La symétrie centrale
Un demi-tour autour d'un point : la symétrie centrale retourne une figure comme si on la faisait pivoter de 180° autour d'un centre.
À quoi ça sert ?
La symétrie centrale se voit partout : les cartes à jouer (le roi est identique tête-bêche), les rosaces et les logos, les motifs de carrelage, la lettre S ou le chiffre 8, les pales d'une éolienne.
Un peu d'histoire
La symétrie centrale est un cas particulier de rotation (180°). L'étude des transformations qui « conservent » les figures a donné naissance, au XIXᵉ siècle, à une branche entière des maths : la théorie des groupes.
Définition
La symétrie centrale de centre O est un demi-tour (une rotation de 180°) autour du point O. L'image A' d'un point A est telle que O est le milieu du segment [AA'] : les points A, O et A' sont alignés, et OA = OA'.
Propriétés
Le centre
O est le milieu de [AA'] : A, O et A' sont alignés et OA = OA'.
Conserve tout
Les longueurs, les angles et les aires sont conservés (figure identique, retournée).
Droites parallèles
L'image d'une droite est une droite parallèle à la première.
≠ symétrie axiale
Pas de miroir ni d'axe : un centre et un demi-tour (la figure est retournée, pas réfléchie).
1. Je relie au centre
Je trace la demi-droite qui part du point A et passe par le centre O.
2. Je reporte la distance
De l'autre côté de O, je place A' tel que OA' = OA (au compas).
3. Je recommence
Pour chaque sommet de la figure, puis je relie les images.
Selon ce que l'on cherche
Image d'un point
A' est le symétrique de A : O est le milieu de [AA'].
Image d'une figure
On construit l'image de chaque sommet, puis on relie.
Reconnaître
On vérifie que O est le milieu entre chaque point et son image.
Exemples corrigés
Image d'un point
Un point A et un centre O.
Où se trouve l'image A' de A ?
On aligne A, O, A' et on reporte la distance : OA' = OA, de l'autre côté de O. O est le milieu de [AA'].
Image d'une figure
Le triangle F et le centre O.
Comment obtient-on F' ?
On construit l'image de chaque sommet (demi-tour autour de O), puis on relie : on obtient F', identique à F mais retourné.
Une propriété
Un segment de 5 cm et son image.
Combien mesure l'image ?
La symétrie centrale conserve les longueurs : l'image mesure aussi 5 cm.
Pièges à éviter
- Confondre avec la symétrie axiale : ici il n'y a pas d'axe (miroir), mais un CENTRE (demi-tour).
- Placer l'image du même côté que le point : l'image est de l'AUTRE côté du centre.
- Oublier que O est le MILIEU de [AA'] : les distances OA et OA' sont égales.
À retenir
- Symétrie centrale = demi-tour (180°) autour d'un point, le centre O.
- O est le milieu de [AA'] : A, O, A' sont alignés et OA = OA'.
- Elle conserve les longueurs, les angles et les aires (l'image est identique, retournée).
Je m'entraîne
1. Une symétrie centrale, c'est un demi-tour autour de quoi ?
Voir la correction
Autour d'un point appelé le centre (une rotation de 180°).
2. A' est l'image de A par la symétrie de centre O. Que peut-on dire de O ?
Voir la correction
O est le milieu de [AA'] : A, O, A' sont alignés et OA = OA'.
3. L'image d'un angle de 40° par une symétrie centrale mesure combien ?
Voir la correction
40° : la symétrie centrale conserve les angles.
4. Quelle est la différence avec la symétrie axiale ?
Voir la correction
L'axiale utilise un axe (miroir) ; la centrale utilise un centre (demi-tour). La figure est retournée, pas réfléchie.
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