La fluctuation d'échantillonnage : 20 exercices corrigésmaths STMG — du geste seul au problème de contrôle

Corrigés : la fluctuation d'échantillonnage, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. 1. L'axe va de 0,1 en 0,1. Une barre entre deux lignes vaut le nombre du milieu. a) La plus basse est celle de l'échantillon 4 : au milieu, entre 0,3 et 0,4, soit 0,35. La plus haute, celle de l'échantillon 7 : au milieu, entre 0,6 et 0,7, soit 0,65. b) Les barres sur la ligne 0,5 : les échantillons 3 et 8. 2 échantillons. c) $0,65\times 20=13$ « pile ». d) C'est la fluctuation d'échantillonnage : chaque série de 20 lancers est un nouveau hasard. Les fréquences se répartissent AUTOUR de 0,5, sans tomber dessus à chaque fois. ⛔ Le piège : conclure que la pièce est truquée parce que l'échantillon 7 donne 0,65. Sur 20 lancers, de tels écarts sont courants. Réponse : a) 0,35 (échantillon 4) et 0,65 (échantillon 7) ; b) 2 ; c) 13 ; d) la fluctuation d'échantillonnage.
2. 2. a) n = 25 : la plus grande fréquence est 0,32, la plus petite 0,12. $0,32-0,12=$$0,2$. n = 400 : la plus grande est 0,215, la plus petite 0,1875. $0,215-0,1875=$$0,0275$. b) Les échantillons de 400 pièces : leurs fréquences restent toutes près de 0,2. c) $0,28\times 25=7$ pièces défectueuses. ⭐ Plus l'échantillon est grand, moins la fréquence fluctue autour de p. ⛔ Le piège au a) : comparer deux valeurs au hasard. L'étendue, c'est la plus grande moins la plus petite. Réponse : a) 0,2 et 0,0275 ; b) n = 400 ; c) 7 pièces.
3. 3. a) $\frac{1}{\sqrt{400}}=\frac{1}{20}=$$0,05$. b) De $0,42-0,05=0,37$ à $0,42+0,05=$$0,47$ : l'intervalle [0,37 ; 0,47]. c) $f=180÷400=$$0,45$. Distance : $0,45-0,42=$$0,03$, moins que 0,05. La fréquence est dans l'intervalle : la collecte est ordinaire, l'écart est une simple fluctuation. ⛔ Le piège au c) : s'étonner que f ne vaille pas 0,42. Sur 400 donneurs, un écart de 0,03 est banal. Réponse : a) 0,05 ; b) [0,37 ; 0,47] ; c) 0,45, distance 0,03 : ordinaire.
4. 4. a) $\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}=$$0,1$ ; $\frac{1}{\sqrt{400}}=\frac{1}{20}=$$0,05$ ; $\frac{1}{\sqrt{1000}}\approx$$0,032$ ; $\frac{1}{\sqrt{2500}}=\frac{1}{50}=$$0,02$ ; $\frac{1}{\sqrt{10000}}=\frac{1}{100}=$$0,01$. b) $0,1÷0,05=$$2$ : divisée par 2, alors que n a été multiplié par 4. c) $0,1÷0,01=$$10$ : divisée par 10, alors que n a été multiplié par 100. ⛔ Le piège : croire qu'un échantillon 4 fois plus grand est 4 fois plus précis. La précision suit la RACINE de n. Réponse : a) 0,1 ; 0,05 ; environ 0,032 ; 0,02 ; 0,01 ; b) par 2 ; c) par 10.
5. 5. a) $\frac{1}{\sqrt{100}}=$$0,1$. De $0,5-0,1=0,4$ à $0,5+0,1=$$0,6$ : l'intervalle [0,4 ; 0,6]. b) $f=62÷100=$$0,62$. Distance à 0,5 : $0,62-0,5=$$0,12$, plus que 0,1. L'observation est rare. c) Non : une série rare arrive environ une fois sur vingt avec une pièce équilibrée. Mais elle fait douter : l'arbitre a raison de changer de pièce, ou de relancer une longue série. ⛔ Le piège au c) : confondre « rare » et « impossible ». Réponse : a) [0,4 ; 0,6] ; b) rare ; c) non, mais on peut douter de la pièce.
6. 6. a) Sur $105+100=205$ naissances, 105 garçons : $p=105÷205\approx$$0,512$. b) $\frac{1}{\sqrt{2500}}=\frac{1}{50}=$$0,02$. De $0,512-0,02=0,492$ à $0,512+0,02=$$0,532$ : l'intervalle [0,492 ; 0,532]. c) $f=1340÷2500=$$0,536$. C'est plus que 0,532 : l'observation est rare. Ce n'est pas une anomalie prouvée, mais un écart qu'on surveille l'année suivante. ⛔ Le piège au a) : prendre p = 105 ÷ 100. La proportion se calcule sur toutes les naissances, garçons ET filles. Réponse : a) environ 0,512 ; b) [0,492 ; 0,532] ; c) non, 0,536 est une fréquence rare.
7. 7. a) Diviser $\frac{1}{\sqrt{n}}$ par 2 demande de multiplier n par $2^2=$$4$ : $400\times 4=1600$ adhérents. Contrôle : $\frac{1}{\sqrt{1600}}=\frac{1}{40}=$$0,025$. b) $\frac{1}{\sqrt{800}}\approx$$0,035$ : pas assez précis. ⛔ Le piège au b) : doubler n pour diviser la distance par 2. La racine de 2 ne vaut pas 2 : il faut multiplier n par 4. Réponse : a) 1600 adhérents ; b) environ 0,035.

