Les fonctions affines : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème : reconnaître a et b, calculer une image, lire une droite, trouver l'expression par deux points, étudier le signe, comparer deux offres. Les degrés Fahrenheit, l'eau qui bout à 84 °C au sommet du mont Blanc, le tonnerre, une facture d'électricité, des vélos en libre-service. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape, avec le pourquoi de chaque étape et le piège nommé.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice : reconnaître, calculer, lire, tracer.

Rappel de cours

Une fonction AFFINE s'écrit $f (x) = a x +$ $b$ . Sa courbe est une DROITE.
$b = f (0)$ est l'ordonnée à l'origine : là où la droite coupe l'axe des ordonnées.
$a$ est le coefficient directeur : quand $x$ augmente de $1$ , $f (x)$ augmente de $a$ (ou diminue, si $a$ est négatif).
Le signe de $a x +$ $b$ : le signe de $a$ à DROITE de la valeur qui l'annule, le signe contraire à gauche.

1
Lesquelles de ces fonctions sont affines ? Donner alors $a$ et $b$ . a) $f (x) = 7 - 2 x$ b) $g (x) = 3 x^{2} + 1$ c) $h (x) = \frac{x}{4}$ d) $k (x) = 2 (x - 3) + 1$ e) $u (x) = \frac{5}{x}$
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Une fonction est affine si elle peut s'écrire $a x +$ $b$ , avec $a$ et $b$ deux nombres. a) $f (x) = - 2 x +$ $7$ : affine, avec $a = - 2$ et $b =$ $7$ . b) $g$ n'est PAS affine, à cause du $x^{2}$ . c) $h (x) =$ $\frac{1}{4} x$ : affine, avec $a = \frac{1}{4}$ et $b =$ $0$ . On dit qu'elle est LINÉAIRE. d) $k (x) = 2 x - 6 + 1 = 2 x -$ $5$ : affine, avec $a = 2$ et $b =$ $- 5$ . e) $u$ n'est PAS affine : le $x$ est au dénominateur. ⛔ Le piège au a) : lire $a =$ $7$ . Le coefficient $a$ est celui qui MULTIPLIE $x$ , où qu'il soit écrit.
2
Soit $f (x) = - 4 x +$ $6$ . a) Calculer $f (0)$ , $f (2)$ et $f (- 1, 5)$ . b) Trouver l'antécédent de $- 10$ . c) Trouver l'antécédent de $0$ .
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a) $f (0) =$ $6$ , $f (2) = - 4 \times 2 + 6 = - 8 + 6 = - 2$ et $f (- 1, 5) = - 4 \times (- 1, 5) + 6 = 6 + 6 =$ $12$ . b) $- 4 x + 6 = - 10$ donne $- 4 x =$ $- 16$ , donc $x =$ $4$ . c) $- 4 x + 6 = 0$ donne $- 4 x =$ $- 6$ , donc $x =$ $1, 5$ . ⛔ Le piège au a) : $- 4 \times (- 1, 5)$ vaut $+ 6$ , et non $- 6$ .
x f(x)
−1,5 12
0 6
1,5 0
2 −2
4 −10
x −1,5 0 1,5 2 4
f(x) 12 6 0 −2 −10
3
Voici la droite qui représente une fonction affine $f$ . a) Lire l'ordonnée à l'origine $b$ . b) Lire le coefficient directeur $a$ . c) En déduire l'expression de $f (x)$ .
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a) La droite coupe l'axe des ordonnées en $- 1$ : $b =$ $- 1$ . b) Depuis le point $(0; - 1)$ , on avance de $1$ vers la droite : la droite monte de $2$ , jusqu'au point $(1; 1)$ . Donc $a =$ $2$ . c) $f (x) = 2 x -$ $1$ . On vérifie avec un autre point lu, $(2; 3)$ : $2 \times 2 - 1 =$ $3$ . ✓ ⛔ Le piège au b) : lire $a$ là où la droite coupe l'axe des abscisses. Le coefficient se lit en AVANÇANT de $1$ .
4
Soit $f$ une fonction affine telle que $f (- 1) = 7$ et $f (3) =$ $- 1$ . Déterminer l'expression de $f (x)$ .
