La trigonométrie : 20 exercices corrigésmaths 1re spé — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : la trigonométrie, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) On multiplie par $\frac{\pi }{180}$, puis on simplifie la fraction. $30°=\frac{30\pi }{180}=$$\frac{\pi }{6}$. $135°=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$ (on divise $135$ et $180$ par $45$). $270°=\frac{270\pi }{180}=$$\frac{3\pi }{2}$. b) On remplace $\pi$ par $180°$. $\frac{5\pi }{6}=\frac{5\times 180°}{6}=$$150°$. $\frac{7\pi }{4}=\frac{7\times 180°}{4}=$$315°$. ⭐ Un repère utile : $\frac{\pi }{6}=$$30°$, et tous les autres en sont des multiples ou des moitiés.
2. 2. Sur un cercle de rayon $r$, un angle de $\theta$ radians intercepte un arc de longueur $r\times$$\theta$. C'est la définition même du radian. a) $r=$$1$ : l'arc mesure exactement $\frac{\pi }{3}\approx$$1,05$. b) Un demi-cercle, c'est un angle de $\pi$ radians. Longueur $=36,5\times \pi \approx 114,7$ m. ⚠️ La formule $r\times \theta$ ne marche qu'avec $\theta$ en RADIANS. Avec $180$ (degrés), on trouverait $6570$ m.
3. 3. On part toujours de $I(1;0)$. Un demi-tour vaut $\pi$, un quart de tour $\frac{\pi }{2}$. $\frac{\pi }{2}$ : un quart de tour dans le sens direct. On arrive en haut, au point $J(0;1)$. $-\frac{\pi }{3}$ : le signe moins fait tourner dans le sens des aiguilles d'une montre, d'un tiers de demi-tour. On arrive sous l'axe, à droite. $\frac{3\pi }{4}$ : trois quarts de demi-tour dans le sens direct. On arrive en haut à gauche, sur la diagonale. $\frac{7\pi }{6}=\pi +$$\frac{\pi }{6}$ : un demi-tour, puis encore $\frac{\pi }{6}$. On arrive en bas à gauche. ⭐ Pour placer un réel, on le coupe en « demi-tours + reste ».
4. 4. On projette $M$ sur les deux axes. Sur l'axe des abscisses, le pied de la projection tombe sur $\frac{1}{2}$. Sur l'axe des ordonnées, il tombe sur $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, et par définition $\cos \frac{\pi }{3}=$$\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$. ⭐ Le cosinus se lit à l'horizontale, le sinus à la verticale : « cos couché, sin debout ».
5. 5. a) Au collège : $\cos x=\frac{\text{coˆteˊ adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}=\frac{OH}{OM}$ et $\sin x=$$\frac{HM}{OM}$. Or $OM=$$1$, puisque $M$ est sur le cercle de rayon $1$. Donc $\cos x=OH$ et $\sin x=$$HM$ : ce sont exactement l'abscisse et l'ordonnée de $M$. b) $OH=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$ et $HM=\sin \frac{\pi }{6}=$$\frac{1}{2}$. ⭐ Le cosinus du cercle PROLONGE celui du collège : pour un angle aigu, c'est le même nombre. Le cercle permet en plus de parler d'angles obtus ou négatifs.
6. 6. On place chaque réel sur le cercle, puis on lit l'abscisse (cos) ou l'ordonnée (sin). $\cos \frac{\pi }{4}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$ : le point est sur la diagonale, abscisse et ordonnée sont égales. $\sin \frac{\pi }{6}=$$\frac{1}{2}$ : le point est encore bas, son ordonnée est petite. $\cos \frac{\pi }{2}=$$0$ : le point est en haut, sur l'axe des ordonnées. $\sin \frac{\pi }{3}=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$ : le point est déjà haut, son ordonnée est grande. $\cos \pi =$$-1$ : le point est tout à gauche, en $(-1;0)$. ⚠️ Pour ne pas échanger $\frac{1}{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$, regarde la figure : $\frac{\pi }{6}$ est près de l'axe horizontal, donc son sinus est le petit.
