. Je change seulement le signe. a) L'opposé de $-13$ est $13$. b) L'opposé de $7,2$ est $-7,2$. c) L'opposé de $-0,6$ est $0,6$. d) L'opposé de $0$ est $0$ : c'est le seul nombre qui est son propre opposé. ⛔ Le piège : croire que l'opposé d'un nombre est toujours négatif. L'opposé de $-13$ est positif. Réponse : a) $13$ ; b) $-7,2$ ; c) $0,6$ ; d) $0$.
7. 7. La distance à zéro compte les unités entre le nombre et zéro. C'est une distance : elle n'a jamais de signe moins. a) De $-9$ à $0$, il y a $9$ unités. La distance à zéro de $-9$ est $9$. b) De $0$ à $4$ : $4$. c) De $-3,5$ à $0$ : $3,5$. d) $0$ est sur zéro : sa distance à zéro est $0$. ⛔ Le piège : répondre $-9$ au a). Une distance ne peut pas être négative, pas plus qu'une longueur. ⭐ $-9$ et $9$ ont la même distance à zéro : ils sont opposés. Réponse : a) $9$ ; b) $4$ ; c) $3,5$ ; d) $0$.
8. 8. Croissant : du plus petit au plus grand, donc de gauche à droite sur la droite graduée. D'abord les négatifs, du plus loin de zéro au plus proche : $-7$, puis $-5$, puis $-1,5$. Puis zéro, puis les positifs : $0$, $2$, $3,5$. ⛔ Le piège : commencer par $-1,5$, le négatif le plus proche de zéro. Le plus petit de tous est le plus loin à gauche : $-7$. Réponse : $-7<-5<-1,5<0<2<$$3,5$.
9. 9. Je place les cinq températures sur un axe vertical, comme un thermomètre : plus c'est haut, plus il fait chaud. a) La plus basse est $-6$ °C : le mercredi est le jour le plus froid. La plus haute est $2$ °C : le mardi est le plus chaud. b) En dessous de zéro, ce sont les négatifs : lundi ($-3$ °C), mercredi ($-6$ °C) et vendredi ($-1,5$ °C). Jeudi, à $0$ °C, il ne faisait ni au-dessus ni en dessous de zéro. c) Décroissant : du plus grand au plus petit, du haut vers le bas du thermomètre. ⛔ Le piège : écrire $-1,5$ avant $0$. Zéro est plus grand que tous les négatifs. Réponse : $2>0>-1,5>-3>$$-6$.
10. 10. a) Une équipe qui encaisse plus qu'elle ne marque a une différence NÉGATIVE : ce sont les Loups ($-3$) et les Lynx ($-11$). Les Ours, à $0$, ont marqué autant qu'ils ont encaissé. b) La meilleure différence est la plus grande : je range dans l'ordre décroissant, du haut vers le bas de l'axe. $+7>+2>0>-3>$$-11$ : les Aigles, les Faucons, les Ours, les Loups, les Lynx. c) Je compare $-3$ et $-11$ : deux négatifs, le plus proche de zéro est le plus grand. $-3>$$-11$. Réponse : les Loups passent devant les Lynx. ⛔ Le piège : croire que $-11$ est « meilleur » parce que $11$ est plus grand que $3$. Une différence de $-11$, c'est onze buts de plus encaissés que marqués.
11. 11. a) L'unité, de $0$ à $1$, est partagée en cinq : une graduation vaut $1÷5=$$0,2$. b) Je compte les graduations depuis zéro, $0,2$ par $0,2$. K est à trois graduations à gauche de zéro : $3\times 0,2=$$0,6$, donc K a pour abscisse $-0,6$. M est à une graduation à gauche : $-0,2$. L est à deux graduations à droite : $0,4$. N est à quatre graduations à droite : $0,8$. c) L'opposé de $0,4$ est $-0,4$. P est à deux graduations à GAUCHE de zéro, entre K et M. ⛔ Le piège : croire qu'une graduation vaut $0,1$, par habitude. Ici on compte cinq intervalles dans l'unité, pas dix. Réponse : K$(-0,6)$, M$(-0,2)$, L$(0,4)$, N$(0,8)$ et P$(-0,4)$.
