La médiatrice d'un segmentcours et exercices corrigés de maths 6e
La médiatrice coupe un segment en deux, bien droit. Tous ses points sont à la même distance des deux bouts.
La médiatrice d'un segment : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.À quoi ça sert : la médiatrice d'un segment
Deux copains habitent en E et en F. Ils cherchent un point de rendez-vous à la même distance des deux maisons. Tous les points de la médiatrice conviennent. Et pour retrouver le centre d'une assiette ronde, on trace deux médiatrices.
Un peu d'histoire : la médiatrice d'un segment
Il y a environ 2 300 ans, le Grec Euclide écrit un grand livre de géométrie. Sa toute première construction trace deux cercles de même rayon, l'un autour de A, l'autre autour de B. Leurs points de croisement sont sur la médiatrice de [AB]. C'est encore la construction au compas qu'on fait en classe.
Définition : la médiatrice d'un segment
La médiatrice de [AB] est une droite. Elle est perpendiculaire à [AB]. Elle passe par le milieu de [AB].
L'angle droit, et deux moitiés de 3 cm.
Propriétés : la médiatrice d'un segment
Sur la médiatrice : même distance
Si P est sur la médiatrice de [AB], alors PA = PB.
PA = 7 cm, donc PB = 7 cm.
Même distance : sur la médiatrice
Et dans l'autre sens : si KA = KB, alors K est sur la médiatrice de [AB]. C'est ce sens qui sert à prouver.
| je sais que… | donc… |
|---|---|
| P est sur la médiatrice | PA = PB |
| KA = KB | K est sur la médiatrice |
Ailleurs, pas la même distance
Un point qui n'est pas sur la médiatrice est plus près de A, ou plus près de B.
N est plus près de A : 5 cm contre 8 cm.
Méthode : la médiatrice d'un segment
1. Au compas
Avec le même écartement, on trace deux arcs depuis A, puis deux depuis B. On relie les deux croisements : c'est la médiatrice.
Même écartement depuis A et depuis B.
2. À la règle et à l'équerre
On mesure AB et on place le milieu : pour 6 cm, à 3 cm de A. Puis on trace la perpendiculaire en ce point, à l'équerre.
AB = 6 cm : le milieu M est à 3 cm.
3. Par pliage
On plie la feuille pour poser A exactement sur B. Le pli est la médiatrice de [AB].
Le pli envoie A sur B.
Selon ce que l'on cherche : la médiatrice d'un segment
Le milieu d'une corde
OP = OQ, car ce sont deux rayons. Donc O est sur la médiatrice de [PQ] : la perpendiculaire depuis O tombe au milieu H.
H est le milieu de la corde [PQ].
Retrouver le centre perdu
On trace deux cordes, puis leurs médiatrices. Le centre du cercle est leur point de croisement.
Deux médiatrices, un seul croisement : O.
Un point de rendez-vous
Tous les points de la médiatrice de [EF] sont à égale distance de E et de F. Il y a donc une infinité de rendez-vous possibles.
Chaque point violet convient.
Exemples corrigés : la médiatrice d'un segment
Médiatrice ou pas ?
La droite (d) est perpendiculaire à [AB]. Elle ne passe pas par le milieu M.
Est-ce la médiatrice de [AB] ?
Non. La marque montre l'angle droit : c'est bon. Mais (d) coupe [AB] à côté du milieu. Il manque une condition, ce n'est donc pas la médiatrice.
Trouver une longueur
Le point K est sur la médiatrice de [EF]. KE = 9 cm.
Combien mesure KF ?
K est sur la médiatrice de [EF]. Donc K est à égale distance de E et de F. Donc KF = KE = 9 cm.
Le triangle isocèle
Le triangle ABC est isocèle en A : AB = AC.
La droite qui passe par A et par le milieu de [BC] est-elle la médiatrice de [BC] ?
Oui. AB = AC, donc A est sur la médiatrice de [BC]. Le milieu de [BC] est aussi sur cette médiatrice. Deux points suffisent pour une droite : c'est bien elle.
Pièges à éviter : la médiatrice d'un segment
- Une droite qui passe par le milieu n'est pas forcément la médiatrice. Il faut aussi l'angle droit.
- MA = MB ne veut pas dire que M est le milieu. M est seulement sur la médiatrice.
- Au compas, on change d'écartement entre A et B. Il faut garder le même.
À retenir : la médiatrice d'un segment
- La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu.
- Sur la médiatrice de [AB], chaque point est à égale distance de A et B.
- Si PA = PB, alors P est sur la médiatrice de [AB].
Exercices corrigés : la médiatrice d'un segment
1. Une droite passe par le milieu de [AB] et fait un angle de 70° avec lui. Est-ce la médiatrice ?
Voir la correction
Non. Elle passe par le milieu, mais l'angle n'est pas droit.
2. P est sur la médiatrice de [AB] et PA = 7 cm. Combien mesure PB ?
Voir la correction
PB = 7 cm, car P est à égale distance de A et de B.
3. KA = 6 cm et KB = 8 cm. K est-il sur la médiatrice de [AB] ?
Voir la correction
Non. Les deux distances sont différentes : K est plus près de A.
4. On veut tracer la médiatrice de [AB], avec AB = 10 cm, à la règle et à l'équerre. Où pose-t-on l'équerre ?
Voir la correction
Au milieu de [AB], à 10 ÷ 2 = 5 cm de A.
5. Un cercle de centre O a un rayon de 4 cm. [PQ] est une corde. Combien mesure OP ?
Voir la correction
OP = 4 cm : [OP] est un rayon. De même OQ = 4 cm, donc O est sur la médiatrice de [PQ].
6. SA = SB = 5 cm, et M est le milieu de [AB]. La droite (SM) est-elle la médiatrice de [AB] ?
Voir la correction
Oui. S est sur la médiatrice, et M aussi. Deux points suffisent : (SM) est la médiatrice.
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