7. 7. Les points images de $x$ et de $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ils ont la même abscisse : $\cos (-x)=$$\cos x$. Le cosinus est PAIR. Ils ont des ordonnées opposées : $\sin (-x)=$$-\sin x$. Le sinus est IMPAIR. Donc $\cos \left(-\frac{\pi }{5}\right)\approx 0,809$ et $\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)\approx$$-0,588$. ⭐ Pas besoin de connaître $\frac{\pi }{5}$ par cœur : la symétrie suffit.
8. 8. Ajouter ou retirer $2\pi$, c'est faire un tour complet : on revient au même point. Donc $\cos (x+2\pi )=\cos x$ et $\sin (x+2\pi )=$$\sin x$ : cosinus et sinus sont PÉRIODIQUES de période $2\pi$. $\cos \left(2\pi +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=$$\frac{1}{2}$. $\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\cos \left(\frac{\pi }{6}-2\pi \right)=\cos \frac{\pi }{6}=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$. ⚠️ Seul un tour COMPLET ($2\pi$) ramène au même point. Un demi-tour ($\pi$) mène au point opposé.
9. 9. On relie chaque réel à un réel du premier quadrant par une symétrie. $\frac{5\pi }{6}=\pi -$$\frac{\pi }{6}$ : symétrique de $\frac{\pi }{6}$ par rapport à l'axe des ordonnées. Donc $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=$$\frac{1}{2}$. $\frac{7\pi }{6}=\pi +$$\frac{\pi }{6}$ : symétrique de $\frac{\pi }{6}$ par rapport au centre $O$. Donc $\cos \frac{7\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$. $-\frac{2\pi }{3}$ : le sinus est impair, $\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=$$-\sin \frac{2\pi }{3}$. Or $\frac{2\pi }{3}=\pi -$$\frac{\pi }{3}$, donc $\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$. Finalement $\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$. ✔️ Vérification des signes : $\frac{5\pi }{6}$ est en haut à gauche (cos négatif, sin positif), $-\frac{2\pi }{3}$ en bas à gauche (sin négatif).
10. 10. On utilise ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=$$1$. ${\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=$$\frac{16}{25}$. Donc $\sin x=\frac{4}{5}$ ou $\sin x=$$-\frac{4}{5}$. Comme $x\in$$[-\pi ;0]$, le point image est sous l'axe des abscisses : son ordonnée est négative. Donc $\sin x=$$-\frac{4}{5}$. ⛔ $1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$ est faux : ce sont les CARRÉS qui s'ajoutent, pas les nombres. ⚠️ Sans l'intervalle, on ne pourrait pas choisir entre les deux valeurs.
11. 11. On retire (ou on ajoute) des tours complets. Un tour vaut $2\pi$. $\frac{31\pi }{3}$ : un tour vaut $\frac{6\pi }{3}$, et $31=5\times 6+$$1$. Donc $\frac{31\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+5\times$$2\pi$. $\cos \frac{31\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}=$$\frac{1}{2}$. $-\frac{17\pi }{4}$ : un tour vaut $\frac{8\pi }{4}$. On AJOUTE deux tours : $-\frac{17\pi }{4}+\frac{16\pi }{4}=$$-\frac{\pi }{4}$. $\sin \left(-\frac{17\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$. $2027\pi =\pi +2026\pi =\pi +1013\times$$2\pi$ : on retire $1013$ tours. $\cos (2027\pi )=\cos \pi =$$-1$. ⭐ Pour $k\pi$, il suffit de savoir si $k$ est pair (on est en $I$, $\cos =$$1$) ou impair (point opposé, $\cos =$$-1$).
12. 12. ⭐ Défi : remonter du cosinus au réel a) On cherche les points du cercle d'abscisse $\frac{1}{2}$ : on trace la droite verticale $x=$$\frac{1}{2}$. Elle coupe le cercle en DEUX points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Le premier est l'image de $\frac{\pi }{3}$. Le second, celle de $-\frac{\pi }{3}$, soit $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$ dans $[0;2\pi [$. Solutions : $x=\frac{\pi }{3}$ ou $x=$$\frac{5\pi }{3}$. b) On cherche les points d'ordonnée $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ : la droite horizontale coupe le cercle sous l'axe, en deux points. Ce sont les images de $\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$ et de $2\pi -\frac{\pi }{4}=$$\frac{7\pi }{4}$. Solutions : $x=\frac{5\pi }{4}$ ou $x=$$\frac{7\pi }{4}$. ⛔ L'oubli classique : ne donner qu'une solution. Une droite coupe le cercle deux fois (sauf en $\pm 1$).