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Le coefficient directeur : $a = \frac{f ( 3 ) - f ( - 1 )}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 1 - 7}{4} = \frac{- 8}{4} =$ $- 2$ . On trouve $b$ avec l'un des deux points : $f (- 1) = - 2 \times (- 1) + b = 2 + b =$ $7$ , donc $b =$ $5$ . Ainsi $f (x) = - 2 x +$ $5$ . On vérifie avec l'autre point : $f (3) = - 6 + 5 =$ $- 1$ . ✓ ⛔ Le piège : écrire $3 - 1$ au dénominateur au lieu de $3 -$ $(- 1)$ .
5
Étudier le signe de $f (x) = - 2 x +$ $7$ , puis dresser son tableau de signes.
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$- 2 x + 7 = 0$ donne $x = \frac{7}{2} =$ $3, 5$ . $a = - 2$ est négatif : $f (x)$ est POSITIF avant $3, 5$ et NÉGATIF après. Vérification : $f (0) =$ $7$ , positif. ✓ ⛔ Le piège : écrire « $-$ avant, $+$ après » par habitude. À droite de la valeur qui annule, c'est le signe de $a$ .
x
−∞
$3, 5$
+∞
$- 2 x + 7$
+
0
−
6
Soit $f$ une fonction affine. Quand $x$ augmente de $1$ , $f (x)$ augmente de $3$ ; et $f (0) =$ $- 2$ . a) Que valent $a$ et $b$ ? b) Calculer $f (1)$ , $f (4)$ et $f (- 2)$ .
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a) $b = f (0) =$ $- 2$ . Et $a$ est ce dont $f (x)$ augmente quand $x$ augmente de $1$ : $a =$ $3$ . Donc $f (x) = 3 x -$ $2$ . b) $f (1) = 3 - 2 =$ $1$ , $f (4) = 12 - 2 = 10$ et $f (- 2) = - 6 - 2 =$ $- 8$ . ⭐ Les accroissements sont PROPORTIONNELS : de $x = 1$ à $x =$ $4$ , $x$ augmente de $3$ , et $f (x)$ de $3 \times 3 =$ $9$ , de $1$ à $10$ .
x −2 0 1 4
f(x) −8 −2 1 10
7
Aux États-Unis, la température se donne en degrés Fahrenheit : $F (c) = 1, 8 c +$ $32$ , où $c$ est la température en degrés Celsius. a) Convertir $20$ °C, puis $100$ °C. b) Un thermomètre américain affiche $98, 6$ °F. Quelle est la température en °C ? c) Pour quelle température les deux échelles affichent-elles le même nombre ?
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a) $F (20) = 1, 8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$ °F. Et $F (100) = 180 + 32 = 212$ °F : l'eau bout à $212$ °F. b) On cherche l'antécédent : $1, 8 c + 32 = 98, 6$ donne $1, 8 c =$ $66, 6$ , donc $c = 37$ °C. C'est la température du corps humain. c) On veut $1, 8 c + 32 =$ $c$ , soit $0, 8 c =$ $- 32$ , donc $c =$ $- 40$ . $- 40$ °C, c'est aussi $- 40$ °F. ⛔ Le piège au b) : calculer $F (98, 6)$ . On connaît l'image, on cherche l'antécédent.
°C °F
−40 −40
0 32
20 68
37 98,6
100 212
°C −40 0 20 37 100
°F −40 32 68 98,6 212
8
Soit $f (x) = - \frac{1}{2} x +$ $3$ . a) Calculer $f (0)$ et $f (4)$ . b) Tracer la droite qui représente $f$ . c) Où coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
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a) $f (0) = 3$ et $f (4) = - 2 + 3 =$ $1$ . b) Une droite se trace avec DEUX points : $(0; 3)$ et $(4; 1)$ . On les relie à la règle, et on prolonge. c) On résout $- \frac{1}{2} x + 3 =$ $0$ : $\frac{1}{2} x =$ $3$ , donc $x =$ $6$ . La droite coupe l'axe au point $(6; 0)$ . ⭐ Choisir $x =$ $4$ , un multiple de $2$ , évite les fractions : $- \frac{1}{2} \times 4 =$ $- 2$ .

