Les volumes : 20 exercices corrigésmaths 5e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème : compter des cubes, même cachés, calculer le volume d'un pavé droit, d'un prisme droit et d'un cylindre (aire de la base × hauteur), additionner les volumes d'un assemblage, passer des cm³ aux litres et aux m³, remonter du volume à une longueur. Un aquarium, une tente, un nichoir, une piscine, une cuve d'eau de pluie, un galet plongé dans l'eau, un gâteau à étages. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et le solide dessiné en perspective, coté.

Relire le cours — Les volumesTélécharger en PDF

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une formule par exercice. Je repère la base et la hauteur du solide, je multiplie, et j'écris l'unité de volume.

Rappel de cours

Un volume mesure la place occupée : le nombre de cubes unités qui remplissent le solide. Il s'écrit en cm³, dm³ ou m³.
Pavé droit : longueur × largeur × hauteur. Prisme droit et cylindre : aire de la base × hauteur.
La base d'un prisme est un polygone (souvent un triangle) ; celle d'un cylindre est un disque, d'aire π × rayon × rayon, avec π ≈ 3,14.
1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, et 1 m³ = 1 000 L.

1
Ce solide est fait de cubes de $1$ cm d'arête, posés les uns sur les autres. Aucun cube ne flotte : sous chaque cube, il y a un autre cube ou la table. a) Combien de cubes y a-t-il ? b) Quel est le volume du solide ?
Voir la correction
Un volume, c'est le nombre de cubes unités qui remplissent le solide. Un cube de $1$ cm d'arête a un volume de $1$ cm³. Je compte pile par pile, en regardant le dessus de chaque pile. Rangée de devant, de gauche à droite : $2$ , $1$ et $1$ cubes, soit $4$ . Rangée de derrière : $3$ , $2$ et $1$ cubes, soit $6$ . En tout : $4 + 6 = 10$ cubes. a) Il y a $10$ cubes. b) Le volume du solide est $10$ cm³. ⛔ Le piège : ne compter que les cubes qu'on voit. Les cubes du bas de la rangée de derrière sont cachés, mais ils portent ceux du dessus : ils comptent. Réponse : $10$ cubes, un volume de $10$ cm³.
2
Ce pavé droit est rempli de cubes de $1$ cm d'arête. a) Combien de cubes y a-t-il dans la couche du bas ? b) Combien y a-t-il de couches ? c) Quel est le volume du pavé ? Retrouve-le avec la formule longueur × largeur × hauteur.
Voir la correction
a) La couche du bas a $4$ cubes en longueur et $3$ cubes en profondeur : $4 \times 3 = 12$ cubes. b) Il y a $3$ couches, l'une sur l'autre. c) $3$ couches de $12$ cubes : $12 \times 3 = 36$ cubes, soit $36$ cm³. Avec la formule : $4 \times 3 \times 3 = 36$ cm³. C'est le même calcul : la longueur fois la largeur compte une couche, la hauteur compte les couches. ⛔ Le piège : ne compter que les faces qu'on voit, devant, dessus et à droite. Le pavé est plein : l'intérieur aussi est fait de cubes. Réponse : $12$ cubes par couche, $3$ couches, un volume de $36$ cm³.
3
Un savon a la forme d'un pavé droit de $8$ cm de long, $5$ cm de large et $2, 5$ cm d'épaisseur. Calcule son volume.
Voir la correction
Le volume d'un pavé droit est longueur × largeur × hauteur : je MULTIPLIE les trois dimensions. $8 \times 5 =$ $40$ : c'est l'aire du dessous, $40$ cm², soit $40$ cubes dans une couche de $1$ cm d'épaisseur. $40 \times 2, 5 = 100$ cm³. ⛔ Le piège : additionner les dimensions, $8 + 5 + 2, 5 =$ $15, 5$ . Une somme de longueurs est encore une longueur, pas un volume. Réponse : le savon a un volume de $100$ cm³.
4
Une cale de porte en bois est un prisme droit. Sa base est un triangle rectangle (en orange) : ses côtés de l'angle droit mesurent $8$ cm et $3$ cm. La cale a une largeur de $4$ cm. Calcule son volume.
Voir la correction
Le volume d'un prisme droit est aire de la base × hauteur du prisme. Ici, la base est le triangle orange, et la « hauteur » du prisme est la largeur de la cale, $4$ cm : la distance entre les deux triangles. L'aire du triangle : $8 \times 3 \div 2 = 24 \div 2 = 12$ cm². Le volume : $12 \times 4 = 48$ cm³. ⛔ Le piège : calculer $8 \times 3 \times 4 = 96$ cm³. C'est le volume du pavé entier ; la cale n'en est que la moitié, coupée en biais. Réponse : la cale a un volume de $48$ cm³.
5
Un pot de peinture a la forme d'un cylindre. L'aire de son fond est $45$ cm², et sa hauteur $12$ cm. Calcule son volume.
Voir la correction
Le volume d'un cylindre se calcule comme celui d'un prisme : aire de la base × hauteur. La base est le disque du fond : son aire est donnée, $45$ cm². $45 \times 12 = 540$ cm³. ⭐ C'est comme empiler $12$ tranches de $1$ cm d'épaisseur, de $45$ cm³ chacune. ⛔ Le piège : chercher un rayon qu'on n'a pas. L'aire de la base est déjà là : il suffit de la multiplier par la hauteur. Réponse : le pot a un volume de $540$ cm³.