12. 12. L'opposé : je change le signe. La distance à zéro : je garde le nombre sans son signe. Ligne 1 : l'opposé de $-4,2$ est $4,2$ ; sa distance à zéro est $4,2$. Ligne 2 : l'opposé de $15$ est $-15$ ; sa distance à zéro est $15$. Ligne 3 : le nombre dont l'opposé est $-8$, c'est $8$ ; sa distance à zéro est $8$. Ligne 4 : deux nombres sont à $6$ unités de zéro : $6$ et $-6$. Si le nombre est $6$, son opposé est $-6$ ; si c'est $-6$, son opposé est $6$. ⛔ Le piège : confondre l'opposé et la distance à zéro. L'opposé de $-4,2$ et sa distance à zéro valent tous les deux $4,2$ ; mais pour $15$, l'opposé est $-15$ et la distance $15$. ⭐ Deux nombres opposés ont toujours la même distance à zéro.
13. 13. a) Vrai. $-12$ est plus loin de zéro que $-10$, à gauche : il est plus petit. b) Vrai. Un négatif est à gauche de zéro, un positif à droite : le positif est toujours plus à droite. c) Faux. Contre-exemple : l'opposé de $-4$ est $4$, qui est positif. d) Faux. Contre-exemple : $5$ et $-5$ sont tous les deux à $5$ unités de zéro, mais ils ne sont pas égaux : ils sont opposés. ⛔ Le piège du c) : croire que « opposé » veut dire « négatif ». L'opposé change le côté, dans un sens comme dans l'autre. Réponse : a) vrai ; b) vrai ; c) faux ; d) faux.
14. 14. a) Avant J.-C. : négatif. Les Jeux olympiques : $-776$. Alésia : $-52$. Après J.-C. : positif. Fin de l'Empire romain d'Occident : $476$. Charlemagne : $800$. b) Le plus ancien est le plus à gauche sur la frise, c'est-à-dire le plus petit nombre. Entre $-776$ et $-52$ : $-776$ est plus loin de zéro, il est plus petit. Les Jeux olympiques sont donc plus anciens qu'Alésia. $-776<-52<476<$$800$. c) Je compare les distances à zéro : $776$ ; $52$ ; $476$ ; $800$. La plus petite est $52$. ⛔ Le piège : ranger Alésia avant les Jeux olympiques parce que $52<$$776$. Avant J.-C., plus le nombre est grand, plus c'est ANCIEN. Réponse : b) les Jeux olympiques, Alésia, la fin de l'Empire romain, Charlemagne ; c) la bataille d'Alésia.
15. 15. Ce sont cinq négatifs. Le plus grand est le plus proche de zéro : je compare leurs distances à zéro. Les distances : $3,05$ ; $3,5$ ; $3$ ; $3,45$ ; $3,4$. Je les range de la plus petite à la plus grande : $3<3,05<3,4<3,45<$$3,5$. Pour comparer $3,05$ et $3,5$, j'écris $3,50$ : $5$ centièmes contre $50$ centièmes. La plus petite distance donne le plus grand nombre. ⛔ Le piège : croire que $-3,05$ est plus petit que $-3,5$ parce qu'il « a plus de chiffres ». $-3,05$ est plus proche de zéro : il est plus grand. Réponse : $-3>-3,05>-3,4>-3,45>$$-3,5$.
16. 16. a) Je place $-4,5$ et $2,3$ sur une droite graduée, puis je relève les entiers qui sont entre les deux. $-4,5$ est entre $-5$ et $-4$ : le premier entier à sa droite est $-4$. $2,3$ est entre $2$ et $3$ : le dernier entier à sa gauche est $2$. Les entiers : $-4$ ; $-3$ ; $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$. b) Il y en a $7$. c) Entre $-1$ et $-0,9$, j'écris les deux nombres avec deux chiffres après la virgule : $-1,00$ et $-0,90$. Le nombre $-0,95$ convient, et il y en a bien d'autres. ⛔ Le piège : oublier $0$, ou commencer à $-5$. $-5$ est plus petit que $-4,5$ : il est en dehors.