x	f(x)
−1,5	12
0	6
1,5	0
2	−2
4	−10

x	−1,5	0	1,5	2	4
f(x)	12	6	0	−2	−10

x	−2	0	1	4
f(x)	−8	−2	1	10

°C	°F
−40	−40
0	32
20	68
37	98,6
100	212

°C	−40	0	20	37	100
°F	−40	32	68	98,6	212

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Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes, comme au contrôle : trouver l'expression, comparer deux droites, étudier un signe.

Rappel de cours

Par deux points $A$ et $B$ : $a =$ $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , puis on trouve $b$ en remplaçant par l'un des deux points.
Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles.
Pour comparer deux fonctions affines, on étudie le signe de leur DIFFÉRENCE : c'est encore une fonction affine.

9
Soit $f$ une fonction affine telle que $f (2) = - 1$ et $f (6) =$ $5$ . a) Déterminer $f (x)$ . b) Calculer $f (10)$ . c) Trouver la valeur exacte de l'antécédent de $0$ .
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a) $a = \frac{5 - ( - 1 )}{6 - 2} = \frac{6}{4} =$ $1, 5$ . Puis $f (2) = 1, 5 \times 2 + b = 3 + b =$ $- 1$ , donc $b =$ $- 4$ . Ainsi $f (x) = 1, 5 x -$ $4$ . b) $f (10) = 15 - 4 =$ $11$ . c) $1, 5 x - 4 = 0$ donne $1, 5 x =$ $4$ , donc $x = \frac{4}{1 , 5} =$ $\frac{8}{3}$ . ⭐ On vérifie le a) avec l'autre point : $f (6) = 9 - 4 =$ $5$ . ✓ ⛔ Le piège au c) : écrire $2, 67$ , qui n'est qu'une valeur approchée de $\frac{8}{3}$ .
10
Soit $f (x) = 4 -$ $0, 8 x$ . a) Dresser le tableau de signes de $f$ . b) Résoudre $f (x) >$ $0$ . c) Résoudre $f (x) ⩾$ $2$ .
Voir la correction
a) $4 - 0, 8 x = 0$ donne $0, 8 x =$ $4$ , donc $x =$ $5$ . Le coefficient $- 0, 8$ est négatif : $+$ avant $5$ , $-$ après. b) $f (x) > 0$ pour $x <$ $5$ : les solutions forment $] - \infty; 5 [$ . c) $4 - 0, 8 x ⩾ 2$ donne $- 0, 8 x ⩾$ $- 2$ . On divise par $- 0, 8$ , négatif : le sens se retourne, $x ⩽$ $2, 5$ . Les solutions forment $] - \infty; 2, 5]$ . ⛔ Le piège au c) : garder le sens en divisant par $- 0, 8$ .
x
−∞
5
+∞
$4 - 0, 8 x$
+
0
−
11
Soit $f (x) = 2 x - 3$ et $g (x) = - x +$ $6$ . a) Calculer les coordonnées du point d'intersection de leurs droites. b) Étudier le signe de $f (x) -$ $g (x)$ . c) Sur quel intervalle la droite de $f$ est-elle au-dessus de celle de $g$ ?
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a) On résout $f (x) =$ $g (x)$ : $2 x - 3 = - x +$ $6$ , donc $3 x = 9$ et $x =$ $3$ . Puis $f (3) = 6 - 3 =$ $3$ . Le point d'intersection est $(3; 3)$ . b) $f (x) - g (x) = 2 x - 3 + x - 6 = 3 x -$ $9$ : une fonction affine, nulle en $3$ , de coefficient $3$ positif. Elle est négative avant $3$ , positive après. c) La droite de $f$ est au-dessus quand $f (x) - g (x) >$ $0$ : sur $] 3; + \infty [$ . ⛔ Le piège au b) : écrire $2 x - 3 - x +$ $6$ . Le moins porte sur TOUT $g (x)$ .
x
−∞
3
+∞
$3 x - 9$
−
0
+
12
La fonction affine $g$ a le même coefficient directeur que $f (x) = 3 x -$ $1$ , et sa droite passe par le point $A (2; - 4)$ . a) Déterminer $g (x)$ . b) Que peut-on dire des deux droites ?
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a) Même coefficient directeur : $g (x) = 3 x +$ $b$ . Le point $A$ donne $g (2) =$ $- 4$ : $6 + b =$ $- 4$ , donc $b =$ $- 10$ . Ainsi $g (x) = 3 x -$ $10$ . b) Même coefficient directeur, mais ordonnées à l'origine différentes ( $- 1$ et $- 10$ ) : les droites sont PARALLÈLES, sans point commun. ⛔ Le piège au a) : reprendre aussi le $b$ de $f$ . Seule la pente est commune.
