Les angles : 20 exercices corrigésmaths 6e — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : les angles, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) Le sommet est le point d'où partent les deux côtés. C'est $R$. b) Les côtés sont les deux demi-droites qui bordent l'angle colorié. Ce sont $[RV)$ et $[RW)$. c) J'écris un point d'un côté, puis le sommet, puis un point de l'autre côté. Le nom est $\widehat{VRW}$. On peut aussi écrire $\widehat{WRV}$. ⛔ Le piège : écrire $\widehat{RVW}$. Le sommet doit être la lettre du MILIEU. Réponse : a) $R$ ; b) $[RV)$ et $[RW)$ ; c) $\widehat{VRW}$.
2. 2. Je pose le coin de ma feuille sur chaque sommet. Le coin est un angle droit. L'angle $a$ est plus fermé que le coin : il est aigu. L'angle $b$ colle exactement au coin : il est droit. L'angle $c$ est plus ouvert que le coin : il est obtus. Les deux côtés de $d$ forment une ligne droite : il est plat. ⛔ Le piège : dire « droit » à l'œil. Je vérifie toujours avec le coin de la feuille, ou l'équerre. Réponse : $a$ aigu ; $b$ droit ; $c$ obtus ; $d$ plat.
3. 3. Je pose l'équerre dans chaque coin. En $B$ et en $C$, l'équerre colle aux deux côtés. Ces angles sont droits. En $A$, l'angle est plus fermé que l'équerre : il est aigu. En $D$, l'angle est plus ouvert que l'équerre : il est obtus. ⭐ Mesurés au rapporteur : $78°$ en $A$ et $102°$ en $D$. ⛔ Le piège : croire que tous les coins sont droits, comme dans un rectangle. Il faut vérifier chaque coin. Réponse : a) $\hat{B}$ et $\hat{C}$ ; b) $\hat{A}$ est aigu, $\hat{D}$ est obtus.
4. 4. a) Non. Un angle se mesure à son OUVERTURE. La longueur des côtés ne compte pas. b) Je décalque un angle et je le pose sur un autre, sommet sur sommet. L'angle $1$ est le plus fermé. L'angle $2$ est le plus ouvert. Du plus petit au plus grand : angle $1$, angle $3$, angle $2$. c) Le plus petit mesure $27°$, le plus grand $63°$. Donc angle $1$ : $27°$ ; angle $3$ : $48°$ ; angle $2$ : $63°$. ⛔ Le piège : juger un angle à la longueur de ses côtés. On peut les prolonger : la mesure ne change pas. Réponse : a) non ; b) $1$, $3$, $2$ ; c) $1$ : $27°$ ; $2$ : $63°$ ; $3$ : $48°$.
5. 5. a) Je cherche le $0$ posé sur un côté. Le côté $[OA)$ passe par le $0$ BLEU. Je lis donc les nombres bleus. b) Je suis l'autre côté, $[OB)$, jusqu'au bord. Il passe un trait moyen après le $60$ bleu. Un trait moyen vaut $10°$ de plus : $60+10=$$70$. $\widehat{AOB}=$$70°$. ⭐ Je contrôle à l'œil : l'angle est aigu. $70°$ est bien plus petit que $90°$. ⛔ Le piège : lire le nombre gris, $110$. Le $0$ gris n'est pas sur $[OA)$. Réponse : a) les nombres bleus ; b) $\widehat{AOB}=$$70°$.
6. 6. Je trace la demi-droite $[Ox)$. C'est le premier côté. Je pose le centre du rapporteur sur le point $O$. Je mets le $0$ sur $[Ox)$. Je pars de CE $0$ et je compte jusqu'à $25$. Je fais une petite marque. J'enlève le rapporteur. Je trace $[Oy)$, de $O$ jusqu'à la marque. Je contrôle : $25°$, c'est un angle aigu, bien fermé. ⛔ Le piège : compter sur l'autre graduation. On trace alors un angle de $180-25=155$ degrés, très ouvert.
7. 7. $A$, $O$ et $B$ sont alignés. Donc $\widehat{AOB}$ est un angle plat : $180°$. Les angles $\widehat{AOC}$ et $\widehat{COB}$ sont côte à côte. Ensemble, ils remplissent l'angle plat. Je retire l'angle connu : $180-57=$$123$. $\widehat{COB}=$$123°$. C'est un angle obtus. ⛔ Le piège : répondre $57°$ en croyant les deux angles égaux. Sur la figure, l'un est aigu, l'autre obtus. Réponse : $\widehat{COB}=$$123°$.
