Variations et extremums d'une fonction : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : variations et extremums d'une fonction, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) On lit la courbe de gauche à droite : elle descend de $x=-4$ à $x=$$-1$, puis monte jusqu'à $x=$$2$. $f$ est décroissante sur $[-4;-1]$ et croissante sur $[-1;2]$. b) En haut, les abscisses $-4$, $-1$ et $2$. En bas, les valeurs $f(-4)=$$5$, $f(-1)=-4$ et $f(2)=$$5$, reliées par une flèche qui descend puis une flèche qui monte. ⛔ Le piège : écrire les ORDONNÉES dans la ligne du haut. En haut, ce sont les $x$ ; en bas, ce que vaut $f$.
2. 2. a) Une flèche qui monte : $g$ est croissante sur $[0;3]$. Des flèches qui descendent : $g$ est décroissante sur $[-4;0]$ et sur $[3;5]$. b) La plus grande valeur du tableau est $4$ : le maximum vaut $4$, atteint en $x=$$3$. La plus petite est $-3$ : le minimum vaut $-3$, atteint en $x=$$0$. ⛔ Le piège : répondre « le maximum est $3$ ». $3$ dit OÙ (l'abscisse), $4$ dit COMBIEN (la valeur).
3. 3. a) $-3<$$1$, et $f$ croissante conserve l'ordre : $f(-3)<$$f(1)$. $2,05<2,5$ (on compare $2,05$ et $2,50$), donc $f(2,05)<$$f(2,5)$. b) $\sqrt{2}\approx$$1,414$, donc $\sqrt{2}<$$1,5$. Mais $g$ décroissante INVERSE l'ordre : $g(\sqrt{2})>$$g(1,5)$. ⛔ Le piège au a) : croire que $2,05>2,5$ parce que « $05$ » s'écrit avec plus de chiffres.
4. 4. a) $h$ monte jusqu'en $x=$$1$, puis redescend : le maximum vaut $7$, atteint en $x=$$1$. b) Le tableau n'a pas de « creux » : le minimum est à l'un des deux bords. On compare $h(-3)=2$ et $h(6)=$$-4$. Le minimum vaut $-4$, atteint en $x=$$6$, au BORD de l'intervalle. ⛔ Le piège : chercher le minimum seulement là où la flèche change de sens. Les bords comptent aussi.
5. 5. Pour une fonction affine $ax+$$b$, c'est le signe de $a$ qui décide : $a>$$0$, croissante ; $a<$$0$, décroissante ; $a=$$0$, constante. a) $a=4>$$0$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. b) $a=-2<$$0$ : $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. c) $h(x)=-\frac{1}{2}x+$$3$ : $a=-\frac{1}{2}<$$0$, $h$ est décroissante. d) $a=$$0$ : $k$ est constante, sa courbe est une droite horizontale. ⛔ Le piège au c) : lire $a=$$3$, le premier nombre écrit. Le coefficient de $x$ est $-\frac{1}{2}$.
6. 6. a) Trois abscisses en haut : $0$, $3$ et $8$. En bas, les valeurs $5$, $-1$ et $7$, avec une flèche qui descend puis une flèche qui monte. b) Le minimum vaut $-1$, atteint en $x=$$3$, au fond du creux. Pour le maximum, on compare les deux bords : $u(0)=5$ et $u(8)=$$7$. Le maximum vaut $7$, atteint en $x=$$8$. ⛔ Le piège au b) : oublier un des deux bords, et répondre $5$.
7. 7. a) $-1$ et $1$ sont tous deux dans $[-2;2]$, où $f$ croît : l'ordre est conservé, $f(-1)<$$f(1)$. b) $3$ et $5$ sont dans $[2;6]$, où $f$ décroît : l'ordre s'inverse, $f(3)>$$f(5)$. c) Non. $0$ et $4$ ne sont pas sur le même morceau : entre les deux, $f$ monte puis redescend. Les deux courbes dessinées ont TOUTES LES DEUX ce tableau. Sur la bleue, $f(0)<$$f(4)$ ; sur l'orange, $f(0)>$$f(4)$. ⛔ Le piège au c) : conclure $f(0)<f(4)$ parce que $0<$$4$. On ne compare que sur un intervalle où le sens ne change pas.
