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Maths5eFiche d'exercices
Les opérations sur les nombres relatifs : 20 exercices corrigésmaths 5e — du geste seul au problème de contrôle
Vingt exercices, du geste seul au problème : additionner deux relatifs, soustraire en ajoutant l'opposé, enlever les parenthèses, calculer une suite d'additions et de soustractions. Un congélateur, un lac de barrage, la frise de Rome à Alésia, les fuseaux horaires, une grotte, un jeu de cartes, une pyramide et un carré magique. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et les sauts dessinés sur la droite graduée.
Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1
Une règle par exercice. Je regarde les signes avant d'écrire le moindre chiffre.
Rappel de cours
- Sur la droite graduée, ajouter un positif fait avancer vers la droite ; ajouter un négatif fait reculer vers la gauche.
- Mêmes signes : j'additionne les distances à zéro et je garde le signe.
- Signes contraires : je soustrais les distances à zéro et je garde le signe du nombre le plus loin de zéro.
- Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : . Seul le nombre qu'on enlève change de signe.
1
Calcule. a) b) c) d)Voir la correction
Je regarde d'abord les signes, puis les distances à zéro. a) Deux négatifs : mêmes signes. J'additionne les distances, , et je garde le signe moins : . b) Signes contraires : je soustrais les distances, . Le plus loin de zéro est , je garde son signe : . c) Signes contraires : , et est le plus loin de zéro : . d) Deux négatifs : , donc . ⛔ Le piège : au b), écrire en additionnant les distances. Quand les signes sont contraires, les deux nombres se compensent : je soustrais. Réponse : a) ; b) ; c) ; d) .2
Sur cette droite graduée, je pars de et je fais le saut dessiné. a) Compte la longueur du saut et regarde son sens. Écris l'addition que montre le dessin. b) Calcule-la, et vérifie sur le dessin l'abscisse du point A. c) Quel saut faut-il faire depuis A pour revenir au départ ?Voir la correction
a) Je compte les graduations entre le départ et A : unités, vers la GAUCHE. Reculer, c'est ajouter un négatif : j'ajoute . L'addition est . b) Signes contraires : , et est le plus loin de zéro. . Sur le dessin, A est bien à unités à gauche de zéro. c) Pour revenir, je fais le même saut dans l'autre sens : unités vers la droite, c'est ajouter . . ⛔ Le piège : lire seulement la longueur du saut et écrire . Un saut vers la gauche est un nombre NÉGATIF. Réponse : a) ; b) A a pour abscisse ; c) un saut de .3
Écris chaque soustraction comme une addition, puis calcule. a) b) c) d)Voir la correction
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Je change le signe du nombre qu'on enlève, et seulement de lui. a) : signes contraires, , et est le plus loin de zéro. b) : deux négatifs, j'additionne les distances. c) : l'opposé de est . d) . ⛔ Le piège : au c), écrire . Enlever , c'est AJOUTER : deux signes moins qui se suivent font plus. Réponse : a) ; b) ; c) ; d) .je lis j'écris résultat 5 − 11 5 + (−11) −6 −7 − 6 −7 + (−6) −13 −8 − (−3) −8 + 3 −5 2 − (−6,5) 2 + 6,5 8,5 4
Trouve le nombre qui manque. a) b) c) d)Voir la correction
Je cherche de combien il faut se déplacer sur la droite graduée, et dans quel sens. a) Pour aller de à , j'avance de vers la droite : . Le nombre qui manque est l'opposé de . b) De à , je recule de : j'ajoute . . c) Ajouter fait reculer de et arriver à : le départ est unités à droite de , en . . d) De à : unités jusqu'à zéro, puis de plus, soit vers la droite. . ⛔ Le piège : au b), répondre parce que « de à , il y a ». On RECULE : le nombre ajouté est négatif. Réponse : a) ; b) ; c) ; d) .5
Un congélateur est réglé à °C et un réfrigérateur à °C. a) Quel est l'écart de température entre les deux appareils ? b) On sort un glaçon du congélateur. Il fond quand sa température atteint °C. De combien de degrés sa température a-t-elle monté ?Voir la correction