8. 8. La demi-droite $[OB)$ coupe le grand angle en deux angles. Ces deux angles, côte à côte, forment le grand angle. Je retire le petit angle connu : $104-37=$$67$. $\widehat{BOC}=$$67°$. Je vérifie : $37+67=$$104$. ⛔ Le piège : additionner, $104+$$37$. L'angle cherché est une PARTIE du grand angle : il est plus petit. Réponse : $\widehat{BOC}=$$67°$.
9. 9. a) L'angle est plus ouvert qu'un angle droit. Il est obtus. b) $[OA)$ passe par le $0$ de gauche. C'est le $0$ GRIS. c) Je pars du $0$ gris, à gauche, et je compte vers la droite. $[OB)$ s'arrête un petit trait AVANT le $150$ gris. Un petit trait vaut $5°$ : $150-5=$$145$. $\widehat{AOB}=$$145°$. C'est bien obtus, comme je l'avais estimé. ⛔ Le piège : lire le bleu, $35$. Un angle obtus ne peut pas mesurer $35°$. Réponse : a) obtus ; b) le $0$ gris ; c) $\widehat{AOB}=$$145°$.
10. 10. Je trace $[OA]$. Je trace l'angle de $75°$ à partir de $[OA)$. Puis je pose le $0$ du rapporteur sur $[OB)$. Je trace l'angle de $105°$. a) Les deux angles sont côte à côte : $75+105=$$180$. Donc $\widehat{AOC}=$$180°$. C'est un angle plat. b) Un angle plat, c'est une ligne droite. Les points $A$, $O$ et $C$ sont alignés. ⛔ Le piège : laisser le $0$ sur $[OA)$ pour le deuxième angle. Le deuxième angle part de $[OB)$. Réponse : a) $\widehat{AOC}=$$180°$ ; b) $A$, $O$ et $C$ sont alignés.
11. 11. Les deux droites forment quatre angles autour de $O$. L'angle $1$ est côte à côte avec l'angle de $38°$. Ensemble, ils forment un angle plat. Angle $1$ : $180-38=$$142$, soit $142°$. L'angle $2$ est face à l'angle de $38°$. Deux angles face à face sont égaux : $38°$. L'angle $3$ est face à l'angle $1$ : $142°$. Je vérifie le tour complet : $38+142+38+142=$$360$. ⛔ Le piège : croire les quatre angles égaux. Seuls les angles face à face sont égaux. Réponse : $1$ : $142°$ ; $2$ : $38°$ ; $3$ : $142°$.
12. 12. a) Les trois parts font le tour complet du centre. Un tour complet mesure $360°$. J'additionne les parts connues : $105+145=$$250$. Je retire du tour : $360-250=$$110$. La troisième part fait $110°$. b) Je compare $105$, $145$ et $110$. Le plus grand est $145$. La plus grosse part est celle de Sami. ⛔ Le piège : retirer de $180$. Un demi-tour ne suffit pas : les parts font le tour ENTIER. Réponse : a) $110°$ ; b) la part de Sami.
13. 13. La petite aiguille est en orange. La grande est sur le $12$. a) À $2$ h, l'angle est plus fermé qu'un angle droit : aigu. À $7$ h, l'angle est plus ouvert qu'un angle droit : obtus. b) À $2$ h, de $12$ à $2$, il y a $2$ espaces : $2\times 30=$$60$. L'angle mesure $60°$. À $7$ h, je compte de $7$ à $12$ par le côté court : $5$ espaces. $5\times 30=$$150$. L'angle mesure $150°$. c) À $3$ h : $3\times 30=$$90$. C'est un angle droit. $9$ h marche aussi. ⛔ Le piège : compter $7$ espaces à $7$ h. Je prends l'angle le plus petit, par le côté court. Réponse : a) aigu, obtus ; b) $60°$ et $150°$ ; c) $3$ h ou $9$ h.
14. 14. a) Je prends les demi-droites deux par deux. $[OA)$ et $[OB)$ : $\widehat{AOB}$. $[OB)$ et $[OC)$ : $\widehat{BOC}$. $[OA)$ et $[OC)$ : $\widehat{AOC}$. Il y a trois angles. b) $\widehat{AOC}$ est fait des deux petits angles, côte à côte : $34+51=$$85$. $\widehat{AOC}=$$85°$. C'est moins que $90°$ : il est aigu. ⛔ Le piège : ne voir que deux angles. Le grand angle $\widehat{AOC}$ compte aussi. Réponse : a) trois : $\widehat{AOB}$, $\widehat{BOC}$, $\widehat{AOC}$ ; b) $85°$, aigu.