8. 8. a) VRAI. $-3$ et $-2$ sont dans $[-4;-1]$, où $f$ décroît, et $-3<$$-2$ : l'ordre s'inverse, $f(-3)>$$f(-2)$. b) FAUX. $f(-1)=-2$ est négatif. Une fonction peut monter en étant négative. c) FAUX. Le minimum VAUT $-2$ ; il est ATTEINT en $-1$. Le nombre $-1$ est une abscisse. d) VRAI. Sur $[-4;-1]$, $f$ va de $3$ à $-2$ : elle ne passe jamais par $4$. Sur $[-1;4]$, elle monte de $-2$ à $8$ : elle passe par $4$ une seule fois. ⭐ Ci-dessous, UNE courbe possible : l'horizontale $y=4$ la coupe une seule fois.
9. 9. a) $f(b)-f(a)=(-3b+2)-(-3a+2)=-3b+3a=-3(b-$$a)$. b) $a<$$b$, donc $b-a>$$0$. On multiplie par $-3$, négatif : $-3(b-a)<$$0$. c) Pour tous $a<$$b$, on a $f(b)-f(a)<$$0$, c'est-à-dire $f(a)>$$f(b)$ : l'ordre s'inverse, $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. ⭐ C'est la DÉFINITION qui démontre : on ne regarde pas un dessin, on prouve pour tous les $a<b$ à la fois. ⛔ Le piège au a) : oublier la parenthèse, et écrire $-3b+2-3a+$$2$.
10. 10. a) $(x-3{)}^2+2=x^2-6x+9+2=x^2-6x+$$11$. ✓ b) Un carré est toujours positif ou nul : $(x-3{)}^2⩾$$0$. On ajoute $2$ des deux côtés : $(x-3{)}^2+2⩾$$2$, soit $f(x)⩾$$2$. c) La valeur $2$ est atteinte quand le carré est nul, pour $x=$$3$ : $f(3)=0+2=$$2$. Le minimum de $f$ vaut $2$, atteint en $x=$$3$. ⛔ Le piège au c) : s'arrêter à « $f(x)⩾$$2$ ». Un minimum doit être ATTEINT : il faut le $x$ qui donne $2$.
11. 11. a) La courbe monte de $x=-1$ à $x=$$0$, descend jusqu'à $x=$$2$, puis remonte jusqu'à $x=$$3$. Les valeurs : $f(-1)=$$-2$, $f(0)=$$2$, $f(2)=-2$ et $f(3)=$$2$. b) Le maximum vaut $2$, et il est atteint DEUX fois : en $x=0$ et en $x=$$3$. Le minimum vaut $-2$, atteint en $x=-1$ et en $x=$$2$. c) Sur chacun des trois morceaux, $f$ va de $-2$ à $2$ ou de $2$ à $-2$ : elle passe par $1$ une fois sur chacun. L'équation $f(x)=1$ a TROIS solutions. ⭐ Le tableau suffit pour COMPTER les solutions, sans les calculer.
12. 12. a) $-5<$$-3$, dans $[-6;-2]$ où $f$ décroît : l'ordre s'inverse, $f(-5)>$$f(-3)$. b) $0<$$3$, dans $[-2;4]$ où $f$ croît : $f(0)<$$f(3)$. c) Sur $[-6;-2]$, $f$ descend jusqu'à $f(-2)=$$-5$ : toutes ses valeurs y sont supérieures ou égales à $-5$. Sur $[-2;4]$, elle monte à partir de $-5$ : encore supérieures ou égales à $-5$. Donc $f(x)⩾-5$ partout : $-5$ est le minimum de $f$, atteint en $-2$. d) Non : $-4$ et $2$ sont de part et d'autre de $-2$, là où le sens change. Il faudrait connaître les valeurs. ⭐ Ci-dessous, UNE courbe possible. D'autres respectent le même énoncé. ⛔ Le piège au a) : penser « $-5$ est plus petit, donc $f(-5)$ aussi ». Sur un morceau décroissant, c'est l'inverse.