6
Complète. a) $3$ L $=$ … dm³ $=$ … cm³ b) $2, 5$ m³ $=$ … L c) $750$ cm³ $=$ … L d) $4500$ L $=$ … m³
Voir la correction
Les trois égalités à connaître : $1$ L $= 1$ dm³ ; $1$ dm³ $= 1000$ cm³ ; $1$ m³ $= 1000$ L. Pourquoi $1000$ ? Un cube de $1$ dm d'arête mesure $10$ cm sur $10$ cm sur $10$ cm : $10 \times 10 \times 10 = 1000$ petits cubes de $1$ cm³. a) $3$ L $= 3$ dm³ $= 3 \times 1000 = 3000$ cm³. b) $2, 5$ m³ $= 2, 5 \times 1000 = 2500$ L. c) $750$ cm³ $= 750 \div 1000 = 0, 75$ L : un peu moins d'un litre, c'est normal. d) $4500$ L $= 4500 \div 1000 = 4, 5$ m³. ⛔ Le piège : multiplier par $10$ ou par $100$ , comme pour les longueurs ou les aires. Pour les volumes, on passe d'une unité à la suivante en multipliant par $1000$ . Réponse : a) $3$ dm³ et $3000$ cm³ ; b) $2500$ L ; c) $0, 75$ L ; d) $4, 5$ m³.
7
Recopie chaque phrase avec la bonne unité : cm, cm² ou cm³. a) Le volume d'un gros dé à jouer : $8$ … b) L'aire d'une carte à jouer : $54$ … c) Le tour d'un timbre : $12$ … d) La contenance d'une tasse : $250$ … e) Le dé du a) est un cube de $2$ cm d'arête. Léo calcule son volume : $2 \times 3 = 6$ cm³. Qu'en penses-tu ?
Voir la correction
Une longueur se mesure en cm, une aire en cm² (des carrés), un volume en cm³ (des cubes). a) Un volume : $8$ cm³. b) Une aire, une surface plate : $54$ cm². c) Le tour, c'est une longueur : $12$ cm. d) Une contenance, c'est un volume : $250$ cm³. e) Léo a multiplié l'arête par $3$ . Il faut multiplier trois longueurs : longueur × largeur × hauteur. $2 \times 2 \times 2 = 8$ cm³ : on retrouve bien les $8$ cm³ du a). Le dessin montre les $8$ petits cubes. ⛔ Le piège : $2 \times$ $3$ . Le « 3 » de cm³ dit qu'on multiplie trois longueurs, pas qu'on multiplie par $3$ . Réponse : a) cm³ ; b) cm² ; c) cm ; d) cm³ ; e) Léo se trompe, le volume est $8$ cm³.
8
Une boîte en forme de pavé droit a un fond rectangulaire de $9$ cm sur $4$ cm. Son volume est $180$ cm³. Quelle est sa hauteur ?
Voir la correction
Volume du pavé = aire du fond × hauteur. Je calcule d'abord l'aire du fond : $9 \times 4 = 36$ cm². Donc $36 \times$ hauteur $=$ $180$ . Je défais la multiplication : $180 \div 36 =$ $5$ . Contrôle : $9 \times 4 \times 5 = 180$ cm³. ⛔ Le piège : diviser par une seule dimension, $180 \div 9 = 20$ cm. Il faut diviser par l'aire du fond, $36$ cm². Réponse : la boîte a une hauteur de $5$ cm.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs questions sur un même solide. Je repère sa base, je calcule son aire, puis le volume, et je convertis à la fin.

Rappel de cours

Prisme droit ou cylindre : je calcule d'abord l'aire de la base, puis je multiplie par la hauteur du solide.
Le rayon est la moitié du diamètre. Aire du disque : π × rayon × rayon.
Un assemblage : j'additionne les volumes des morceaux.
De cm³ à L : je divise par 1 000. De m³ à L : je multiplie par 1 000.

9
Un aquarium a la forme d'un pavé droit : $60$ cm de long, $30$ cm de large et $40$ cm de haut (mesures intérieures). a) Calcule son volume en cm³, puis en litres. b) On le remplit d'eau jusqu'à $5$ cm du bord. Quel volume d'eau contient-il, en litres ? c) On le remplit avec un seau de $9$ L. Combien de seaux faut-il ?
Voir la correction
a) $60 \times 30 \times 40 = 72000$ cm³. Dans $1$ L, il y a $1000$ cm³ : $72000 \div 1000 = 72$ L. b) L'eau forme elle aussi un pavé, de même fond mais moins haut : $40 - 5 = 35$ cm. $60 \times 30 \times 35 = 63000$ cm³, soit $63$ L. c) $63 \div 9 = 7$ seaux. ⛔ Le piège du b) : enlever $5$ L au lieu de $5$ cm de hauteur. Les $5$ cm vides du haut forment une couche de $60 \times 30 \times 5 = 9000$ cm³, soit $9$ L : $72 - 9 = 63$ L, on retombe juste. Réponse : a) $72000$ cm³, soit $72$ L ; b) $63$ L ; c) $7$ seaux.
10
Une boîte de conserve est un cylindre de $8$ cm de diamètre et de $11$ cm de haut. On prend $π \approx$ $3, 14$ . a) Calcule l'aire du fond. b) Calcule le volume de la boîte, puis arrondis-le au cm³. c) La boîte peut-elle contenir un demi-litre de soupe ?