13. 13. a) La courbe passe par $(0;1)$ : $\cos 0=$$1$. En $x\approx$$3,14$, elle est à son plus bas : $\cos \pi =$$-1$. b) La courbe coupe l'axe des abscisses deux fois sur $[0;2\pi ]$ : vers $1,57$ et vers $4,71$. Ce sont $\frac{\pi }{2}$ et $\frac{3\pi }{2}$. Sur le cercle, ce sont les points du haut et du bas, d'abscisse nulle. c) Le motif recommence au bout de $2\pi \approx$$6,28$. C'est la périodicité : $x$ et $x+2\pi$ ont le même point image, donc le même cosinus. ⭐ La courbe « déroule » le cercle : quand le point fait un tour, la courbe dessine une vague complète.
14. 14. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle ; l'échelle en est l'hypoténuse. a) La hauteur est le côté OPPOSÉ à l'angle : $h=5\times \sin \frac{\pi }{3}=5\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4,33$ m. b) La distance au mur est le côté ADJACENT : $d=5\times \cos \frac{\pi }{3}=5\times \frac{1}{2}=2,5$ m. ✔️ Vérification par Pythagore : $2,5^2+{\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}^2=6,25+18,75=25=$$5^2$. ⭐ C'est le cercle trigonométrique agrandi 5 fois : l'échelle joue le rôle du rayon.
15. 15. a) $\frac{\pi }{4}$, c'est la moitié du quart de tour : $M$ est sur la bissectrice des axes, la droite d'équation $y=$$x$. Son abscisse et son ordonnée sont donc égales : $\cos \frac{\pi }{4}=$$\sin \frac{\pi }{4}$. On note $c$ ce nombre. b) ${\cos }^2\frac{\pi }{4}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}=1$ devient $c^2+c^2=$$1$, soit $2c^2=1$ et $c^2=$$\frac{1}{2}$. $M$ est dans le premier quadrant, donc $c>$$0$ : $c=\sqrt{\frac{1}{2}}=$$\frac{1}{\sqrt{2}}$. On multiplie en haut et en bas par $\sqrt{2}$ : $c=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx$$0,71$. ⭐ Deux idées suffisent : la symétrie (a) et Pythagore (b).
16. 16. Démontrer cos(π/3) a) $OI=OM=1$ (deux rayons) : le triangle $OIM$ est isocèle en $O$. Son angle en $O$ vaut $\frac{\pi }{3}$, c'est-à-dire $60°$. Les deux autres angles sont égaux et font ensemble $180°-60°=$$120°$ : chacun vaut $60°$. Trois angles de $60°$ : le triangle est équilatéral. b) Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue de $M$ est aussi une médiane : elle coupe $[OI]$ en son milieu. Donc $OH=$$\frac{1}{2}$, et comme $\cos \frac{\pi }{3}$ est l'abscisse de $M$, c'est-à-dire $OH$ : $\cos \frac{\pi }{3}=$$\frac{1}{2}$. c) ${\sin }^2\frac{\pi }{3}=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=$$\frac{3}{4}$. $M$ est au-dessus de l'axe, donc $\sin \frac{\pi }{3}>$$0$ : $\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{\frac{3}{4}}=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$. ⭐ Toute la table des valeurs remarquables sort de deux figures : le triangle équilatéral (ici) et le carré coupé en deux (exercice 15).
17. 17. La grande roue a) Un quart de tour, c'est $x=$$\frac{\pi }{2}$ : $h=70+60\times \sin \frac{\pi }{2}=70+60\times 1=130$ m. C'est le sommet. b) $\frac{7\pi }{6}=\pi +$$\frac{\pi }{6}$ : $\sin \frac{7\pi }{6}=-\sin \frac{\pi }{6}=$$-\frac{1}{2}$. $h=70+60\times \left(-\frac{1}{2}\right)=70-30=40$ m. c) $\frac{13\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+$$2\pi$ : la roue a fait un tour complet, puis $\frac{\pi }{6}$. $h=70+60\times \sin \frac{\pi }{6}=70+30=100$ m. d) $70+60\sin x=100$ donne $60\sin x=$$30$, soit $\sin x=$$\frac{1}{2}$. Sur le cercle, deux points ont pour ordonnée $\frac{1}{2}$ : les images de $\frac{\pi }{6}$ et de $\pi -\frac{\pi }{6}=$$\frac{5\pi }{6}$. La nacelle est à $100$ m pour $x=\frac{\pi }{6}$ (en montant) et pour $x=\frac{5\pi }{6}$ (en redescendant). ⭐ La roue EST un cercle trigonométrique, agrandi 60 fois et posé à 70 m du sol.
