Ensembles et logique : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : ensembles et logique, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. a) $3\in$$\mathbb{N}$, un entier naturel. b) $-2\notin$$\mathbb{N}$ : il est négatif. Mais $-2\in$$\mathbb{Z}$. c) $0,5=\frac{1}{2}\in$$\mathbb{Q}$. d) $\sqrt{2}\notin$$\mathbb{Q}$ : il est irrationnel. e) $\pi \in \mathbb{R}$ (mais $\pi \notin$$\mathbb{Q}$). f) $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset$$\mathbb{R}$ : chaque ensemble est contenu dans le suivant. ⛔ Le piège : écrire $3\subset$$\mathbb{N}$. $\subset$ relie deux ENSEMBLES ; entre un élément et un ensemble, c'est $\in$. (On écrirait $\{3\}\subset$$\mathbb{N}$.)

   Nombre	ℕ	ℤ	ℚ	ℝ
   3	oui	oui	oui	oui
   −2	non	oui	oui	oui
   0,5	non	non	oui	oui
   √2	non	non	non	oui
   π	non	non	non	oui

2. 2. a) $B=$$\{2;4;6;8;10\}$. b) Chaque élément de $A$ est dans $B$ : $A\subset$$B$. Mais $10\in B$ et $10\notin$$A$ : $B$ n'est PAS inclus dans $A$. ⭐ Pour prouver $A\subset$$B$, il faut vérifier TOUS les éléments de $A$ ; pour prouver que $B\not\subset$$A$, UN élément suffit.
3. 3. On dessine les deux intervalles l'un sous l'autre, avec les mêmes graduations : l'intersection se lit à la verticale. $I\cap$$J$ : les réels dans les DEUX, là où ils se chevauchent. $I\cap J=]1;5]$ ($1$ est exclu, car exclu de $J$ ; $5$ est inclus, car inclus dans les deux). $I\cup$$J$ : les réels dans l'un OU l'autre. $I\cup J=$$[-2;7]$. ⛔ Le piège : écrire $I\cap J=$$[1;5]$. Pour être dans l'intersection, une borne doit être dans les DEUX intervalles.
4. 4. a) $A=\{1;2;3;4;6;12\}$ et $B=$$\{1;2;3;6;9;18\}$. b) $A\cap B=\{1;2;3;6\}$ et $A\cup B=$$\{1;2;3;4;6;9;12;18\}$. c) Les diviseurs COMMUNS de $12$ et $18$. Le plus grand, $6$, est leur PGCD. ⛔ Le piège au b) : écrire deux fois $1$, $2$, $3$ et $6$ dans la réunion. Un ensemble ne répète pas ses éléments.
5. 5. a) « Et » : il faut les DEUX conditions à la fois. $x$ est entre $2$ et $5$, bornes exclues : $]2;5[$. C'est l'intersection de $]2;+\infty [$ et de $]-$$\infty ;5[$. b) « Ou » : UNE des deux conditions suffit. $]-$$\infty ;-1[\cup ]3;+\infty [$. C'est une réunion, en deux morceaux. ⛔ Le piège au b) : écrire $]3;-1[$, qui ne veut rien dire. Un « ou » entre deux zones séparées donne DEUX intervalles.
6. 6. a) « Il ne pleut pas OU il ne fait pas froid. » La négation d'un « et » est un « ou » : il suffit que l'une des deux conditions manque. b) « Au moins un élève de la classe n'a pas réussi. » La négation de « tous » n'est pas « aucun » : un seul échec suffit. c) « $x<$$3$ » (et non $x⩽$$3$ : le $3$ lui-même vérifie $x⩾$$3$). ⛔ Le piège au b) : « Aucun élève n'a réussi ». C'est trop fort : il suffit d'UN élève qui échoue pour que « tous ont réussi » soit faux.
7. 7. C'est vrai pour beaucoup de nombres : $3^2=9⩾$$3$, $(-2{)}^2=4⩾$$-2$. Mais avec $x=$$0,5$ : $0,5^2=$$0,25$, et $0,25<$$0,5$. C'est un CONTRE-EXEMPLE : l'affirmation est fausse. ⭐ Sur le dessin, la parabole $y=x^2$ passe SOUS la droite $y=x$ entre $0$ et $1$ : tous les nombres de $]0;1[$ sont des contre-exemples. ⛔ Le piège : conclure « c'est vrai » après trois exemples. Des exemples ne prouvent jamais un « pour tout ».
8. 8. a) Si $n=$$4k$, alors $n=2\times$$(2k)$ : $n$ est pair. L'implication est VRAIE. b) La réciproque échange les deux parties : « si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$ ». Elle est FAUSSE : $6$ est pair, mais n'est pas un multiple de $4$. C'est un contre-exemple. ⭐ Une implication vraie peut avoir une réciproque fausse : il faut toujours les vérifier séparément.