Voir la correction
a) Le fond est un disque. Son rayon est la moitié du diamètre : $8 \div 2 = 4$ cm. Aire d'un disque : $π \times$ rayon $\times$ rayon, soit environ $3, 14 \times 4 \times 4 = 50, 24$ cm². b) Volume = aire du fond × hauteur : $50, 24 \times 11 = 552, 64$ cm³, soit environ $553$ cm³. c) Un demi-litre, c'est $1000 \div 2 = 500$ cm³. Or $553 >$ $500$ : oui, la boîte peut contenir un demi-litre. ⛔ Le piège : prendre le diamètre pour le rayon, $3, 14 \times 8 \times 8 \times 11 = 2210, 56$ cm³. On trouve quatre fois trop : plus de $2$ litres dans une boîte de conserve ! Réponse : a) environ $50, 24$ cm² ; b) environ $553$ cm³ ; c) oui.
11
Une tente a la forme d'un prisme droit couché. Sa base est un triangle (en orange) de $1, 6$ m de large au sol et de $1, 2$ m de haut. La tente mesure $2$ m de long. a) Calcule l'aire du triangle. b) Calcule le volume de la tente en m³, puis en litres. c) Le modèle pour trois personnes a le même triangle, mais il mesure $3$ m de long. Quel est son volume ?
Voir la correction
a) $1, 6 \times 1, 2 \div 2 = 1, 92 \div 2 = 0, 96$ m². b) La base du prisme est le triangle, et la « hauteur » du prisme est la longueur de la tente, $2$ m : la distance entre les deux triangles. $0, 96 \times 2 = 1, 92$ m³. $1$ m³ $= 1000$ L, donc $1, 92$ m³ $= 1920$ L. c) Même base, longueur $3$ m : $0, 96 \times 3 = 2, 88$ m³. ⛔ Le piège : oublier le ÷ 2 du triangle, et trouver $1, 6 \times 1, 2 \times 2 = 3, 84$ m³, le volume d'une boîte deux fois trop grande. Réponse : a) $0, 96$ m² ; b) $1, 92$ m³, soit $1920$ L ; c) $2, 88$ m³.
12
Cet escalier est fait de cubes en bois de $2$ cm d'arête, collés entre eux. Aucun cube ne flotte. a) Combien de cubes y a-t-il ? b) Quel est le volume d'un cube ? c) Quel est le volume de l'escalier ? d) Quelle est la hauteur de l'escalier ?
Voir la correction
a) Je compte pile par pile. Devant : $1 + 2 + 3 = 6$ cubes. Derrière, la même chose : $6$ cubes. En tout : $6 + 6 = 12$ cubes. b) Un cube de $2$ cm d'arête : $2 \times 2 \times 2 = 8$ cm³. c) Le volume d'un assemblage est la somme des volumes de ses morceaux : $12 \times 8 = 96$ cm³. d) La plus haute marche a $3$ cubes : $3 \times 2 = 6$ cm. ⛔ Le piège : compter $1$ cm³ par cube, et répondre $12$ cm³. Un cube de $2$ cm d'arête contient $8$ cubes de $1$ cm. Réponse : $12$ cubes de $8$ cm³, soit $96$ cm³ ; $6$ cm de haut.
13
Un nichoir à oiseaux est formé d'un pavé droit surmonté d'un toit en prisme droit. Vu de face, c'est une « maison » : $24$ cm de large, des murs de $25$ cm, et le haut du toit à $9$ cm au-dessus des murs. Le nichoir mesure $20$ cm de profondeur. a) Calcule le volume de la partie pavé. b) Calcule le volume du toit. c) Déduis-en le volume du nichoir, en cm³ puis en litres.
Voir la correction
a) Le pavé : $24 \times 25 \times 20 = 12000$ cm³. b) Le toit est un prisme droit. Sa base est le triangle de devant, de base $24$ cm et de hauteur $9$ cm ; sa « hauteur » de prisme est la profondeur, $20$ cm. L'aire du triangle : $24 \times 9 \div 2 = 216 \div 2 = 108$ cm². Le volume du toit : $108 \times 20 = 2160$ cm³. c) Le volume d'un assemblage est la somme des volumes : $12000 + 2160 = 14160$ cm³. En litres : $14160 \div 1000 = 14, 16$ L. ⭐ Autre chemin : tout le nichoir est UN prisme, dont la base est la « maison » de devant. Son aire : $600 + 108 = 708$ cm², et $708 \times 20 = 14160$ cm³. Les deux chemins se rejoignent. ⛔ Le piège : oublier le ÷ 2 du toit, et compter un toit de $4320$ cm³. Réponse : $12000$ cm³ ; $2160$ cm³ ; $14160$ cm³, soit $14, 16$ L.
14
Une piscine a la forme d'un pavé droit de $10$ m de long, $4$ m de large et $1, 5$ m de profondeur. a) Calcule son volume en m³. b) Combien de litres d'eau faut-il pour la remplir ? c) Un tuyau d'arrosage débite $15$ L par minute. Combien de minutes faut-il pour la remplir ? Et combien d'heures, environ ?