18. 18. Approcher π comme Archimède a) Le périmètre de l'hexagone vaut $6$, son demi-périmètre $3$. Chaque côté est un segment, plus court que l'arc de cercle qu'il joint. Donc le demi-périmètre de l'hexagone est plus petit que celui du cercle, qui vaut $\pi$ : $3<$$\pi$. b) Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$ ($OA=$$OB=$$1$). Son angle en $O$ vaut $\frac{2\pi }{n}$, car les $n$ angles au centre font un tour. La hauteur issue de $O$ coupe $[AB]$ en son milieu $K$ et l'angle en deux : $\widehat{AOK}=$$\frac{\pi }{n}$. Dans le triangle $OAK$ rectangle en $K$, d'hypoténuse $OA=$$1$ : $AK=$$\sin \frac{\pi }{n}$. Donc $AB=2AK=$$2\sin \frac{\pi }{n}$. c) Pour $n=$$12$ : $12\sin \frac{\pi }{12}\approx 12\times 0,258819\approx$$3,1058$. (Calculatrice en mode RADIAN.) d) Les deux bornes commencent par $3,14$, puis diffèrent ($3,1410$ et $3,1428$). L'encadrement garantit deux décimales : $\pi \approx$$3,14$. ⭐ Plus $n$ est grand, plus le polygone colle au cercle : c'est l'idée d'une limite, 2 200 ans avant qu'on la nomme.
19. 19. La marée a) $h(0)=5+3\cos 0=5+3=8$ m : c'est la marée haute. $h(6)=5+3\cos \pi =5-3=2$ m : la marée basse, six heures plus tard. $h(12)=5+3\cos (2\pi )=8$ m : de nouveau la marée haute. b) $h(t+12)=5+3\cos \frac{\pi (t+12)}{6}=5+$$3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+2\pi \right)$. Ajouter $2\pi$ ne change pas le cosinus : $h(t+12)=5+3\cos \frac{\pi t}{6}=$$h(t)$. La hauteur d'eau se répète toutes les $12$ heures : $h$ est périodique de période $12$. c) $h(2)=5+3\cos \frac{\pi }{3}=5+3\times \frac{1}{2}=6,5$ m. $h(8)=5+$$3\cos \frac{4\pi }{3}$. Or $\frac{4\pi }{3}=\pi +$$\frac{\pi }{3}$, donc $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ et $h(8)=5-1,5=3,5$ m. d) $h(30)=5+$$3\cos (5\pi )$. $5\pi =\pi +2\times$$2\pi$ : $\cos (5\pi )=\cos \pi =$$-1$. $h(30)=2$ m : c'est une marée basse. ⚠️ Un modèle simplifié : la vraie période d'une marée est d'environ $12$ h $25$ min.
20. 20. Le réel de l'année a) On simplifie d'abord : $\frac{2026\pi }{6}=$$\frac{1013\pi }{3}$. Un tour vaut $2\pi =$$\frac{6\pi }{3}$. On divise $1013$ par $6$ : $1013=6\times 168+$$5$. Donc $x=\frac{5\pi }{3}+168\times$$2\pi$, avec $a=\frac{5\pi }{3}$ et $k=$$168$. b) $\frac{5\pi }{3}=2\pi -$$\frac{\pi }{3}$ : le point image est le symétrique de celui de $\frac{\pi }{3}$ par rapport à l'axe des abscisses. Il est dans le quatrième quadrant (en bas à droite). c) Même abscisse que $\frac{\pi }{3}$, ordonnée opposée : $\cos x=\frac{1}{2}$ et $\sin x=$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$. d) $x+\pi$ mène au point diamétralement opposé : $\cos (x+\pi )=-\cos x=$$-\frac{1}{2}$. Le sinus est impair : $\sin (-x)=-\sin x=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$. ✔️ Signes : bas à droite, cosinus positif et sinus négatif. C'est cohérent.