13
Voici les droites de deux fonctions affines, $f$ en bleu et $g$ en orange. a) Lire l'expression de $f (x)$ . b) Lire l'expression de $g (x)$ . c) Calculer les coordonnées de leur point d'intersection, et le vérifier sur le dessin.
Voir la correction
a) La droite bleue coupe l'axe des ordonnées en $3$ , et descend de $1$ quand on avance de $1$ : $f (x) = - x +$ $3$ . b) La droite orange coupe l'axe des ordonnées en $- 2$ . Quand on avance de $2$ , elle monte de $3$ : $a = \frac{3}{2} =$ $1, 5$ , et $g (x) = 1, 5 x -$ $2$ . c) $- x + 3 = 1, 5 x - 2$ donne $2, 5 x =$ $5$ , donc $x =$ $2$ . Puis $f (2) =$ $1$ : le point d'intersection est $(2; 1)$ , bien visible sur le dessin. ⛔ Le piège au b) : lire $a =$ $3$ , parce qu'on a avancé de $2$ sans diviser.
14
Une baignoire contient $150$ L d'eau. On ouvre la bonde : elle se vide de $12$ L par minute. On note $V (t)$ le volume restant, en litres, au bout de $t$ minutes. a) Montrer que $V (t) = 150 -$ $12 t$ . Est-ce une fonction affine ? b) Combien reste-t-il d'eau au bout de $5$ minutes ? c) Au bout de combien de temps reste-t-il $30$ L ? d) Quand la baignoire est-elle vide ? Sur quel intervalle $V$ a-t-elle un sens ?
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a) Chaque minute, $12$ L s'en vont : au bout de $t$ minutes, $12 t$ litres sont partis, et il reste $150 -$ $12 t$ . C'est une fonction affine, avec $a = - 12$ et $b =$ $150$ . b) $V (5) = 150 - 60 = 90$ L. c) $150 - 12 t = 30$ donne $12 t =$ $120$ , donc $t = 10$ minutes. d) $150 - 12 t = 0$ donne $t =$ $12, 5$ : la baignoire est vide au bout de $12$ min $30$ s. $V$ a un sens sur $[0; 12, 5]$ : avant, on n'a pas ouvert ; après, il n'y a plus d'eau. ⭐ Le coefficient directeur, c'est le débit : $a =$ $- 12$ , le volume diminue de $12$ L chaque minute.
t (min) 0 5 10 12,5
V (L) 150 90 30 0
15
Soit $m$ un nombre, et $f (x) = (m - 2) x +$ $1$ . a) Pour quelles valeurs de $m$ la fonction $f$ est-elle décroissante ? b) Pour quelle valeur de $m$ est-elle constante ? c) Trouver $m$ pour que $f (3) =$ $7$ .
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a) $f$ est affine, de coefficient $a = m -$ $2$ . Elle est décroissante quand $a <$ $0$ : $m - 2 <$ $0$ , soit $m <$ $2$ . b) Elle est constante quand $a =$ $0$ : $m =$ $2$ , et alors $f (x) =$ $1$ . c) $f (3) = 3 (m - 2) + 1 = 3 m -$ $5$ . On résout $3 m - 5 =$ $7$ : $3 m =$ $12$ , donc $m =$ $4$ . Alors $f (x) = 2 x +$ $1$ , et $f (3) =$ $7$ . ✓ ⛔ Le piège au a) : répondre « $m <$ $0$ ». C'est le coefficient $m - 2$ qui doit être négatif, pas $m$ .
16
La droite d'une fonction affine $f$ passe par le point $A (- 1; 6)$ et coupe l'axe des abscisses en $2$ . a) Déterminer $f (x)$ . b) Dresser le tableau de signes de $f$ .
Voir la correction
a) Couper l'axe des abscisses en $2$ , c'est passer par le point $(2; 0)$ : $f (2) =$ $0$ . $a = \frac{0 - 6}{2 - ( - 1 )} = \frac{- 6}{3} =$ $- 2$ . Puis $f (2) = - 4 + b =$ $0$ , donc $b =$ $4$ . Ainsi $f (x) = - 2 x +$ $4$ . b) $f$ s'annule en $2$ , et $a = - 2$ est négatif : $+$ avant $2$ , $-$ après. ⭐ On vérifie avec $A$ : $f (- 1) = 2 + 4 =$ $6$ . ✓
x
−∞
2
+∞
$- 2 x + 4$
+
0
−