Voir la correction
a) $10 \times 4 \times 1, 5 = 40 \times 1, 5 = 60$ m³. b) $1$ m³ $= 1000$ L, donc $60$ m³ $= 60000$ L. c) Chaque minute apporte $15$ L : $60000 \div 15 = 4000$ minutes. Une heure a $60$ minutes : $4000 \div 60 \approx 66, 7$ heures, presque trois jours sans s'arrêter. ⛔ Le piège : diviser les m³ par $15$ , $60 \div 15 = 4$ minutes. Le débit est en litres : il faut d'abord convertir les m³ en litres. Réponse : $60$ m³, soit $60000$ L ; $4000$ minutes, environ $67$ heures.
15
Deux vases cylindriques. Le vase A a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $10$ cm. Le vase B a un rayon de $4$ cm et une hauteur de $6$ cm. On prend $π \approx$ $3, 14$ . a) Sans calculer, lequel semble le plus grand ? b) Calcule le volume de chaque vase. c) Lequel contient le plus d'eau ? De combien ?
Voir la correction
a) A est plus haut : on a envie de dire A. Mais B est plus large, et le rayon compte deux fois dans l'aire du fond. b) A : aire du fond $3, 14 \times 3 \times 3 = 28, 26$ cm², volume $28, 26 \times 10 = 282, 6$ cm³. B : aire du fond $3, 14 \times 4 \times 4 = 50, 24$ cm², volume $50, 24 \times 6 = 301, 44$ cm³. c) $301, 44 >$ $282, 6$ : c'est B qui contient le plus, de $301, 44 - 282, 6 = 18, 84$ cm³. ⛔ Le piège : ne regarder que la hauteur. Le rayon est multiplié deux fois (rayon × rayon) : un rayon un peu plus grand pèse lourd. Réponse : B contient environ $301$ cm³, contre $283$ cm³ pour A : environ $19$ cm³ de plus.
16
Une barre de chocolat a la forme d'un prisme droit. Sa base est un triangle de $4$ cm de côté à la base et de $3$ cm de hauteur. Son volume est $126$ cm³. a) Calcule l'aire du triangle. b) Quelle est la longueur de la barre ? c) La barre est partagée en $7$ morceaux identiques. Quel est le volume d'un morceau ? Et sa longueur ?
Voir la correction
a) $4 \times 3 \div 2 = 12 \div 2 = 6$ cm². b) Volume = aire de la base × longueur, donc $6 \times$ longueur $=$ $126$ . Je défais la multiplication : $126 \div 6 = 21$ cm. c) $126 \div 7 = 18$ cm³ par morceau. Chaque morceau garde la même base de $6$ cm² : sa longueur est $18 \div 6 = 3$ cm. Et $21 \div 7 = 3$ cm aussi. ⛔ Le piège du b) : diviser le volume par $4 \times 3 =$ $12$ , en oubliant le ÷ 2. On trouverait $10, 5$ cm, une barre deux fois trop courte. Réponse : a) $6$ cm² ; b) $21$ cm ; c) $18$ cm³ et $3$ cm par morceau.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Une situation, plusieurs questions qui s'enchaînent. Je dessine le solide, je calcule son volume, je convertis, puis je réponds par une phrase.

Rappel de cours

Je repère le solide : pavé, prisme ou cylindre, ou un assemblage de plusieurs.
Je garde la même unité de longueur dans tout le calcul, puis je convertis le volume à la fin.
Un liquide prend la forme de son récipient : le volume d'eau se calcule comme celui d'un solide.

17Le récupérateur d'eau de pluie
Une cuve de récupération d'eau de pluie est un cylindre de $0, 4$ m de rayon et de $1$ m de haut. On prend $π \approx$ $3, 14$ . a) Calcule l'aire du fond de la cuve, en m². b) Calcule le volume de la cuve en m³, puis en litres. c) La cuve contient déjà $100$ L. Un orage y envoie $450$ L. Va-t-elle déborder ? De combien de litres ? d) Une fois la cuve pleine, combien d'arrosoirs de $10$ L peut-on remplir entièrement ?
Voir la correction
a) Aire du disque : $π \times$ rayon $\times$ rayon, soit environ $3, 14 \times 0, 4 \times$ $0, 4$ . Or $0, 4 \times 0, 4 =$ $0, 16$ , donc l'aire vaut environ $3, 14 \times 0, 16 = 0, 5024$ m². b) Volume : $0, 5024 \times 1 = 0, 5024$ m³. Et $1$ m³ $= 1000$ L, donc la cuve contient environ $502, 4$ L. c) $100 + 450 = 550$ L arrivent dans la cuve. Or $550 >$ $502, 4$ : elle déborde, d'environ $550 - 502, 4 = 47, 6$ L. d) $502, 4 \div 10 =$ $50, 24$ : on remplit $50$ arrosoirs entiers, et il reste un fond. ⛔ Le piège : calculer $0, 4 \times 0, 4 =$ $1, 6$ . Des dixièmes fois des dixièmes donnent des centièmes : $0, 16$ . Réponse : a) environ $0, 5024$ m² ; b) environ $0, 5$ m³, soit $502, 4$ L ; c) oui, d'environ $48$ L ; d) $50$ arrosoirs.