   n	pair ?	multiple de 4 ?
   2	oui	non
   4	oui	oui
   6	oui	non
   8	oui	oui
   10	oui	non
   12	oui	oui

9. 9. a) VRAI : si $x=$$2$, alors $x^2=$$4$. b) FAUX : $x=-2$ vérifie $x^2=4$ mais pas $x=$$2$. C'est un contre-exemple. c) $x^2=4\iff x=2$ ou $x=$$-2$. ⭐ Sur le dessin : la droite horizontale $y=4$ coupe la parabole en DEUX points, d'abscisses $-2$ et $2$. ⛔ Le piège : oublier la solution négative. « Prendre la racine » des deux côtés ne donne que $2$.
10. 10. a) Les réels qui ne sont PAS inférieurs ou égaux à $2$ : $\overline{A}=$$]2;+\infty [$. Le $2$ appartient à $A$, donc pas à son complémentaire. b) $A\cap B=[0;2]$ et $\overline{A}\cap B=$$]2;5]$. ⭐ Les deux morceaux se recollent : $[0;2]\cup ]2;5]=[0;5]=$$B$, sans chevauchement. ⛔ Le piège au a) : écrire $[2;+\infty [$. Un réel ne peut pas être à la fois dans $A$ et dans $\overline{A}$.
11. 11. a) « $x⩾$$1$ ET $x⩽$$4$ ». b) La négation d'un « et » est un « ou » : « $x<$$1$ OU $x>$$4$ ». L'ensemble correspondant est $]-$$\infty ;1[\cup ]4;+\infty [$. ⛔ Le piège : « $x<$$1$ ET $x>$$4$ ». Aucun réel n'est à la fois plus petit que $1$ et plus grand que $4$ : on obtiendrait l'ensemble vide.
12. 12. a) $A=$$\{3;6;9;12;15;18\}$, $B=$$\{5;10;15;20\}$, et $A\cap B=$$\{15\}$ : les multiples de $15$. b) $6+4-1=9$ éléments : on retire $15$, compté deux fois. Le complémentaire de $A\cup B$ en a $20-9=$$11$. ⭐ C'est la même règle qu'en probabilités : pour une réunion, on ajoute, puis on retire ce qui a été compté deux fois.
13. 13. a) Négation : « Il existe un nombre premier qui n'est pas impair », c'est-à-dire pair. Elle est VRAIE : $2$ est premier et pair. La phrase de départ est donc fausse, et $2$ en est le contre-exemple. b) Négation : « Pour tout réel $x$, $x^2⩾$$0$. » Elle est VRAIE : un carré n'est jamais négatif. La phrase de départ est fausse. ⭐ Une phrase et sa négation ne sont jamais vraies ensemble, ni fausses ensemble : exactement l'une des deux est vraie.

    nombre premier	pair ?
    2	oui
    3	non
    5	non
    7	non
    11	non

14. 14. a) $n$ impair s'écrit $n=2k+$$1$, avec $k$ entier. Alors $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+$$1$ : c'est un nombre impair. b) Réciproque : « si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair ». Supposons $n^2$ impair : $n$ ne peut pas être pair, car alors $n^2$ serait pair. Donc $n$ est impair : la réciproque est vraie. c) Oui : « $n$ est impair $\iff$ $n^2$ est impair ». ⭐ Au b), on a raisonné « par l'absurde » : on écarte la seule autre possibilité. ⛔ Le piège au a) : vérifier sur $1$, $3$, $5$ et s'arrêter là. Des exemples ne démontrent rien ; la lettre $k$ couvre TOUS les impairs à la fois.