   taille n	1 ÷ √n
   400	0,05
   800	≈ 0,035
   1600	0,025

8. 8. a) Diviser par 3 demande de multiplier n par $3^2=$$9$ : $100\times 9=900$ graines. Contrôle : $\frac{1}{\sqrt{900}}=\frac{1}{30}\approx$$0,033$, et $0,1÷3\approx$$0,033$. b) $\frac{1}{\sqrt{2500}}=\frac{1}{50}=$$0,02$, et $0,1÷0,02=$$5$ : divisée par 5. En effet, $2500=100\times 25=100\times$$5^2$. ⛔ Le piège au a) : multiplier par 3. Il faut multiplier par le CARRÉ de 3. Réponse : a) 900 graines ; b) par 5.

   taille n	1 ÷ √n
   100	0,1
   900	≈ 0,033
   2500	0,02

9. 9. a) $\frac{1}{\sqrt{100}}=$$0,1$. De $0,3-0,1=0,2$ à $0,3+0,1=$$0,4$ : l'intervalle [0,2 ; 0,4]. b) Je cherche les fréquences sous 0,2 ou au-dessus de 0,4 : seule 0,41 (échantillon 8) est dehors. 1 échantillon. c) $20-1=19$ échantillons dans l'intervalle. $19÷20=$$0,95$, soit 95 % : c'est exactement ce que prévoit la règle. ⛔ Le piège au b) : compter 0,22 ou 0,38 comme dehors. Elles sont proches des bornes, mais à l'intérieur. Réponse : a) [0,2 ; 0,4] ; b) 1 ; c) 95 %, conforme.
10. 10. a) $\frac{1}{\sqrt{1000}}\approx$$0,032$. Bornes : $0,5855-0,0316\approx 0,554$ et $0,5855+0,0316\approx$$0,617$. L'intervalle [0,554 ; 0,617]. b) A : $0,5855-0,57=$$0,0155$. B : $0,61-0,5855=$$0,0245$. C : $0,5855-0,54=$$0,0455$. Seule la distance de C dépasse 0,0316 : 0,54 est hors de l'intervalle. Le sondage C donne une fréquence rare. ⛔ Le piège au a) : arrondir 1 ÷ √1000 à 0,03 avant de calculer les bornes. On garde 0,0316, et l'on arrondit à la fin. Réponse : a) [0,554 ; 0,617] ; b) 0,0155, 0,0245 et 0,0455 : le sondage C est rare.
11. 11. a) $\frac{1}{\sqrt{400}}=$$0,05$. De $0,8-0,05=0,75$ à $0,8+0,05=$$0,85$ : l'intervalle [0,75 ; 0,85]. b) Mars : $316÷400=$$0,79$, dans l'intervalle, fréquence courante. Avril : $284÷400=$$0,71$, sous 0,75 : fréquence rare. c) En avril, la ponctualité observée est rare si l'annonce de 80 % était vraie : l'association peut mettre en doute cette annonce et demander des explications. Elle ne peut pas écrire que l'annonce est fausse : c'est un doute, pas une preuve. ⛔ Le piège : juger mars « mauvais » parce que 0,79 est sous 0,8. Il est dans l'intervalle : l'écart est une fluctuation. Réponse : a) [0,75 ; 0,85] ; b) 0,79 et 0,71, avril est rare ; c) elle peut douter de l'annonce, sans la déclarer fausse.