18Le galet dans l'aquarium
Pour mesurer le volume d'un galet, Inès le plonge dans un aquarium. Le fond de l'aquarium est un rectangle de $40$ cm sur $25$ cm. Quand le galet est au fond, l'eau monte de $0, 5$ cm. a) Quel est le volume de l'eau « poussée » par le galet ? C'est le volume du galet. b) Écris ce volume en litres. c) Ce galet est en granite : $1$ cm³ de granite pèse environ $2, 7$ g. Quelle est sa masse ? d) Au départ, sans galet, l'eau est à $30$ cm de haut, et l'aquarium mesure $32$ cm de haut. Combien de galets identiques peut-on y plonger en tout sans que l'eau dépasse le bord ?
Voir la correction
a) L'eau qui monte forme une couche en forme de pavé : même fond que l'aquarium, $0, 5$ cm d'épaisseur. $40 \times 25 \times 0, 5 = 1000 \times 0, 5 = 500$ cm³. Le galet a un volume de $500$ cm³. b) $500 \div 1000 = 0, 5$ L : un demi-litre. c) $500 \times 2, 7 = 1350$ g, soit environ $1, 35$ kg. d) Il reste $32 - 30 = 2$ cm avant le bord. Chaque galet fait monter l'eau de $0, 5$ cm : $2 \div 0, 5 = 4$ galets. Avec $4$ galets, l'eau arrive juste au bord ; un cinquième la ferait déborder. ⛔ Le piège : prendre la hauteur de l'eau, $30$ cm, au lieu de la montée, $0, 5$ cm. Seule l'eau poussée mesure le galet. Réponse : a) $500$ cm³ ; b) $0, 5$ L ; c) environ $1, 35$ kg ; d) $4$ galets.
19Le gâteau à deux étages
Un pâtissier prépare un gâteau à deux étages : deux cylindres posés l'un sur l'autre. L'étage du bas a un diamètre de $24$ cm et une hauteur de $8$ cm ; celui du haut, un diamètre de $16$ cm et une hauteur de $6$ cm. On prend $π \approx$ $3, 14$ . a) Calcule le volume de chaque étage, arrondi au cm³. b) Calcule le volume du gâteau, en cm³ puis en litres. c) Le gâteau est coupé en $16$ parts égales. Quel est le volume d'une part, environ ?
Voir la correction
a) Les rayons sont les moitiés des diamètres : $24 \div 2 = 12$ cm et $16 \div 2 = 8$ cm. Étage du bas : aire du fond $3, 14 \times 12 \times 12 = 452, 16$ cm², volume $452, 16 \times 8 = 3617, 28$ cm³, soit environ $3617$ cm³. Étage du haut : aire du fond $3, 14 \times 8 \times 8 = 200, 96$ cm², volume $200, 96 \times 6 = 1205, 76$ cm³, soit environ $1206$ cm³. b) Le volume d'un assemblage est la somme des volumes : $3617, 28 + 1205, 76 = 4823, 04$ cm³, soit environ $4823$ cm³. En litres : $4823 \div 1000 \approx 4, 8$ L. c) $4823 \div 16 \approx 301$ cm³ par part. ⛔ Le piège : calculer avec les diamètres. On trouverait des volumes quatre fois trop grands : près de $20$ L de gâteau ! Réponse : a) environ $3617$ cm³ et $1206$ cm³ ; b) environ $4823$ cm³, soit $4, 8$ L ; c) environ $301$ cm³ par part.
20Doubler l'arête d'un cube
Emma a un cube en bois de $3$ cm d'arête. Elle en fabrique un autre, d'arête deux fois plus longue. a) Calcule le volume du petit cube. b) Calcule le volume du grand cube. c) Emma pensait que le volume serait « deux fois plus grand ». Combien de fois plus grand est-il ? d) Combien de petits cubes faut-il pour construire le grand ? e) Et si l'arête était dix fois plus longue ? Fais le lien avec $1$ dm³ $= 1000$ cm³.
Voir la correction
a) $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm³. b) L'arête du grand cube : $3 \times 2 = 6$ cm. Son volume : $6 \times 6 \times 6 = 216$ cm³. c) $216 \div 27 =$ $8$ : il est $8$ fois plus grand, pas $2$ . d) Le grand cube a $2$ petits cubes en longueur, $2$ en largeur et $2$ en hauteur : $2 \times 2 \times 2 = 8$ petits cubes. Le dessin le montre. e) Dix fois plus long dans les trois directions : $10 \times 10 \times 10 = 1000$ fois plus grand. C'est pour cela qu'un cube de $1$ dm, soit $10$ cm d'arête, contient $1000$ cubes de $1$ cm³. ⛔ Le piège : croire que doubler l'arête double le volume. On double la longueur, ET la largeur, ET la hauteur : $2 \times 2 \times 2 =$ $8$ . Réponse : $27$ cm³ et $216$ cm³, soit $8$ fois plus ; $8$ petits cubes ; $1000$ fois plus pour une arête dix fois plus longue.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : les volumes, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Un volume, c'est le nombre de cubes unités qui remplissent le solide. Un cube de $1$ cm d'arête a un volume de $1$ cm³. Je compte pile par pile, en regardant le dessus de chaque pile. Rangée de devant, de gauche à droite : $2$ , $1$ et $1$ cubes, soit $4$ . Rangée de derrière : $3$ , $2$ et $1$ cubes, soit $6$ . En tout : $4 + 6 = 10$ cubes. a) Il y a $10$ cubes. b) Le volume du solide est $10$ cm³. ⛔ Le piège : ne compter que les cubes qu'on voit. Les cubes du bas de la rangée de derrière sont cachés, mais ils portent ceux du dessus : ils comptent. Réponse : $10$ cubes, un volume de $10$ cm³.