t (min)	0	5	10	12,5
V (L)	150	90	30	0

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles : on écrit la fonction affine, on dit ce que valent a et b, on répond par une phrase.

Rappel de cours

Dans une situation, $b$ est la valeur de DÉPART, et $a$ ce qui s'ajoute à chaque unité : un prix par minute, un débit, un degré tous les $300$ m.
On vérifie toujours son expression sur une donnée de l'énoncé.
On répond avec l'unité : « $84$ °C », pas « $84$ ».

17Les pâtes au sommet
En montagne, l'eau ne bout pas à $100$ °C : sa température d'ébullition baisse d'environ $1$ °C tous les $300$ m. On la modélise par $T (h) = 100 -$ $\frac{h}{300}$ , où $h$ est l'altitude en mètres. a) Pourquoi $T$ est-elle une fonction affine ? Donner $a$ et $b$ . b) À quelle température l'eau bout-elle au sommet du mont Blanc, à environ $4800$ m ? c) À quelle altitude bout-elle à $90$ °C ? d) Au sommet de l'Everest, à $8849$ m, un alpiniste fait cuire des pâtes. Pourquoi cuisent-elles mal ?
Voir la correction
a) $T (h) = - \frac{1}{300} h +$ $100$ : c'est la forme $ah +$ $b$ , avec $a = - \frac{1}{300}$ et $b =$ $100$ . Au niveau de la mer, $h =$ $0$ , l'eau bout à $100$ °C. b) $T (4800) = 100 - \frac{4 800}{300} = 100 - 16 = 84$ °C. c) $100 - \frac{h}{300} = 90$ donne $\frac{h}{300} =$ $10$ , donc $h = 3000$ m. d) $T (8849) = 100 - \frac{8 849}{300} \approx 70, 5$ °C. L'eau bout, mais elle ne dépasse pas $70$ °C environ : trop peu pour bien cuire. ⭐ En altitude, l'eau bout PLUS VITE, mais elle est MOINS chaude : c'est la pression de l'air, plus faible là-haut, qui abaisse son point d'ébullition. ⛔ Le piège au a) : lire $a =$ $300$ . On DIVISE par $300$ : le coefficient est $- \frac{1}{300}$ .
Altitude (m) T (°C)
0 100
3 000 90
4 800 84
8 849 70,5
Altitude (m) 0 3 000 4 800 8 849
T (°C) 100 90 84 70,5
18L'orage
Le son se propage dans l'air à une vitesse qui dépend de la température : $v (T) = 0, 6 T +$ $331$ , en m/s, où $T$ est la température en °C. a) Calculer la vitesse du son à $0$ °C, puis à $20$ °C. b) À quelle température le son va-t-il à $340$ m/s ? c) Un soir d'orage, à $20$ °C, on entend le tonnerre $6$ secondes après l'éclair. À quelle distance la foudre est-elle tombée ? d) Que signifie le nombre $0, 6$ ?
Voir la correction
a) $v (0) = 331$ m/s et $v (20) = 0, 6 \times 20 + 331 = 12 + 331 = 343$ m/s. b) $0, 6 T + 331 = 340$ donne $0, 6 T =$ $9$ , donc $T = 15$ °C. c) La lumière de l'éclair arrive presque aussitôt ; le son met $6$ s. Distance $=$ vitesse $\times$ durée $= 343 \times 6 = 2058$ m : la foudre est tombée à environ $2$ km. d) C'est le coefficient directeur : chaque degré de plus, le son va $0, 6$ m/s plus vite. ⭐ La règle des randonneurs : compter les secondes et diviser par $3$ donne la distance en km. Ici, $6 \div 3 = 2$ km. ✓
T (°C) v (m/s)
0 331
15 340
20 343
T (°C) 0 15 20
v (m/s) 331 340 343
19La facture d'électricité
Une facture d'électricité est une fonction affine du nombre $x$ de kWh consommés dans le mois : $F (x) = a x +$ $b$ , où $b$ est l'abonnement mensuel. En janvier, $350$ kWh ont coûté $99, 50$ € ; en mars, $250$ kWh ont coûté $74, 50$ €. a) Calculer le prix du kWh, $a$ , puis l'abonnement, $b$ . b) Quelle sera la facture d'un mois à $180$ kWh ? c) Un autre fournisseur propose $G (x) = 0, 20 x +$ $22$ . Étudier le signe de $F (x) -$ $G (x)$ : à partir de combien de kWh par mois est-il moins cher ?
Voir la correction
a) $a = \frac{99 , 50 - 74 , 50}{350 - 250} = \frac{25}{100} = 0, 25$ € par kWh. Puis $0, 25 \times 350 + b =$ $99, 50$ , soit $87, 50 + b =$ $99, 50$ , donc $b = 12$ €. Ainsi $F (x) = 0, 25 x +$ $12$ . b) $F (180) = 45 + 12 = 57$ €. c) $F (x) - G (x) = 0, 05 x -$ $10$ : nulle en $x =$ $200$ , négative avant, positive après. Au-delà de $200$ kWh par mois, $F (x) >$ $G (x)$ : le second fournisseur est moins cher. ⭐ Un abonnement plus cher peut être rattrapé par un kWh moins cher : c'est le cas des gros consommateurs, pas des petits. ⛔ Le piège au a) : diviser $99, 50$ par $350$ . Ce serait oublier l'abonnement, qu'on paie même sans rien consommer.
x
0
200
+∞
$F (x) - G (x)$
−
0
+
20Les vélos en libre-service
Dans une ville, deux offres de vélos en libre-service. Offre A : $1$ € au déblocage, puis $0, 20$ € la minute. Offre B : $0, 30$ € la minute, sans déblocage. a) Exprimer le prix $A (t)$ et le prix $B (t)$ d'un trajet de $t$ minutes. b) Combien coûte un trajet de $25$ minutes avec chaque offre ? c) Résoudre $A (t) =$ $B (t)$ , et interpréter. d) Étudier le signe de $B (t) -$ $A (t)$ : quelle offre choisir selon la durée du trajet ?
Voir la correction
a) $A (t) = 0, 20 t + 1$ et $B (t) =$ $0, 30 t$ . Deux fonctions affines ; $B$ est même linéaire. b) $A (25) = 5 + 1 = 6$ € et $B (25) = 7, 50$ €. c) $0, 20 t + 1 = 0, 30 t$ donne $1 =$ $0, 10 t$ , donc $t =$ $10$ : pour $10$ minutes, les deux offres coûtent $3$ €. d) $B (t) - A (t) = 0, 10 t -$ $1$ : nulle en $10$ , de coefficient positif, donc négative avant $10$ et positive après. Pour un trajet de moins de $10$ minutes, l'offre B est moins chère ; au-delà, c'est l'offre A. Sur le dessin, A en bleu, B en orange. ⛔ Le piège au d) : choisir une offre une fois pour toutes. La bonne offre dépend de la durée du trajet.
t
0
10
+∞
$B (t) - A (t)$
−
0
+