13. 13. On regarde, flèche par flèche, si la valeur cherchée est entre les deux bouts. a) De $-3$ à $4$ : $2$ est entre les deux, une solution. De $4$ à $0$ : encore une. De $0$ à $6$ : encore une. TROIS solutions. b) $5$ n'est atteint que sur la dernière flèche, de $0$ à $6$ : UNE solution. c) La plus petite valeur du tableau est $-3$ : $g$ ne descend jamais jusqu'à $-4$. AUCUNE solution. d) Le maximum vaut $6$, atteint en $x=$$4$. Le sommet $4$, en $x=$$-2$, n'est qu'un maximum LOCAL. Le minimum vaut $-3$, atteint en $x=$$-5$. ⛔ Le piège au d) : prendre le premier sommet pour le maximum. On compare TOUTES les valeurs du haut, bords compris.
14. 14. a) L'eau monte de $t=0$ à $t=$$4$, puis redescend jusqu'à $t=$$10$. Les valeurs : $h(0)=$$1$, $h(4)=6$ et $h(10)=$$1,5$. b) Le maximum vaut $6$ m, atteint au bout de $4$ heures : c'est le pic de crue. c) L'horizontale $y=4$ coupe la courbe en $t=3$ et en $t=$$6$ : l'eau dépasse $4$ m de $3$ h à $6$ h, soit pendant $3$ heures. d) $1$ et $3$ sont dans $[0;4]$, où $h$ croît : $h(1)<$$h(3)$. $5$ et $9$ sont dans $[4;10]$, où $h$ décroît : $h(5)>$$h(9)$. ⛔ Le piège au c) : répondre « $4$ heures », l'instant du pic. On demande une DURÉE : de $3$ h à $6$ h.
15. 15. a) $(x+1{)}^2⩾$$0$, donc $-(x+1{)}^2⩽$$0$, et $2-(x+1{)}^2⩽$$2$. La valeur $2$ est atteinte quand le carré s'annule, en $x=$$-1$ : $g(-1)=$$2$. Le maximum vaut $2$, atteint en $x=$$-1$. b) $g(-4)=2-(-3{)}^2=2-9=-7$ et $g(2)=2-3^2=2-9=$$-7$. c) En haut : $-4$, $-1$, $2$. En bas : $-7$, $2$, $-7$. Le minimum vaut $-7$, atteint deux fois, en $x=-4$ et en $x=$$2$. ⛔ Le piège au a) : écrire $-(x+1{)}^2⩾$$0$. Multiplier par $-1$ retourne l'inégalité.
16. 16. a) $0<2<4$ et $f$ croît : $f(0)<f(2)<$$f(4)$, soit $1<f(2)<$$5$. C'est TOUT ce qu'on peut dire. b) $u(0)=1$ et $u(4)=$$5$. De même $v(0)=1$ et $v(4)=0,25\times 16+1=$$5$. c) $u(2)=3$ et $v(2)=0,25\times 4+1=$$2$. Les deux fonctions ont le MÊME tableau de variations, et pas la même image de $2$. Un tableau de variations ne donne pas les valeurs entre ses bornes : il ne dit que le sens. ⛔ Le piège au a) : répondre $f(2)=$$3$, « au milieu ». Rien n'oblige la fonction à monter régulièrement.