2. a) La couche du bas a $4$ cubes en longueur et $3$ cubes en profondeur : $4 \times 3 = 12$ cubes. b) Il y a $3$ couches, l'une sur l'autre. c) $3$ couches de $12$ cubes : $12 \times 3 = 36$ cubes, soit $36$ cm³. Avec la formule : $4 \times 3 \times 3 = 36$ cm³. C'est le même calcul : la longueur fois la largeur compte une couche, la hauteur compte les couches. ⛔ Le piège : ne compter que les faces qu'on voit, devant, dessus et à droite. Le pavé est plein : l'intérieur aussi est fait de cubes. Réponse : $12$ cubes par couche, $3$ couches, un volume de $36$ cm³.
3. Le volume d'un pavé droit est longueur × largeur × hauteur : je MULTIPLIE les trois dimensions. $8 \times 5 =$ $40$ : c'est l'aire du dessous, $40$ cm², soit $40$ cubes dans une couche de $1$ cm d'épaisseur. $40 \times 2, 5 = 100$ cm³. ⛔ Le piège : additionner les dimensions, $8 + 5 + 2, 5 =$ $15, 5$ . Une somme de longueurs est encore une longueur, pas un volume. Réponse : le savon a un volume de $100$ cm³.
4. Le volume d'un prisme droit est aire de la base × hauteur du prisme. Ici, la base est le triangle orange, et la « hauteur » du prisme est la largeur de la cale, $4$ cm : la distance entre les deux triangles. L'aire du triangle : $8 \times 3 \div 2 = 24 \div 2 = 12$ cm². Le volume : $12 \times 4 = 48$ cm³. ⛔ Le piège : calculer $8 \times 3 \times 4 = 96$ cm³. C'est le volume du pavé entier ; la cale n'en est que la moitié, coupée en biais. Réponse : la cale a un volume de $48$ cm³.
5. Le volume d'un cylindre se calcule comme celui d'un prisme : aire de la base × hauteur. La base est le disque du fond : son aire est donnée, $45$ cm². $45 \times 12 = 540$ cm³. ⭐ C'est comme empiler $12$ tranches de $1$ cm d'épaisseur, de $45$ cm³ chacune. ⛔ Le piège : chercher un rayon qu'on n'a pas. L'aire de la base est déjà là : il suffit de la multiplier par la hauteur. Réponse : le pot a un volume de $540$ cm³.
6. Les trois égalités à connaître : $1$ L $= 1$ dm³ ; $1$ dm³ $= 1000$ cm³ ; $1$ m³ $= 1000$ L. Pourquoi $1000$ ? Un cube de $1$ dm d'arête mesure $10$ cm sur $10$ cm sur $10$ cm : $10 \times 10 \times 10 = 1000$ petits cubes de $1$ cm³. a) $3$ L $= 3$ dm³ $= 3 \times 1000 = 3000$ cm³. b) $2, 5$ m³ $= 2, 5 \times 1000 = 2500$ L. c) $750$ cm³ $= 750 \div 1000 = 0, 75$ L : un peu moins d'un litre, c'est normal. d) $4500$ L $= 4500 \div 1000 = 4, 5$ m³. ⛔ Le piège : multiplier par $10$ ou par $100$ , comme pour les longueurs ou les aires. Pour les volumes, on passe d'une unité à la suivante en multipliant par $1000$ . Réponse : a) $3$ dm³ et $3000$ cm³ ; b) $2500$ L ; c) $0, 75$ L ; d) $4, 5$ m³.
7. Une longueur se mesure en cm, une aire en cm² (des carrés), un volume en cm³ (des cubes). a) Un volume : $8$ cm³. b) Une aire, une surface plate : $54$ cm². c) Le tour, c'est une longueur : $12$ cm. d) Une contenance, c'est un volume : $250$ cm³. e) Léo a multiplié l'arête par $3$ . Il faut multiplier trois longueurs : longueur × largeur × hauteur. $2 \times 2 \times 2 = 8$ cm³ : on retrouve bien les $8$ cm³ du a). Le dessin montre les $8$ petits cubes. ⛔ Le piège : $2 \times$ $3$ . Le « 3 » de cm³ dit qu'on multiplie trois longueurs, pas qu'on multiplie par $3$ . Réponse : a) cm³ ; b) cm² ; c) cm ; d) cm³ ; e) Léo se trompe, le volume est $8$ cm³.
8. Volume du pavé = aire du fond × hauteur. Je calcule d'abord l'aire du fond : $9 \times 4 = 36$ cm². Donc $36 \times$ hauteur $=$ $180$ . Je défais la multiplication : $180 \div 36 =$ $5$ . Contrôle : $9 \times 4 \times 5 = 180$ cm³. ⛔ Le piège : diviser par une seule dimension, $180 \div 9 = 20$ cm. Il faut diviser par l'aire du fond, $36$ cm². Réponse : la boîte a une hauteur de $5$ cm.