12. 12. a) $\frac{1}{\sqrt{900}}=\frac{1}{30}\approx$$0,0333$. Bornes : $0,35-0,0333\approx 0,317$ et $0,35+0,0333\approx$$0,383$. L'intervalle [0,317 ; 0,383]. b) Sud : 0,36, dans l'intervalle, courant. Nord : 0,30, sous 0,317 : rare. L'agence Nord a sans doute un vrai retard sur l'application. ⛔ Le piège au b) : dire que Sud « fait mieux que prévu ». 0,36 est à 0,01 de p : c'est une simple fluctuation. Réponse : a) [0,317 ; 0,383] ; b) l'agence Nord.
13. 13. a) A : $\frac{1}{\sqrt{900}}=\frac{1}{30}\approx$$0,033$. B : $\frac{1}{\sqrt{3600}}=\frac{1}{60}\approx$$0,017$. b) Le sondage B, deux fois plus précis : $3600=900\times 4=900\times$$2^2$, donc la distance est divisée par 2. c) $\frac{1}{\sqrt{n}}=0,01$ quand $\sqrt{n}=$$100$, soit $n=100^2=10000$ personnes. ⛔ Le piège au b) : répondre « 4 fois plus précis » parce que B a interrogé 4 fois plus de monde. Réponse : a) environ 0,033 et 0,017 ; b) B, 2 fois plus précis ; c) 10 000 personnes.
14. 14. a) $\frac{1}{\sqrt{100}}=$$0,1$. L'intervalle [0,4 ; 0,6]. b) 0,46 et 0,54 sont toutes deux dans l'intervalle : ce sont des fréquences courantes, même si les deux affiches se valent. c) Non. Un écart de 0,08 entre deux échantillons de 100 passants s'explique très bien par la fluctuation. Pour départager les affiches, il faut des échantillons bien plus grands. ⛔ Le piège : comparer deux fréquences sans regarder la taille des échantillons. Réponse : a) [0,4 ; 0,6] ; b) courantes toutes les deux ; c) non, l'écart peut venir de la fluctuation.
15. 15. a) $\frac{1}{\sqrt{400}}=$$0,05$. De $0,25-0,05=0,2$ à $0,25+0,05=$$0,3$ : l'intervalle [0,2 ; 0,3]. b) Avant : $90÷400=$$0,225$, dans l'intervalle, courante. Après : $132÷400=$$0,33$, au-dessus de 0,3, rare. c) Si le taux d'achat était resté 25 %, une journée à 0,33 serait rare : le nouveau design a probablement fait monter les achats. À confirmer sur d'autres journées. ⛔ Le piège : croire qu'une fréquence rare est forcément mauvaise. Elle peut être rare par le haut. Réponse : a) [0,2 ; 0,3] ; b) 0,225 courante, 0,33 rare ; c) il a sans doute augmenté les achats.
16. 16. a) $500\times 15=7500$ €. b) Diviser la distance par 2 demande de multiplier n par 4 : $500\times 4=2000$ entretiens, soit $2000\times 15=30000$ €. c) $30000÷7500=$$4$ : le prix est multiplié par 4. ⭐ Vérification : $\frac{1}{\sqrt{500}}\approx 0,045$ et $\frac{1}{\sqrt{2000}}\approx$$0,022$, deux fois moins. ⛔ Le piège : promettre au client « deux fois plus précis pour deux fois plus cher ». La précision coûte le carré. Réponse : a) 7500 € ; b) 2000 entretiens, $30000$ € ; c) par 4.