Altitude (m)	T (°C)
0	100
3 000	90
4 800	84
8 849	70,5

Altitude (m)	0	3 000	4 800	8 849
T (°C)	100	90	84	70,5

T (°C)	v (m/s)
0	331
15	340
20	343

T (°C)	0	15	20
v (m/s)	331	340	343

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Corrigés : les fonctions affines, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Une fonction est affine si elle peut s'écrire $a x +$ $b$ , avec $a$ et $b$ deux nombres. a) $f (x) = - 2 x +$ $7$ : affine, avec $a = - 2$ et $b =$ $7$ . b) $g$ n'est PAS affine, à cause du $x^{2}$ . c) $h (x) =$ $\frac{1}{4} x$ : affine, avec $a = \frac{1}{4}$ et $b =$ $0$ . On dit qu'elle est LINÉAIRE. d) $k (x) = 2 x - 6 + 1 = 2 x -$ $5$ : affine, avec $a = 2$ et $b =$ $- 5$ . e) $u$ n'est PAS affine : le $x$ est au dénominateur. ⛔ Le piège au a) : lire $a =$ $7$ . Le coefficient $a$ est celui qui MULTIPLIE $x$ , où qu'il soit écrit.
2. a) $f (0) =$ $6$ , $f (2) = - 4 \times 2 + 6 = - 8 + 6 = - 2$ et $f (- 1, 5) = - 4 \times (- 1, 5) + 6 = 6 + 6 =$ $12$ . b) $- 4 x + 6 = - 10$ donne $- 4 x =$ $- 16$ , donc $x =$ $4$ . c) $- 4 x + 6 = 0$ donne $- 4 x =$ $- 6$ , donc $x =$ $1, 5$ . ⛔ Le piège au a) : $- 4 \times (- 1, 5)$ vaut $+ 6$ , et non $- 6$ .
x f(x)
−1,5 12
0 6
1,5 0
2 −2
4 −10
x −1,5 0 1,5 2 4
f(x) 12 6 0 −2 −10
3. a) La droite coupe l'axe des ordonnées en $- 1$ : $b =$ $- 1$ . b) Depuis le point $(0; - 1)$ , on avance de $1$ vers la droite : la droite monte de $2$ , jusqu'au point $(1; 1)$ . Donc $a =$ $2$ . c) $f (x) = 2 x -$ $1$ . On vérifie avec un autre point lu, $(2; 3)$ : $2 \times 2 - 1 =$ $3$ . ✓ ⛔ Le piège au b) : lire $a$ là où la droite coupe l'axe des abscisses. Le coefficient se lit en AVANÇANT de $1$ .
4. Le coefficient directeur : $a = \frac{f ( 3 ) - f ( - 1 )}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 1 - 7}{4} = \frac{- 8}{4} =$ $- 2$ . On trouve $b$ avec l'un des deux points : $f (- 1) = - 2 \times (- 1) + b = 2 + b =$ $7$ , donc $b =$ $5$ . Ainsi $f (x) = - 2 x +$ $5$ . On vérifie avec l'autre point : $f (3) = - 6 + 5 =$ $- 1$ . ✓ ⛔ Le piège : écrire $3 - 1$ au dénominateur au lieu de $3 -$ $(- 1)$ .
5. $- 2 x + 7 = 0$ donne $x = \frac{7}{2} =$ $3, 5$ . $a = - 2$ est négatif : $f (x)$ est POSITIF avant $3, 5$ et NÉGATIF après. Vérification : $f (0) =$ $7$ , positif. ✓ ⛔ Le piège : écrire « $-$ avant, $+$ après » par habitude. À droite de la valeur qui annule, c'est le signe de $a$ .
x
−∞
$3, 5$
+∞
$- 2 x + 7$
+
0
−
6. a) $b = f (0) =$ $- 2$ . Et $a$ est ce dont $f (x)$ augmente quand $x$ augmente de $1$ : $a =$ $3$ . Donc $f (x) = 3 x -$ $2$ . b) $f (1) = 3 - 2 =$ $1$ , $f (4) = 12 - 2 = 10$ et $f (- 2) = - 6 - 2 =$ $- 8$ . ⭐ Les accroissements sont PROPORTIONNELS : de $x = 1$ à $x =$ $4$ , $x$ augmente de $3$ , et $f (x)$ de $3 \times 3 =$ $9$ , de $1$ à $10$ .
x −2 0 1 4
f(x) −8 −2 1 10
7. a) $F (20) = 1, 8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$ °F. Et $F (100) = 180 + 32 = 212$ °F : l'eau bout à $212$ °F. b) On cherche l'antécédent : $1, 8 c + 32 = 98, 6$ donne $1, 8 c =$ $66, 6$ , donc $c = 37$ °C. C'est la température du corps humain. c) On veut $1, 8 c + 32 =$ $c$ , soit $0, 8 c =$ $- 32$ , donc $c =$ $- 40$ . $- 40$ °C, c'est aussi $- 40$ °F. ⛔ Le piège au b) : calculer $F (98, 6)$ . On connaît l'image, on cherche l'antécédent.
°C °F
−40 −40
0 32
20 68
37 98,6
100 212
°C −40 0 20 37 100
°F −40 32 68 98,6 212