9. a) $60 \times 30 \times 40 = 72000$ cm³. Dans $1$ L, il y a $1000$ cm³ : $72000 \div 1000 = 72$ L. b) L'eau forme elle aussi un pavé, de même fond mais moins haut : $40 - 5 = 35$ cm. $60 \times 30 \times 35 = 63000$ cm³, soit $63$ L. c) $63 \div 9 = 7$ seaux. ⛔ Le piège du b) : enlever $5$ L au lieu de $5$ cm de hauteur. Les $5$ cm vides du haut forment une couche de $60 \times 30 \times 5 = 9000$ cm³, soit $9$ L : $72 - 9 = 63$ L, on retombe juste. Réponse : a) $72000$ cm³, soit $72$ L ; b) $63$ L ; c) $7$ seaux.
10. a) Le fond est un disque. Son rayon est la moitié du diamètre : $8 \div 2 = 4$ cm. Aire d'un disque : $π \times$ rayon $\times$ rayon, soit environ $3, 14 \times 4 \times 4 = 50, 24$ cm². b) Volume = aire du fond × hauteur : $50, 24 \times 11 = 552, 64$ cm³, soit environ $553$ cm³. c) Un demi-litre, c'est $1000 \div 2 = 500$ cm³. Or $553 >$ $500$ : oui, la boîte peut contenir un demi-litre. ⛔ Le piège : prendre le diamètre pour le rayon, $3, 14 \times 8 \times 8 \times 11 = 2210, 56$ cm³. On trouve quatre fois trop : plus de $2$ litres dans une boîte de conserve ! Réponse : a) environ $50, 24$ cm² ; b) environ $553$ cm³ ; c) oui.
11. a) $1, 6 \times 1, 2 \div 2 = 1, 92 \div 2 = 0, 96$ m². b) La base du prisme est le triangle, et la « hauteur » du prisme est la longueur de la tente, $2$ m : la distance entre les deux triangles. $0, 96 \times 2 = 1, 92$ m³. $1$ m³ $= 1000$ L, donc $1, 92$ m³ $= 1920$ L. c) Même base, longueur $3$ m : $0, 96 \times 3 = 2, 88$ m³. ⛔ Le piège : oublier le ÷ 2 du triangle, et trouver $1, 6 \times 1, 2 \times 2 = 3, 84$ m³, le volume d'une boîte deux fois trop grande. Réponse : a) $0, 96$ m² ; b) $1, 92$ m³, soit $1920$ L ; c) $2, 88$ m³.
12. a) Je compte pile par pile. Devant : $1 + 2 + 3 = 6$ cubes. Derrière, la même chose : $6$ cubes. En tout : $6 + 6 = 12$ cubes. b) Un cube de $2$ cm d'arête : $2 \times 2 \times 2 = 8$ cm³. c) Le volume d'un assemblage est la somme des volumes de ses morceaux : $12 \times 8 = 96$ cm³. d) La plus haute marche a $3$ cubes : $3 \times 2 = 6$ cm. ⛔ Le piège : compter $1$ cm³ par cube, et répondre $12$ cm³. Un cube de $2$ cm d'arête contient $8$ cubes de $1$ cm. Réponse : $12$ cubes de $8$ cm³, soit $96$ cm³ ; $6$ cm de haut.
13. a) Le pavé : $24 \times 25 \times 20 = 12000$ cm³. b) Le toit est un prisme droit. Sa base est le triangle de devant, de base $24$ cm et de hauteur $9$ cm ; sa « hauteur » de prisme est la profondeur, $20$ cm. L'aire du triangle : $24 \times 9 \div 2 = 216 \div 2 = 108$ cm². Le volume du toit : $108 \times 20 = 2160$ cm³. c) Le volume d'un assemblage est la somme des volumes : $12000 + 2160 = 14160$ cm³. En litres : $14160 \div 1000 = 14, 16$ L. ⭐ Autre chemin : tout le nichoir est UN prisme, dont la base est la « maison » de devant. Son aire : $600 + 108 = 708$ cm², et $708 \times 20 = 14160$ cm³. Les deux chemins se rejoignent. ⛔ Le piège : oublier le ÷ 2 du toit, et compter un toit de $4320$ cm³. Réponse : $12000$ cm³ ; $2160$ cm³ ; $14160$ cm³, soit $14, 16$ L.
14. a) $10 \times 4 \times 1, 5 = 40 \times 1, 5 = 60$ m³. b) $1$ m³ $= 1000$ L, donc $60$ m³ $= 60000$ L. c) Chaque minute apporte $15$ L : $60000 \div 15 = 4000$ minutes. Une heure a $60$ minutes : $4000 \div 60 \approx 66, 7$ heures, presque trois jours sans s'arrêter. ⛔ Le piège : diviser les m³ par $15$ , $60 \div 15 = 4$ minutes. Le débit est en litres : il faut d'abord convertir les m³ en litres. Réponse : $60$ m³, soit $60000$ L ; $4000$ minutes, environ $67$ heures.
15. a) A est plus haut : on a envie de dire A. Mais B est plus large, et le rayon compte deux fois dans l'aire du fond. b) A : aire du fond $3, 14 \times 3 \times 3 = 28, 26$ cm², volume $28, 26 \times 10 = 282, 6$ cm³. B : aire du fond $3, 14 \times 4 \times 4 = 50, 24$ cm², volume $50, 24 \times 6 = 301, 44$ cm³. c) $301, 44 >$ $282, 6$ : c'est B qui contient le plus, de $301, 44 - 282, 6 = 18, 84$ cm³. ⛔ Le piège : ne regarder que la hauteur. Le rayon est multiplié deux fois (rayon × rayon) : un rayon un peu plus grand pèse lourd. Réponse : B contient environ $301$ cm³, contre $283$ cm³ pour A : environ $19$ cm³ de plus.
