Les nombres relatifs
Un nombre relatif sert à repérer un chaud/froid, un dessus/dessous, un gagné/perdu. Tout tient sur une droite : un signe et une distance à zéro.
À quoi ça sert ?
À La Réunion, on lit des relatifs partout : −3 °C au sommet du volcan un matin d'hiver, +28 °C sur la plage l'après-midi. Aussi : l'altitude au-dessus/au-dessous du niveau de la mer, l'argent gagné (+) ou dépensé (−).
Un peu d'histoire
Les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés : au XVIᵉ siècle en Europe, on les appelait encore « nombres absurdes ». Ce sont les marchands et les comptables (des dettes = du négatif) qui les ont imposés.
Définition
Un nombre relatif est un nombre qui porte un signe : il peut être positif (à droite de 0), négatif (à gauche de 0) ou nul. On l'écrit avec + ou − devant. Le 0 n'est ni positif ni négatif : c'est la frontière entre les deux.
Propriétés
Le signe
Au-dessus / à droite de 0 → positif (+). En dessous / à gauche de 0 → négatif (−).
Comparer
Le plus grand est le plus à droite. Un positif est toujours plus grand qu'un négatif.
L'opposé
On change seulement le signe : l'opposé de −5 est +5. Ils sont symétriques par rapport à 0.
La valeur absolue
C'est la distance à 0, donc toujours positive : la valeur absolue de −5 comme de +5 vaut 5.
1. Je repère le signe
+ ou − : le nombre est-il à droite ou à gauche de 0 ?
2. Je mesure la distance à 0
C'est sa valeur absolue : de combien d'unités je m'éloigne de 0.
3. Je place / je compare
Sur la droite graduée : le plus à droite est le plus grand.
Selon ce que l'on cherche
Température
Au-dessus de 0 : positif. En dessous : négatif (−3 °C).
Altitude / niveau
Au-dessus de la mer : positif. En dessous : négatif.
Argent
On reçoit : +. On dépense ou on doit : −.
Exemples corrigés
Lire un relatif
Au volcan, il fait 3 °C en dessous de zéro.
Comment écrit-on cette température ?
« En dessous de zéro » → le nombre est négatif. On met le signe − : la température est −3 °C.
Comparer deux relatifs
Au Maïdo, il fait −1 °C le matin et +6 °C l'après-midi.
Quelle température est la plus grande ?
Sur la droite, +6 est plus à droite que −1. Un positif est toujours plus grand qu'un négatif : +6 °C > −1 °C.
Placer un point
Une droite graduée de −5 à +5.
Où se trouve le point A d'abscisse −3 ?
On part de 0 et on va vers la gauche (car −3 est négatif) de 3 unités. Le point A est à l'abscisse −3.
L'opposé
Le nombre −7.
Quel est l'opposé de −7 ?
L'opposé garde la même distance à 0 mais change de côté : l'opposé de −7 est +7. Les deux sont à 7 unités de 0.
La distance à 0 (valeur absolue)
Le nombre −5.
Quelle est sa valeur absolue ?
La valeur absolue, c'est la distance à 0. De −5 à 0, il y a 5 unités. La valeur absolue de −5 est donc 5.
Pièges à éviter
- Croire que −7 est plus grand que −4 : plus le nombre est loin de 0 côté négatif, plus il est PETIT.
- Oublier le signe − : « 3 en dessous de zéro » s'écrit −3, pas 3.
- Confondre l'opposé et la valeur absolue : l'opposé de −5 est +5, mais la valeur absolue de −5 est 5 (une distance, donc toujours positive).
À retenir
- Un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à 0 (sa valeur absolue).
- Sur la droite graduée : les positifs à droite de 0, les négatifs à gauche ; le plus à droite est le plus grand.
- Deux nombres opposés (−5 et +5) sont de part et d'autre de 0, à la même distance.
Je m'entraîne
1. Écris avec son signe : 7 en dessous de zéro.
Voir la correction
En dessous de zéro → nombre négatif → on met le signe −. Réponse : −7.
2. Complète avec > ou < : −4 … −7.
Voir la correction
Parmi deux négatifs, le plus proche de 0 est le plus grand. −4 est plus proche de 0 que −7, donc −4 > −7.
3. Quel est l'opposé de +4 ? Et sa valeur absolue ?
Voir la correction
L'opposé de +4 est −4 (même distance à 0, autre côté). La valeur absolue de +4 est 4 (la distance à 0).
4. Au sommet, il fait −2 °C. La température monte de 5 degrés, puis redescend de 3 degrés. Quelle est la température finale ?
Voir la correction
On part de −2. On ajoute 5 : −2 + 5 = +3. On enlève 3 : +3 − 3 = 0. La température finale est 0 °C.
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