17. 17. Le tournoi de golf a) Le plus petit score gagne : je range dans l'ordre croissant. $-6<-4<-1<0<$$+2$ : Emma, Anna, Chloé, Daria, Bérénice. b) Le nombre de coups prévu, c'est un score de $0$ : c'est Daria. c) La plus proche du par a la plus petite distance à zéro, sans compter Daria : Emma $6$, Anna $4$, Chloé $1$, Bérénice $2$. C'est Chloé. d) L'opposé de $+2$ est $-2$. Or $-4<-2<$$-1$ : Farah se glisse entre Anna et Chloé, à la troisième place. ⛔ Le piège du c) : répondre Bérénice parce que $+2$ est « le plus petit nombre sans moins ». On compare les distances à zéro : $1$ est plus petit que $2$.

    joueuse	score	écart au par
    1. Emma	−6	6
    2. Anna	−4	4
    3. Farah	−2	2
    4. Chloé	−1	1
    5. Daria	0	0
    6. Bérénice	+2	2

18. 18. L'ascenseur a) Je compte les étages un par un sur l'axe, sans oublier le rez-de-chaussée. Départ : $-2$. Six étages vers le haut : $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$. Après la montée, Samir est au quatrième étage, l'étage $4$. Sept étages vers le bas depuis $4$ : $3$, $2$, $1$, $0$, $-1$, $-2$, $-3$. À la fin, il est au troisième sous-sol, l'étage $-3$. b) L'opposé de $-2$ est $2$ : Inès habite au deuxième étage. c) Samir est à $3$ étages du rez-de-chaussée, Inès à $2$ étages. Samir est le plus loin. ⛔ Le piège : oublier le rez-de-chaussée en comptant, et arriver au troisième étage au lieu du quatrième. L'étage $0$ est un étage comme les autres.
19. 19. Le nombre mystère a) Négatif, avec une distance à zéro entre $3$ et $4$ : je suis entre $-4$ et $-3$, sans être ni l'un ni l'autre. Avec un seul chiffre après la virgule : $-3,9$ ; $-3,8$ ; $-3,7$ ; $-3,6$ ; $-3,5$ ; $-3,4$ ; $-3,3$ ; $-3,2$ ; $-3,1$. b) Plus grand que $-3,3$ : plus à droite que $-3,3$ sur la droite graduée, donc plus proche de zéro. Il reste $-3,2$ et $-3,1$. ($-3,3$ lui-même n'est pas plus grand que $-3,3$.) c) Le chiffre des dixièmes de $-3,2$ est $2$, pair ; celui de $-3,1$ est $1$, impair. Réponse : je suis $-3,2$. ⛔ Le piège : garder $-3,4$ au b) parce que « $4$ est plus grand que $3$ ». Pour des négatifs, plus grand veut dire plus proche de zéro.
20. 20. La coupe d'une île a) Au-dessus de la mer : positif ; au-dessous : négatif. Sommet $+320$ m ; phare $+35$ m ; plage $0$ m ; récif $-8$ m ; épave $-45$ m. b) De la plus basse à la plus haute, c'est l'ordre croissant : $-45<-8<0<35<$$320$. c) Léo compare les distances à zéro, pas les nombres. L'épave, à $45$ m sous la mer, est plus BAS que le récif : $-45<$$-8$. Pour des négatifs, le plus loin de zéro est le plus petit. d) Elle descend de $35$ m sous la mer : son altitude est $-35$ m, l'opposé de celle du phare. $-35<$$-8$ : elle est plus bas que le récif. $-35>$$-45$ : elle est moins bas que l'épave. ⭐ Contrôle sur l'axe : la plongeuse est entre le récif et l'épave.