Un écart se calcule toujours : la température la plus haute moins la plus basse. a) . Sur l'axe : de à , il y a degrés, puis de à , encore . En tout, . b) De à : . ⛔ Le piège : calculer . Le congélateur est SOUS zéro : il faut remonter jusqu'à zéro, puis continuer jusqu'à . Réponse : a) l'écart est de °C ; b) sa température a monté de °C.6
Calcule de gauche à droite.Voir la correction
Sans parenthèses, je calcule de gauche à droite, un déplacement à la fois. : signes contraires, , et est le plus loin de zéro. : je recule de depuis , je passe sous zéro. : je remonte de , sans atteindre zéro. ⛔ Le piège : oublier le signe de et commencer par . Chaque nombre garde le signe écrit juste devant lui. Réponse : .7
Calcule astucieusement .Voir la correction
Dans une somme, je peux changer l'ordre des termes. Je cherche d'abord deux nombres opposés. et sont opposés : . Ils s'annulent. Il reste . , puis . ⭐ Contrôle de gauche à droite : , , , . Même résultat, avec plus d'étapes. ⛔ Le piège : voir « » deux fois et écrire . Un nombre et son opposé ne s'ajoutent pas : ils s'annulent. Réponse : .étape calcul les opposés 17 + (−17) = 0 le reste −6 + 9 + (−4) = −1 B −1 8
Calcule. a) b) c) d)Voir la correction
Les règles sont les mêmes avec des décimaux : je regarde les signes, puis les distances à zéro. a) Signes contraires : , et est le plus loin de zéro. . b) : deux négatifs, . c) : signes contraires, , et l'emporte. d) : deux nombres opposés. ⛔ Le piège : au c), écrire en oubliant le signe. On enlève plus qu'on n'a : on passe sous zéro. Réponse : a) ; b) ; c) ; d) .
Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2
Plusieurs étapes. Je réécris le calcul à chaque étape, et je termine par une phrase.
Rappel de cours
- Deux signes qui se suivent : pareils, ils font plus ; différents, ils font moins.
- Sans parenthèses, une suite d'additions et de soustractions se calcule de gauche à droite.
- Un écart, une durée : la plus grande valeur moins la plus petite. Le résultat n'est jamais négatif.
9
Calcule .Voir la correction
D'abord, j'enlève les parenthèses. Deux signes qui se suivent : pareils, ils font plus ; différents, ils font moins. devient ; devient ; devient . . Puis de gauche à droite : , puis , puis . ⛔ Le piège : recopier en . Enlever , c'est ajouter . Réponse : .étape ce que j'écris énoncé 3 − (−7) + (−12) − (+4) sans ( ) 3 + 7 − 12 − 4 étape 1 10 − 12 − 4 étape 2 −2 − 4 résultat −6 10
Trois élèves se sont trompés. Trouve l'erreur de chacun, puis corrige. a) Noé écrit : . b) Lina écrit : . c) Yanis écrit : .Voir la correction
a) Noé a additionné les distances, , alors que les signes sont contraires. Il faut les soustraire : , et est le plus loin de zéro. . b) Lina a calculé . Or je pars de et je recule encore de : . c) Yanis a lu . Mais on enlève : c'est ajouter . . ⭐ Un contrôle rapide au b) : on recule depuis , le résultat doit être à gauche de . Le nombre ne peut pas convenir. Réponse : a) ; b) ; c) .11
Le niveau d'un lac de barrage est mesuré par rapport à son niveau normal, noté . Le 1er juin, il est exactement au niveau normal. Le tableau donne la variation du niveau pendant chaque mois de l'été (chiffres d'un modèle). a) Quel est le niveau à la fin de juillet ? b) Quel est le niveau à la fin de septembre ? c) À la fin de quel mois le lac était-il le plus bas ? d) De combien le niveau doit-il encore monter pour revenir au niveau normal ?mois variation (m) juin +0,4 juil. −1,3 août −0,9 sept. +0,6 Voir la correction
Je pars de et j'ajoute les variations une à une : une hausse est positive, une baisse négative. Fin juin : . a) Fin juillet : . Le lac est à m sous son niveau normal. Fin août : . b) Fin septembre : . c) Le plus bas est : c'est à la fin du mois d'août. d) Pour aller de à : . Il doit encore monter de m. ⛔ Le piège du b) : additionner les distances sans les signes, . Une baisse et une hausse se compensent. Réponse : a) m ; b) m ; c) fin août ; d) m.12