    n	n²	parité de n²
    1	1	impair
    2	4	pair
    3	9	impair
    4	16	pair
    5	25	impair
    6	36	pair

15. 15. On résout d'abord l'inéquation : $2x-1>3$ donne $2x>$$4$, donc $x>$$2$. a) « $x>$$2$ et $x⩽$$6$ » : $]2;6]$, une intersection. b) « $x>$$2$ ou $x⩽$$0$ » : $]-$$\infty ;0]\cup ]2;+\infty [$, une réunion en deux morceaux. ⭐ Même inéquation, même droite graduée ; seul le connecteur change, et avec lui toute la réponse.
16. 16. a) VRAI : un carré est un rectangle, et les diagonales d'un rectangle ont la même longueur. b) Réciproque : « si les diagonales ont la même longueur, alors $ABCD$ est un carré ». FAUX : un rectangle non carré, comme sur le dessin, a des diagonales de même longueur sans être un carré. c) VRAI dans les deux sens : c'est la caractérisation du parallélogramme par ses diagonales. ⛔ Le piège au b) : croire que « mêmes diagonales » suffit. Pour un carré, il faut AUSSI qu'elles soient perpendiculaires et qu'elles aient le même milieu.
17. 17. Le feu rouge a) « Si je m'arrête, alors le feu est rouge. » FAUSSE : on s'arrête aussi à un stop, pour laisser passer un piéton, dans un bouchon. b) La règle est fausse seulement quand « le feu est rouge ET je ne m'arrête pas ». C'est la seule case d'infraction du tableau. c) Il ne s'est pas arrêté ; s'il respecte la règle, le feu ne pouvait PAS être rouge. « Si je ne m'arrête pas, alors le feu n'est pas rouge » dit la même chose que la règle : c'est sa CONTRAPOSÉE. ⭐ La réciproque change le sens ; la contraposée le garde.

    	Je m'arrête	Je passe
    Feu rouge	règle respectée	INFRACTION
    Feu pas rouge	règle respectée	règle respectée

18. 18. Qui a droit à l'aide ? a) « moins de $25$ ans » ET (« étudiant » OU « demandeur d'emploi ») : l'âge est obligatoire, puis l'une des deux situations. b) Lou : $19<25$ et étudiante, OUI. Malik : moins de $25$ ans mais ni étudiant ni demandeur d'emploi, NON. Nina : $31$ ans, NON, la condition d'âge manque. Théo : $24<25$ et demandeur d'emploi, OUI. c) Avec l'autre lecture, tout demandeur d'emploi y aurait droit, quel que soit son âge : Nina, à $31$ ans, deviendrait bénéficiaire. ⭐ Un règlement mal parenthésé n'est pas un détail : ici, il change qui reçoit l'argent.

    	Âge < 25	Étudiant ou DE	Aide
    Lou	oui	oui	OUI
    Malik	oui	non	non
    Nina	non	oui	non
    Théo	oui	oui	OUI

19. 19. La formule qui se trompe à 40 a) $41$, $43$ et $47$ : trois nombres premiers. b) Non : quarante exemples ne prouvent pas un « pour tout ». Il faudrait une démonstration. c) $40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2=41\times$$41$ : ce n'est PAS un nombre premier. $n=40$ est un contre-exemple : l'affirmation « pour tout entier naturel $n$, $n^2+n+41$ est premier » est fausse. ⭐ Astuce pour le voir sans calcul : $40^2+40+41=40\times 41+41=41\times$$41$. ⛔ Le piège : s'arrêter aux premiers exemples. C'est exactement l'erreur que l'exercice veut faire toucher du doigt.

    n	n² + n + 41	premier ?
    0	41	oui
    1	43	oui
    2	47	oui
    39	1601	oui
    40	1681	NON : 41 × 41

20. 20. L'aquarium pour deux espèces a) Il faut convenir aux DEUX : $N\cap D=$$[25;28]$. b) Il suffit de convenir à l'une : $N\cup D=$$[22;30]$. c) $24\in$$N$ : le néon va bien. $24\notin$$D$ : c'est trop froid pour le disque. Donc $24\notin N\cap$$D$, mais $24\in N\cup$$D$. ⭐ Pour garder les deux espèces, on règle le chauffage entre $25$ et $28$ °C, par exemple à $26$ °C.