8. a) $f (0) = 3$ et $f (4) = - 2 + 3 =$ $1$ . b) Une droite se trace avec DEUX points : $(0; 3)$ et $(4; 1)$ . On les relie à la règle, et on prolonge. c) On résout $- \frac{1}{2} x + 3 =$ $0$ : $\frac{1}{2} x =$ $3$ , donc $x =$ $6$ . La droite coupe l'axe au point $(6; 0)$ . ⭐ Choisir $x =$ $4$ , un multiple de $2$ , évite les fractions : $- \frac{1}{2} \times 4 =$ $- 2$ .
9. a) $a = \frac{5 - ( - 1 )}{6 - 2} = \frac{6}{4} =$ $1, 5$ . Puis $f (2) = 1, 5 \times 2 + b = 3 + b =$ $- 1$ , donc $b =$ $- 4$ . Ainsi $f (x) = 1, 5 x -$ $4$ . b) $f (10) = 15 - 4 =$ $11$ . c) $1, 5 x - 4 = 0$ donne $1, 5 x =$ $4$ , donc $x = \frac{4}{1 , 5} =$ $\frac{8}{3}$ . ⭐ On vérifie le a) avec l'autre point : $f (6) = 9 - 4 =$ $5$ . ✓ ⛔ Le piège au c) : écrire $2, 67$ , qui n'est qu'une valeur approchée de $\frac{8}{3}$ .
10. a) $4 - 0, 8 x = 0$ donne $0, 8 x =$ $4$ , donc $x =$ $5$ . Le coefficient $- 0, 8$ est négatif : $+$ avant $5$ , $-$ après. b) $f (x) > 0$ pour $x <$ $5$ : les solutions forment $] - \infty; 5 [$ . c) $4 - 0, 8 x ⩾ 2$ donne $- 0, 8 x ⩾$ $- 2$ . On divise par $- 0, 8$ , négatif : le sens se retourne, $x ⩽$ $2, 5$ . Les solutions forment $] - \infty; 2, 5]$ . ⛔ Le piège au c) : garder le sens en divisant par $- 0, 8$ .
x
−∞
5
+∞
$4 - 0, 8 x$
+
0
−
11. a) On résout $f (x) =$ $g (x)$ : $2 x - 3 = - x +$ $6$ , donc $3 x = 9$ et $x =$ $3$ . Puis $f (3) = 6 - 3 =$ $3$ . Le point d'intersection est $(3; 3)$ . b) $f (x) - g (x) = 2 x - 3 + x - 6 = 3 x -$ $9$ : une fonction affine, nulle en $3$ , de coefficient $3$ positif. Elle est négative avant $3$ , positive après. c) La droite de $f$ est au-dessus quand $f (x) - g (x) >$ $0$ : sur $] 3; + \infty [$ . ⛔ Le piège au b) : écrire $2 x - 3 - x +$ $6$ . Le moins porte sur TOUT $g (x)$ .
x
−∞
3
+∞
$3 x - 9$
−
0
+
12. a) Même coefficient directeur : $g (x) = 3 x +$ $b$ . Le point $A$ donne $g (2) =$ $- 4$ : $6 + b =$ $- 4$ , donc $b =$ $- 10$ . Ainsi $g (x) = 3 x -$ $10$ . b) Même coefficient directeur, mais ordonnées à l'origine différentes ( $- 1$ et $- 10$ ) : les droites sont PARALLÈLES, sans point commun. ⛔ Le piège au a) : reprendre aussi le $b$ de $f$ . Seule la pente est commune.
13. a) La droite bleue coupe l'axe des ordonnées en $3$ , et descend de $1$ quand on avance de $1$ : $f (x) = - x +$ $3$ . b) La droite orange coupe l'axe des ordonnées en $- 2$ . Quand on avance de $2$ , elle monte de $3$ : $a = \frac{3}{2} =$ $1, 5$ , et $g (x) = 1, 5 x -$ $2$ . c) $- x + 3 = 1, 5 x - 2$ donne $2, 5 x =$ $5$ , donc $x =$ $2$ . Puis $f (2) =$ $1$ : le point d'intersection est $(2; 1)$ , bien visible sur le dessin. ⛔ Le piège au b) : lire $a =$ $3$ , parce qu'on a avancé de $2$ sans diviser.
14. a) Chaque minute, $12$ L s'en vont : au bout de $t$ minutes, $12 t$ litres sont partis, et il reste $150 -$ $12 t$ . C'est une fonction affine, avec $a = - 12$ et $b =$ $150$ . b) $V (5) = 150 - 60 = 90$ L. c) $150 - 12 t = 30$ donne $12 t =$ $120$ , donc $t = 10$ minutes. d) $150 - 12 t = 0$ donne $t =$ $12, 5$ : la baignoire est vide au bout de $12$ min $30$ s. $V$ a un sens sur $[0; 12, 5]$ : avant, on n'a pas ouvert ; après, il n'y a plus d'eau. ⭐ Le coefficient directeur, c'est le débit : $a =$ $- 12$ , le volume diminue de $12$ L chaque minute.
t (min) 0 5 10 12,5
V (L) 150 90 30 0
15. a) $f$ est affine, de coefficient $a = m -$ $2$ . Elle est décroissante quand $a <$ $0$ : $m - 2 <$ $0$ , soit $m <$ $2$ . b) Elle est constante quand $a =$ $0$ : $m =$ $2$ , et alors $f (x) =$ $1$ . c) $f (3) = 3 (m - 2) + 1 = 3 m -$ $5$ . On résout $3 m - 5 =$ $7$ : $3 m =$ $12$ , donc $m =$ $4$ . Alors $f (x) = 2 x +$ $1$ , et $f (3) =$ $7$ . ✓ ⛔ Le piège au a) : répondre « $m <$ $0$ ». C'est le coefficient $m - 2$ qui doit être négatif, pas $m$ .