    entretiens	coût	1 ÷ √n
    500	7500 €	≈ 0,045
    2000	30 000 €	≈ 0,022

17. 17. La roulette du casino a) $p=18÷37\approx$$0,486$. b) $\frac{1}{\sqrt{2500}}=$$0,02$. Bornes : $0,4865-0,02\approx 0,466$ et $0,4865+0,02\approx$$0,506$. L'intervalle [0,466 ; 0,506]. c) $f=1300÷2500=$$0,52$, plus que 0,506 : la fréquence est rare. d) Elle fait douter de l'équilibre de la roulette. L'inspecteur fait contrôler la table (inclinaison, usure du cylindre) ; ce n'est pas encore une preuve de tricherie. ⛔ Le piège au a) : prendre p = 0,5 en oubliant le zéro. Avec 0,5, l'intervalle [0,48 ; 0,52] contiendrait 0,52 : on manquerait l'anomalie. Réponse : a) environ 0,486 ; b) [0,466 ; 0,506] ; c) 0,52, rare ; d) faire contrôler la table.
18. 18. Le sondage de la mairie a) $\frac{1}{\sqrt{400}}=$$0,05$. L'intervalle [0,45 ; 0,55]. b) $f=228÷400=$$0,57$, au-dessus de 0,55 : si la ville était coupée en deux, ce résultat serait rare. On peut douter de l'idée de l'adjointe : les « pour » sont probablement majoritaires. c) $\frac{1}{\sqrt{n}}=0,02$ quand $\sqrt{n}=$$50$, soit $n=50^2=2500$ habitants. Autre chemin : passer de 0,05 à 0,02, c'est diviser par 2,5, donc multiplier n par $2,5^2=$$6,25$ : $400\times 6,25=$$2500$. ⛔ Le piège au b) : dire « 57 %, c'est presque la moitié ». Ce qui compte, c'est la position par rapport à l'intervalle. Réponse : a) [0,45 ; 0,55] ; b) 0,57, rare : on doute de l'idée de l'adjointe ; c) 2500 habitants.
19. 19. Les graines du semencier a) $\frac{1}{\sqrt{400}}=$$0,05$. L'intervalle [0,75 ; 0,85]. b) Lot 1 : $330÷400=$$0,825$. Lot 2 : $312÷400=$$0,78$. Lot 3 : $296÷400=$$0,74$. Lot 4 : $322÷400=$$0,805$. Le lot 3 est sous 0,75 : il est rare. Les trois autres sont courants. c) Non. Environ un échantillon sur vingt sort de l'intervalle même quand l'annonce est vraie. Un lot rare sur quatre invite à refaire un test sur ce lot, pas à accuser le semencier. d) Diviser 0,05 par 2 demande de multiplier n par 4 : $400\times 4=1600$ graines par lot. ⛔ Le piège au c) : conclure sur un seul lot. Un doute se confirme par d'autres observations. Réponse : a) [0,75 ; 0,85] ; b) 0,825, 0,78, 0,74 et 0,805 : le lot 3 est rare ; c) non ; d) 1600 graines.
20. 20. La simulation au tableur a) $\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=$$0,2$. De $0,4-0,2=0,2$ à $0,4+0,2=$$0,6$ : l'intervalle [0,2 ; 0,6]. b) En dehors : 0,16 (1 échantillon) et 0,64 (2 échantillons), soit $1+2=$$3$. Dans l'intervalle : $50-3=$$47$, et $47÷50=$$0,94$, soit 94 %, proche des 95 % annoncés. c) Je multiplie chaque fréquence par son nombre d'échantillons : $0,16\times 1+0,24\times 3+0,28\times 4+0,32\times 6+0,36\times 8+0,4\times 9+0,44\times 7+0,48\times 5+0,52\times 3+0,56\times 2+0,64\times 2=$$19,84$. $19,84÷50=$$0,3968$, soit environ 0,397 : très proche de 0,4. Les fréquences fluctuent, mais autour de p. ⛔ Le piège au c) : faire la moyenne des 11 fréquences du tableau sans tenir compte du nombre d'échantillons. Réponse : a) [0,2 ; 0,6] ; b) 3 dehors, 94 % dedans ; c) environ 0,397, proche de 0,4.