Voici trois dates de l'histoire antique. Selon la légende, Rome est fondée en av. J.-C. Hannibal traverse les Alpes avec ses éléphants en av. J.-C. Jules César remporte la bataille d'Alésia en av. J.-C. a) Écris ces trois dates avec des nombres relatifs. b) Combien d'années séparent la fondation de Rome et le passage d'Hannibal ? c) Combien d'années séparent le passage d'Hannibal et Alésia ? d) Vérifie tes deux réponses avec la durée entre la fondation de Rome et Alésia.Voir la correction
a) Avant J.-C., les dates sont négatives : Rome , Hannibal , Alésia . b) Une durée, c'est la date la plus récente moins la plus ancienne : . Il s'est passé ans. c) . Il s'est passé ans. d) , et : les deux calculs sont d'accord. ⛔ Le piège : calculer . On n'enlève pas , on enlève : c'est ajouter . Et une durée n'est jamais négative. Réponse : b) ans ; c) ans ; d) ans.13
Dans cette pyramide, chaque brique est la somme des deux briques posées juste en dessous d'elle. Complète-la.Voir la correction
Je commence par la brique du bas qui manque : au-dessus d'elle et de , il y a . Je cherche le nombre qui, ajouté à , donne : . Contrôle : . Deuxième rangée en partant du bas : à gauche, et à droite. Rangée suivante : et . Le sommet : . ⛔ Le piège : écrire en bas, parce que « et font ». Je vérifie toujours : , pas . Réponse : en bas, ; puis et ; puis et ; au sommet, .14
Dans cette table d'addition, chaque case est la somme du nombre de sa ligne et du nombre de sa colonne. Complète-la : commence par les deux nombres qui manquent au bord.+ −4 … −6 … −9 … 3 … 1,5 … … Voir la correction
Les bords d'abord. Dans la ligne de , la case : je cherche le nombre qui, ajouté à , donne . . La colonne qui manque est . Dans la colonne de , la case : . La ligne qui manque est . Ligne : ; . Ligne : ; . Ligne : ; . ⛔ Le piège : trouver le bord qui manque en calculant . Je cherche ce qu'on AJOUTE à : c'est , soit . Contrôle : . Réponse : la colonne , la ligne , et les six cases calculées ci-dessus.15
Écris chaque phrase par un calcul, puis calcule. a) La somme de et de . b) La différence de et de . c) J'ajoute à l'opposé de . d) Je soustrais à .Voir la correction
a) Une somme : j'ajoute. : signes contraires, , et l'emporte. b) « La différence de et de », c'est le premier moins le second, dans cet ordre : . c) L'opposé de est . J'y ajoute : . d) Je pars de et j'enlève : . ⛔ Le piège du d) : écrire . « Soustraire à », c'est partir de et enlever . Réponse : a) ; b) ; c) ; d) .la phrase le calcul résultat somme −7 + 4,5 −2,5 différence −3 − (−10) 7 opposé −5 + (−8) −13 soustraire −2,5 − 6 −8,5 16
Sans calculer, dis si le résultat est positif, négatif ou nul. Calcule ensuite pour vérifier. a) b) c) d)Voir la correction
J'écris d'abord une addition, puis je regarde quel nombre est le plus loin de zéro : c'est lui qui donne le signe. a) est plus loin de zéro que : le résultat est négatif. . b) : l'emporte, le résultat est négatif. . c) : l'emporte, le résultat est positif. . d) et sont opposés : le résultat est nul. . ⛔ Le piège du c) : « il y a des moins partout, donc c'est négatif ». Enlever un négatif fait AVANCER vers la droite. Réponse : a) négatif, ; b) négatif, ; c) positif, ; d) nul, .calcul loin de 0 résultat −47 + 29 −47 −18 38 + (−52) −52 −14 −16 + 21 21 5 −8,4 + 8,4 opposés 0
Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3
Une situation, plusieurs questions qui s'enchaînent. Je donne un signe à chaque donnée, puis je réponds par une phrase.
Rappel de cours
- Une hausse, une montée, un gain sont positifs ; une baisse, une descente, une perte sont négatives.
- Un écart entre deux valeurs : la plus grande moins la plus petite.
- Je contrôle mon résultat sur un dessin : la droite graduée ou l'axe vertical.