16. a) $4 \times 3 \div 2 = 12 \div 2 = 6$ cm². b) Volume = aire de la base × longueur, donc $6 \times$ longueur $=$ $126$ . Je défais la multiplication : $126 \div 6 = 21$ cm. c) $126 \div 7 = 18$ cm³ par morceau. Chaque morceau garde la même base de $6$ cm² : sa longueur est $18 \div 6 = 3$ cm. Et $21 \div 7 = 3$ cm aussi. ⛔ Le piège du b) : diviser le volume par $4 \times 3 =$ $12$ , en oubliant le ÷ 2. On trouverait $10, 5$ cm, une barre deux fois trop courte. Réponse : a) $6$ cm² ; b) $21$ cm ; c) $18$ cm³ et $3$ cm par morceau.
17. Le récupérateur d'eau de pluie a) Aire du disque : $π \times$ rayon $\times$ rayon, soit environ $3, 14 \times 0, 4 \times$ $0, 4$ . Or $0, 4 \times 0, 4 =$ $0, 16$ , donc l'aire vaut environ $3, 14 \times 0, 16 = 0, 5024$ m². b) Volume : $0, 5024 \times 1 = 0, 5024$ m³. Et $1$ m³ $= 1000$ L, donc la cuve contient environ $502, 4$ L. c) $100 + 450 = 550$ L arrivent dans la cuve. Or $550 >$ $502, 4$ : elle déborde, d'environ $550 - 502, 4 = 47, 6$ L. d) $502, 4 \div 10 =$ $50, 24$ : on remplit $50$ arrosoirs entiers, et il reste un fond. ⛔ Le piège : calculer $0, 4 \times 0, 4 =$ $1, 6$ . Des dixièmes fois des dixièmes donnent des centièmes : $0, 16$ . Réponse : a) environ $0, 5024$ m² ; b) environ $0, 5$ m³, soit $502, 4$ L ; c) oui, d'environ $48$ L ; d) $50$ arrosoirs.
18. Le galet dans l'aquarium a) L'eau qui monte forme une couche en forme de pavé : même fond que l'aquarium, $0, 5$ cm d'épaisseur. $40 \times 25 \times 0, 5 = 1000 \times 0, 5 = 500$ cm³. Le galet a un volume de $500$ cm³. b) $500 \div 1000 = 0, 5$ L : un demi-litre. c) $500 \times 2, 7 = 1350$ g, soit environ $1, 35$ kg. d) Il reste $32 - 30 = 2$ cm avant le bord. Chaque galet fait monter l'eau de $0, 5$ cm : $2 \div 0, 5 = 4$ galets. Avec $4$ galets, l'eau arrive juste au bord ; un cinquième la ferait déborder. ⛔ Le piège : prendre la hauteur de l'eau, $30$ cm, au lieu de la montée, $0, 5$ cm. Seule l'eau poussée mesure le galet. Réponse : a) $500$ cm³ ; b) $0, 5$ L ; c) environ $1, 35$ kg ; d) $4$ galets.
19. Le gâteau à deux étages a) Les rayons sont les moitiés des diamètres : $24 \div 2 = 12$ cm et $16 \div 2 = 8$ cm. Étage du bas : aire du fond $3, 14 \times 12 \times 12 = 452, 16$ cm², volume $452, 16 \times 8 = 3617, 28$ cm³, soit environ $3617$ cm³. Étage du haut : aire du fond $3, 14 \times 8 \times 8 = 200, 96$ cm², volume $200, 96 \times 6 = 1205, 76$ cm³, soit environ $1206$ cm³. b) Le volume d'un assemblage est la somme des volumes : $3617, 28 + 1205, 76 = 4823, 04$ cm³, soit environ $4823$ cm³. En litres : $4823 \div 1000 \approx 4, 8$ L. c) $4823 \div 16 \approx 301$ cm³ par part. ⛔ Le piège : calculer avec les diamètres. On trouverait des volumes quatre fois trop grands : près de $20$ L de gâteau ! Réponse : a) environ $3617$ cm³ et $1206$ cm³ ; b) environ $4823$ cm³, soit $4, 8$ L ; c) environ $301$ cm³ par part.
20. Doubler l'arête d'un cube a) $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm³. b) L'arête du grand cube : $3 \times 2 = 6$ cm. Son volume : $6 \times 6 \times 6 = 216$ cm³. c) $216 \div 27 =$ $8$ : il est $8$ fois plus grand, pas $2$ . d) Le grand cube a $2$ petits cubes en longueur, $2$ en largeur et $2$ en hauteur : $2 \times 2 \times 2 = 8$ petits cubes. Le dessin le montre. e) Dix fois plus long dans les trois directions : $10 \times 10 \times 10 = 1000$ fois plus grand. C'est pour cela qu'un cube de $1$ dm, soit $10$ cm d'arête, contient $1000$ cubes de $1$ cm³. ⛔ Le piège : croire que doubler l'arête double le volume. On double la longueur, ET la largeur, ET la hauteur : $2 \times 2 \times 2 =$ $8$ . Réponse : $27$ cm³ et $216$ cm³, soit $8$ fois plus ; $8$ petits cubes ; $1000$ fois plus pour une arête dix fois plus longue.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : les volumes, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3