Les opérations sur les nombres relatifscours et exercices corrigés de maths 5e
Additionner ou soustraire des relatifs, c'est se déplacer sur la droite graduée : ajouter fait avancer vers la droite, enlever fait reculer vers la gauche.
Les opérations sur les nombres relatifs : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.À quoi ça sert : les opérations sur les nombres relatifs
On calcule avec des relatifs dès qu'il y a un dessus et un dessous : la température qui baisse la nuit au Piton des Neiges, un plongeur qui remonte puis redescend le long du tombant, un solde bancaire à découvert, des points perdus puis gagnés dans un jeu.
Un peu d'histoire : les opérations sur les nombres relatifs
En Chine, il y a plus de 2 000 ans, on calculait déjà avec des bâtonnets rouges pour les dettes et noirs pour les avoirs. En Inde, vers 628, Brahmagupta écrit le premier les règles de signes : « une dette retranchée d'une dette devient un avoir ». En Europe, on s'en méfiera encore mille ans — on les appelait des « nombres absurdes ».
Définition : les opérations sur les nombres relatifs
Additionner un nombre relatif, c'est se déplacer sur la droite graduée : vers la droite si on ajoute un positif, vers la gauche si on ajoute un négatif. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé — donc se déplacer dans l'autre sens.
Propriétés : les opérations sur les nombres relatifs
Mêmes signes
Deux pertes s'ajoutent : tu perds 4 points, puis encore 3, tu es à −7. J'additionne les distances à 0 et je garde le signe.
Signes différents
Tu marques 7 points puis tu en perds 10 : tu tombes à −3. Je soustrais les distances à 0 et je garde le signe du plus loin de 0.
Soustraire, c'est ajouter l'opposé
On t'enlève un malus de 3 points : ton score monte. 4 − (−3) = 4 + 3 = 7. Deux signes − qui se suivent font +.
Un nombre et son opposé
Tu perds 6 vies puis tu en regagnes 6 : te voilà revenu au départ. −6 + 6 = 0, et a + 0 = a.
La formule : les opérations sur les nombres relatifs
Enlever un nombre relatif
a − (−b) = a + b
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé. Les deux signes − qui se suivent deviennent un +.
Méthode : les opérations sur les nombres relatifs
1. Je transforme
J'enlève les parenthèses : − (−3) devient + 3, + (−3) devient − 3.
| On lit | On écrit |
|---|---|
| + (+3) | + 3 |
| + (−3) | − 3 |
| − (+3) | − 3 |
| − (−3) | + 3 |
2. Je regarde les signes
Mêmes signes : j'additionne les distances. Signes différents : je les soustrais.
−5 et −2 : mêmes signes, on ajoute
−5 et +2 : signes différents, on retire
3. Je vérifie sur la droite
Je pars du premier nombre et je me déplace : le résultat doit tomber du bon côté de 0.
−4 + 3 = −1 : on remonte, mais pas jusqu'à 0
Selon ce que l'on cherche : les opérations sur les nombres relatifs
Une baisse → j'ajoute un négatif
« Il fait −2 °C et la température perd 3 °C » : −2 + (−3) = −5 °C.
Une hausse → j'ajoute un positif
« Le compte est à −8 € et on verse 5 € » : −8 + 5 = −3 €.
Un écart → je soustrais
« De combien remonte-t-on de −6 m à −1 m ? » : −1 − (−6) = −1 + 6 = 5 m.
Exemples corrigés : les opérations sur les nombres relatifs
Deux nombres de même signe
−4 + (−3).
Combien font −4 + (−3) ?
Les deux sont négatifs : j'additionne les distances à 0 (4 + 3 = 7) et je garde le signe −. Résultat : −7. Sur la droite, je pars de −4 et je recule encore de 3.
Deux nombres de signes différents
7 + (−10).
Combien font 7 + (−10) ?
Les signes sont différents : je soustrais les distances à 0 (10 − 7 = 3). Le plus loin de 0 est −10, donc le résultat est négatif. Résultat : −3.
Enlever un nombre négatif
4 − (−3).
Combien font 4 − (−3) ?
Soustraire −3, c'est ajouter son opposé : 4 − (−3) = 4 + 3 = 7. Enlever une dette, c'est gagner de l'argent.
Un calcul à plusieurs étapes
−2 + 5 − 3.
Combien font −2 + 5 − 3 ?
Je calcule de gauche à droite. −2 + 5 = 3, puis 3 − 3 = 0. Résultat : 0. Sur la droite : j'avance de 5, puis je recule de 3, et je retombe sur 0.
Un problème (le plongeur)
À La Réunion, un plongeur est à −6 m. Il remonte de 2 m, puis redescend de 5 m.
À quelle profondeur se trouve-t-il ?
Remonter, c'est ajouter ; redescendre, c'est soustraire : −6 + 2 − 5. D'abord −6 + 2 = −4, puis −4 − 5 = −9. Il est à −9 m, donc à 9 mètres sous la surface.
Pièges à éviter : les opérations sur les nombres relatifs
- Additionner les distances à 0 quand les signes sont différents : −5 + 2 ne fait pas −7, mais −3.
- Oublier que deux signes − qui se suivent font + : 4 − (−3) = 4 + 3 = 7, et non 1.
- Changer le signe du résultat au hasard : le résultat garde le signe du nombre le plus loin de 0.
À retenir : les opérations sur les nombres relatifs
- Mêmes signes : j'additionne les distances à 0 et je garde le signe.
- Signes différents : je soustrais les distances à 0 et je garde le signe du plus loin de 0.
- Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : a − (−b) = a + b.
Exercices corrigés : les opérations sur les nombres relatifs
1. Calcule : −4 + (−3).
Voir la correction
Mêmes signes : 4 + 3 = 7, et je garde le signe −. Résultat : −7.
2. Calcule : −5 + 2.
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Signes différents : 5 − 2 = 3. Le plus loin de 0 est −5, donc le résultat est négatif. Résultat : −3.
3. Calcule : −5 − (−2).
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Soustraire −2, c'est ajouter 2 : −5 + 2 = −3. Résultat : −3.
4. Calcule : −4 − 3 + 10.
Voir la correction
De gauche à droite : −4 − 3 = −7, puis −7 + 10 = 3. Résultat : 3.
5. Le matin, la température est de −2 °C. Elle baisse encore de 3 °C pendant la nuit. Quelle est la nouvelle température ?
Voir la correction
Baisser, c'est ajouter un négatif : −2 + (−3) = −5. La température est de −5 °C.
6. Le défi : trouve un calcul avec deux relatifs dont le résultat est 4.
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Par exemple −2 − (−6) : soustraire −6, c'est ajouter 6, donc −2 + 6 = 4. Sur la droite, je pars de −2 et j'avance de 6.
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