16. a) Couper l'axe des abscisses en $2$ , c'est passer par le point $(2; 0)$ : $f (2) =$ $0$ . $a = \frac{0 - 6}{2 - ( - 1 )} = \frac{- 6}{3} =$ $- 2$ . Puis $f (2) = - 4 + b =$ $0$ , donc $b =$ $4$ . Ainsi $f (x) = - 2 x +$ $4$ . b) $f$ s'annule en $2$ , et $a = - 2$ est négatif : $+$ avant $2$ , $-$ après. ⭐ On vérifie avec $A$ : $f (- 1) = 2 + 4 =$ $6$ . ✓
x
−∞
2
+∞
$- 2 x + 4$
+
0
−
17. Les pâtes au sommet a) $T (h) = - \frac{1}{300} h +$ $100$ : c'est la forme $ah +$ $b$ , avec $a = - \frac{1}{300}$ et $b =$ $100$ . Au niveau de la mer, $h =$ $0$ , l'eau bout à $100$ °C. b) $T (4800) = 100 - \frac{4 800}{300} = 100 - 16 = 84$ °C. c) $100 - \frac{h}{300} = 90$ donne $\frac{h}{300} =$ $10$ , donc $h = 3000$ m. d) $T (8849) = 100 - \frac{8 849}{300} \approx 70, 5$ °C. L'eau bout, mais elle ne dépasse pas $70$ °C environ : trop peu pour bien cuire. ⭐ En altitude, l'eau bout PLUS VITE, mais elle est MOINS chaude : c'est la pression de l'air, plus faible là-haut, qui abaisse son point d'ébullition. ⛔ Le piège au a) : lire $a =$ $300$ . On DIVISE par $300$ : le coefficient est $- \frac{1}{300}$ .
Altitude (m) T (°C)
0 100
3 000 90
4 800 84
8 849 70,5
Altitude (m) 0 3 000 4 800 8 849
T (°C) 100 90 84 70,5
18. L'orage a) $v (0) = 331$ m/s et $v (20) = 0, 6 \times 20 + 331 = 12 + 331 = 343$ m/s. b) $0, 6 T + 331 = 340$ donne $0, 6 T =$ $9$ , donc $T = 15$ °C. c) La lumière de l'éclair arrive presque aussitôt ; le son met $6$ s. Distance $=$ vitesse $\times$ durée $= 343 \times 6 = 2058$ m : la foudre est tombée à environ $2$ km. d) C'est le coefficient directeur : chaque degré de plus, le son va $0, 6$ m/s plus vite. ⭐ La règle des randonneurs : compter les secondes et diviser par $3$ donne la distance en km. Ici, $6 \div 3 = 2$ km. ✓
T (°C) v (m/s)
0 331
15 340
20 343
T (°C) 0 15 20
v (m/s) 331 340 343
19. La facture d'électricité a) $a = \frac{99 , 50 - 74 , 50}{350 - 250} = \frac{25}{100} = 0, 25$ € par kWh. Puis $0, 25 \times 350 + b =$ $99, 50$ , soit $87, 50 + b =$ $99, 50$ , donc $b = 12$ €. Ainsi $F (x) = 0, 25 x +$ $12$ . b) $F (180) = 45 + 12 = 57$ €. c) $F (x) - G (x) = 0, 05 x -$ $10$ : nulle en $x =$ $200$ , négative avant, positive après. Au-delà de $200$ kWh par mois, $F (x) >$ $G (x)$ : le second fournisseur est moins cher. ⭐ Un abonnement plus cher peut être rattrapé par un kWh moins cher : c'est le cas des gros consommateurs, pas des petits. ⛔ Le piège au a) : diviser $99, 50$ par $350$ . Ce serait oublier l'abonnement, qu'on paie même sans rien consommer.
x
0
200
+∞
$F (x) - G (x)$
−
0
+
20. Les vélos en libre-service a) $A (t) = 0, 20 t + 1$ et $B (t) =$ $0, 30 t$ . Deux fonctions affines ; $B$ est même linéaire. b) $A (25) = 5 + 1 = 6$ € et $B (25) = 7, 50$ €. c) $0, 20 t + 1 = 0, 30 t$ donne $1 =$ $0, 10 t$ , donc $t =$ $10$ : pour $10$ minutes, les deux offres coûtent $3$ €. d) $B (t) - A (t) = 0, 10 t -$ $1$ : nulle en $10$ , de coefficient positif, donc négative avant $10$ et positive après. Pour un trajet de moins de $10$ minutes, l'offre B est moins chère ; au-delà, c'est l'offre A. Sur le dessin, A en bleu, B en orange. ⛔ Le piège au d) : choisir une offre une fois pour toutes. La bonne offre dépend de la durée du trajet.
t
0
10
+∞
$B (t) - A (t)$
−
0
+

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : les fonctions affines, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3