17. 17. Le 100 m de Usain Bolt a) Vitesse $=$ distance $÷$ temps. Première tranche : $\frac{10}{1,89}\approx 5,29$ m/s. De $60$ à $70$ m : $\frac{10}{0,81}\approx 12,35$ m/s. b) Pour une même distance, plus le temps est COURT, plus la vitesse est grande : temps et vitesse varient en sens contraires. Les temps diminuent de $1,89$ s à $0,81$ s, de la première tranche à celle de $60$ à $70$ m : sa vitesse augmente sur toutes ces tranches. c) La vitesse est maximale sur la tranche de $60$ à $70$ m, celle du temps le plus court : $\frac{10}{0,81}\times 3,6\approx 44,4$ km/h. d) Les temps remontent : $0,82$ s, puis $0,83$ s deux fois. Sa vitesse diminue un peu : environ $12,20$ m/s, puis $12,05$ m/s. Même le recordman du monde ralentit à la fin. ⭐ Sa vitesse CROÎT puis DÉCROÎT : elle a un maximum, entre $60$ et $70$ m. ⛔ Le piège au b) : « le temps diminue, donc la vitesse diminue ». Temps et vitesse varient en sens CONTRAIRES.
18. 18. Le plus grand potager a) Le périmètre vaut $2x+2L=$$36$, donc $x+L=18$ et la longueur vaut $L=18-$$x$. Les deux longueurs sont positives : $0<x<$$18$. b) $A(x)=x(18-x)=18x-$$x^2$. Et $81-(x-9{)}^2=81-x^2+18x-81=18x-$$x^2$. ✓ c) $(x-9{)}^2⩾$$0$, donc $A(x)⩽$$81$, et $A(9)=$$81$. L'aire maximale vaut $81$ m², pour $x=$$9$ ; la longueur vaut alors $18-9=9$ m. Le meilleur rectangle est un CARRÉ. d) $A(0)=$$0$, $A(9)=81$ et $A(18)=$$0$ : une flèche qui monte de $0$ à $81$, puis une flèche qui redescend à $0$. ⛔ Le piège au c) : répondre « $9$ » à la question de l'aire. $9$ m est la largeur ; l'aire vaut $81$ m².
19. 19. L'éolienne a) $P$ est constante, et nulle, sur $[0;3]$ : le vent est trop faible pour faire tourner les pales. Elle est croissante sur $[3;12]$, puis constante sur $[12;25]$, où elle vaut $3$ MW. b) Le maximum vaut $3$ MW, et il est atteint pour TOUTES les vitesses de $[12;25]$, pas en un seul point. c) $5$ et $8$ sont dans $[3;12]$, où $P$ croît : $P(5)<$$P(8)$. $14$ et $22$ sont dans $[12;25]$, où $P$ est constante : $P(14)=P(22)=$$3$. d) $P(6)=0,5$ et $P(12)=$$3$ : la vitesse double, et la puissance est multipliée par $6$. Un vent deux fois plus fort donne bien plus que deux fois plus d'énergie. ⛔ Le piège au b) : « le maximum est atteint en $12$ ». Il l'est en $12$, mais aussi en $20$ ou en $25$ : sur tout un intervalle.
20. 20. La Terre et le Soleil a) $d$ croît sur $[0;183]$, puis décroît. Le minimum, $147,1$ millions de km, est atteint en $t=0$ (le 3 janvier) et en $t=$$365$. Le maximum, $152,1$ millions de km, en $t=$$183$, le 5 juillet. b) $30$ et $90$ sont dans $[0;183]$, où $d$ croît : $d(30)<$$d(90)$. $200$ et $300$ sont dans $[183;365]$, où $d$ décroît : $d(200)>$$d(300)$. c) $152,1-147,1=5$ millions de km. Rapporté à la plus petite distance : $\frac{5}{147,1}\approx$$0,034$, soit environ $3,4$ %. d) C'est au début de janvier que la Terre est le PLUS PRÈS du Soleil, en plein hiver en France. La distance ne fait donc pas les saisons : elle ne varie que de $3$ %. Les saisons viennent de l'inclinaison de l'axe de la Terre. ⭐ En Australie, janvier est l'été : le même jour, deux saisons opposées, à la même distance du Soleil.