15. 15. Je compte les ESPACES entre les baguettes, pas les baguettes. Avec $9$ baguettes, il y a $8$ espaces. Les $8$ espaces se partagent les $160°$. $160÷8=$$20$. Chaque espace mesure $20°$. Je vérifie : $8\times 20=$$160$. ⛔ Le piège : diviser par $9$, le nombre de baguettes. Entre $9$ baguettes, il n'y a que $8$ espaces. Réponse : $20°$.
16. 16. Je trace $[AB]$ de $6$ cm. En $A$ : centre du rapporteur sur $A$, $0$ sur $[AB]$. Je marque $45$ et je trace. En $B$ : je fais pareil, avec le $0$ posé sur $[BA]$. Les deux demi-droites se croisent au point $C$. Je mesure $\widehat{ACB}$ : je trouve $90°$. C'est un angle droit. Je le vérifie avec l'équerre. ⭐ Le coin de $C$ est droit sans avoir utilisé d'équerre pour le tracer. ⛔ Le piège : poser le $0$ du rapporteur au mauvais bout. En $B$, le $0$ doit être sur le côté $[BA]$. Réponse : $\widehat{ACB}=$$90°$, c'est un angle droit.
17. 17. La rose des vents Les huit directions partagent le tour complet, $360°$, en $8$ angles égaux. Entre deux directions voisines : $360÷8=$$45$, soit $45°$. a) Du Nord à l'Est, il y a $2$ espaces : $2\times 45=$$90$. C'est un angle droit. b) Le Nord-Est est juste entre le Nord et l'Est : $45°$. c) Le Nord et le Sud sont sur une même ligne droite : angle plat, $180°$. d) Du Nord au Sud-Est par l'Est, il y a $3$ espaces : $3\times 45=$$135$. Le bateau a tourné de $135°$. C'est un angle obtus. ⛔ Le piège au b) : confondre le Nord-Est avec l'Est. Le Nord-Est est à mi-chemin. Réponse : a) $90°$ ; b) $45°$ ; c) $180°$ ; d) $135°$.
18. 18. La grande roue a) Les $10$ rayons partagent le tour complet, $360°$. $360÷10=$$36$. Deux rayons voisins font $36°$. b) Trois places, c'est trois fois $36°$ : $3\times 36=$$108$. La roue a tourné de $108°$. c) Deux places font $72°$. Trois places font $108°$. Aucune ne fait $90°$. Un angle droit tombe au milieu d'une place : non, pas pile sur une place. d) Un demi-tour fait $180°$. $180÷36=$$5$ : il faut $5$ places. ⛔ Le piège au c) : croire qu'on tombe toujours juste. Je calcule avant de répondre. Réponse : a) $36°$ ; b) $108°$ ; c) non ; d) $5$ places.
19. 19. Le rayon et le miroir a) Le miroir est une ligne droite. Autour du point de contact, il y a un angle plat : $180°$. Trois angles se partagent cet angle plat : $38°$, l'angle cherché, et $38°$. J'additionne les deux angles connus : $38+38=$$76$. Je retire de $180$ : $180-76=$$104$. L'angle entre les rayons mesure $104°$. b) Avec $45°$ : $45+45=$$90$, puis $180-90=$$90$. Les deux rayons font un angle droit. ⛔ Le piège : mesurer sur le dessin et trouver « environ $100°$ ». Le calcul donne la valeur exacte. Réponse : a) $104°$ ; b) $90°$, un angle droit.
20. 20. L'ordinateur portable a) $105°$ est entre $90°$ et $180°$. L'angle est obtus. b) Le clavier est posé à plat sur la table. La table forme un angle plat : $180°$. L'angle de $105°$ et l'angle cherché sont côte à côte sur cette ligne droite. $180-105=$$75$. L'écran fait $75°$ avec la table, derrière. c) Il ouvre de $40°$ de plus : $105+40=$$145$. L'angle mesure $145°$. d) L'écran touche la table quand l'angle est plat : $180°$. Il faut encore ouvrir de $180-145=35$ degrés. ⛔ Le piège au b) : oublier que la table est une ligne droite. C'est elle qui donne les $180°$. Réponse : a) obtus ; b) $75°$ ; c) $145°$ ; d) jusqu'à $180°$.