17Les fuseaux horaires
En hiver, l'heure légale de Paris est en avance d'une heure sur le temps universel : on note . Celle de New York est en retard de heures : . Celle de Tokyo est en avance de heures : . a) Calcule . Que signifie ce résultat pour un habitant de New York ? b) Quel est le décalage horaire entre Tokyo et New York ? c) Quand il est h à Paris, quelle heure est-il à Tokyo ? d) Un avion quitte Paris à h, heure de Paris. Le vol dure h. Quelle heure est-il à New York quand il atterrit ?Voir la correction
a) . New York a heures de RETARD sur Paris : quand il est midi à Paris, il est h du matin à New York. b) Tokyo moins New York : . Tokyo a heures d'avance sur New York. c) Tokyo moins Paris : heures d'avance. : c'est plus que h, on passe au lendemain. : il est h du matin à Tokyo, le lendemain. d) À l'arrivée, il est h à Paris. New York a heures de retard : . Il est h, midi, à New York. ⛔ Le piège du b) : calculer . New York est à , pas à : entre les deux, il faut passer par zéro. Réponse : a) ; b) heures ; c) h du matin, le lendemain ; d) midi.18La grotte
Une spéléologue prend l'entrée d'une grotte comme repère : l'altitude . Elle descend un puits de m, remonte de m le long d'une galerie, puis redescend de m jusqu'à une rivière souterraine (chiffres d'un modèle). a) Écris le calcul de son altitude finale avec des nombres relatifs, puis calcule-la étape par étape. b) Une deuxième équipe l'attend à l'altitude m. Combien de mètres les séparent ? c) De combien de mètres doit-elle remonter pour ressortir de la grotte ?Voir la correction
a) Descendre, c'est ajouter un négatif ; remonter, un positif : . Après le puits : . Après la galerie : . À la rivière : . Elle est à m. b) L'écart, c'est la plus haute moins la plus basse : . Elles sont à m l'une de l'autre. c) De à : . Elle doit remonter de m. ⭐ Contrôle : elle est descendue de m et remontée de m, et . ⛔ Le piège du b) : calculer . On enlève , pas ; et une distance n'est jamais négative. Réponse : a) m ; b) m ; c) m.19Le carré magique
Dans un carré magique, les sommes de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales sont toutes égales : c'est la somme magique. a) Calcule la somme de la diagonale déjà complète. C'est la somme magique. b) Complète le carré. Explique dans quel ordre tu remplis les cases. c) On ajoute à chacune des neuf cases. Le carré est-il encore magique ? Quelle est sa nouvelle somme magique ?Voir la correction
a) La diagonale complète : . La somme magique est . b) Je remplis d'abord une case qui est seule à manquer dans sa ligne ou sa colonne. Ligne du haut : . Pour revenir à , il manque l'opposé de , soit . Contrôle : . Ligne du bas : , il manque . Contrôle : . Colonne de gauche : , il manque . Ligne du milieu : , il manque . Derniers contrôles : la colonne de droite, ; l'autre diagonale, . c) Chaque ligne a trois cases : sa somme change de . C'est pareil pour chaque colonne et chaque diagonale : toutes les sommes valent . Le carré reste magique. ⛔ Le piège du c) : croire que la somme change de seulement. Chaque ligne reçoit trois fois. Réponse : a) ; c) oui, la nouvelle somme magique est .20La bataille des cartes
Dans un jeu, chaque carte porte un nombre relatif. Le score d'un joueur est la somme de ses cartes, et le plus grand score gagne. Tom a tiré , et . Inès a tiré , et . a) Calcule le score de chacun. b) Qui mène ? Avec combien de points d'avance ? c) Tom a le droit de tirer une quatrième carte. Les cartes vont de à , de en . Quelles cartes lui font gagner la partie ? Donne la plus petite.Voir la correction
a) Tom : , puis . Inès : , puis . b) est plus proche de zéro que : . Inès mène. Son avance : . Elle a point d'avance. c) Avec une carte de , Tom arrive à : égalité, il ne gagne pas encore. Il lui faut une carte plus grande que . La plus petite est : , et est plus grand que . Toutes les cartes de à le font gagner. ⛔ Le piège du b) : croire que Tom mène parce que est plus grand que . Chez les négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro. Réponse : a) Tom , Inès ; b) Inès, avec point d'avance ; c) les cartes de à , la plus petite est .