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Pourcentages et évolutionscours et exercices corrigés de maths 2nde

Sur une fiche de paie, les mêmes euros font 47 % ou 89 %, et les deux sont justes. Tout le chapitre tient dans une question à poser avant chaque calcul : pour cent de QUOI ?

Pourcentages et évolutions : 20 exercices corrigésUne feuille à part, du geste seul au problème de contrôle, avec un rappel de cours avant chaque niveau et chaque corrigé étape par étape.

Mots clésProportion, total de référence, point, taux d'évolution, coefficient multiplicateur

Le secretAvant de calculer, écrire le total : « en pourcentage de … »

OutilLe coefficient multiplicateur : on multiplie, on ne soustrait plus

À quoi ça sert : Pourcentages et évolutions

Une fiche de paie est un empilement de pourcentages. La CSG vaut $9, 2 %$ d'une base qui vaut elle-même $98, 25 %$ du brut : un pourcentage de pourcentage. Du coût pour l'employeur au brut, puis du brut au net : deux évolutions successives. Et quand un journal écrit « la moitié du salaire part en prélèvements » pendant qu'un autre écrit « presque le double du net », ils lisent le même bulletin avec deux totaux différents. Ces prélèvements paient la retraite, la santé et le chômage ; les maths ne disent pas si c'est trop ou pas assez. Elles disent ce que chaque nombre mesure.

Un peu d'histoire : Pourcentages et évolutions

Au XVe siècle, les marchands italiens calculent leurs intérêts et leurs taxes « per cento », pour cent. À force d'être abrégée dans les livres de comptes, l'expression devient un signe : $%$ . Plus près de nous, la CSG est créée en France en 1991, au taux de $1, 1 %$ . Elle est à $9, 2 %$ sur les salaires depuis 2018 : $8, 1$ points de plus, et un taux multiplié par plus de $8$ . Deux façons justes de dire la même histoire.

Définition : Pourcentages et évolutions

La PROPORTION d'une partie dans un total est le quotient $\frac{partie}{total}$ . C'est un nombre entre $0$ et $1$ , qu'on écrit souvent en pourcentage : $0, 47 =$ $47 %$ . Le total s'appelle l'ENSEMBLE DE RÉFÉRENCE. Si on change de total, on change de pourcentage, même si la partie reste la même.

Le même bulletin, deux pourcentages

Données	du coût : 5 000 €	du net : 2 650 €
2 350 € font	47 %	88,7 %

Un salarié coûte 5 000 € à son employeur et touche 2 650 € net. Les prélèvements font 2 350 €. Rapportés au coût : 47 %. Rapportés au net : 88,7 %. Les deux nombres sont justes : ils n'ont pas le même total.

Propriétés : Pourcentages et évolutions

Une proportion a toujours un total

$proportion =$ $\frac{partie}{total}$ . Pour les mêmes $2350 €$ : $\frac{2 350}{5 000} = 47 %$ du coût, et $\frac{2 350}{2 650} \approx 88, 7 %$ du net. ⛔ Un pourcentage donné sans son total ne veut rien dire.

La partie ne change pas : 2 350 €

Données	Total choisi	Pourcentage
du coût	5 000 €	47 %
du net	2 650 €	88,7 %

Proportion de proportion : on MULTIPLIE

Si $40 %$ des élèves sont en seconde et si $25 %$ de ces élèves font du latin, alors les latinistes de seconde sont $0, 40 \times 0, 25 = 0, 10 = 10 %$ de tous les élèves. ⛔ Les $25 %$ portent sur les secondes, pas sur tout le lycée.

On multiplie : 0,40 × 0,25

Données	Proportion	de quel total ?
Secondes	40 %	du lycée
Latinistes	25 %	des secondes
Donc	10 %	du lycée

Variation absolue, variation relative, et les POINTS

Absolue : $V_{A} -$ $V_{D}$ , dans l'unité des valeurs. Relative : $\frac{V _{A} - V _{D}}{V _{D}}$ , en pourcentage de la valeur de DÉPART. ⚠️ Entre deux pourcentages, la variation absolue se dit en POINTS : de $50 %$ à $45 %$ , c'est $- 5$ points, et $\frac{- 5}{50} = - 10 %$ en relatif.

Deux nombres pour le même fait

Données	en points	en relatif
de 50 % à 45 %	−5 points	−10 %

Taux d'évolution et coefficient multiplicateur

Augmenter de $t %$ , c'est multiplier par $CM = 1 +$ $\frac{t}{100}$ . Baisser de $t %$ , c'est multiplier par $CM = 1 -$ $\frac{t}{100}$ . Dans l'autre sens : $t = (CM - 1) \times$ $100$ . Un $CM$ plus grand que $1$ est une hausse ; plus petit que $1$ , une baisse.

Du taux au coefficient

Données	Évolution	Coefficient
hausse	+20 %	× 1,20
baisse	−22 %	× 0,78
baisse	−47 %	× 0,53

Évolutions successives : on MULTIPLIE les coefficients

Deux évolutions à la suite : $C M_{global} = C M_{1} \times$ $C M_{2}$ . Une hausse de $20 %$ puis une baisse de $20 %$ donnent $1, 2 \times 0, 8 =$ $0, 96$ , soit $- 4 %$ . ⛔ Les pourcentages ne s'additionnent pas : le second porte sur une valeur déjà modifiée.

+20 % puis −20 % : on perd 4 %

Données	Coefficient	Valeur
départ		100 €
+20 %	× 1,2	120 €
−20 %	× 0,8	96 €

Évolution réciproque : on prend l'INVERSE

Pour revenir à la valeur de départ, on multiplie par $\frac{1}{CM}$ . Après une baisse de $47 %$ : $\frac{1}{0 , 53} \approx$ $1, 887$ , soit une hausse de $88, 7 %$ . C'est le bulletin de la figure : $- 47 %$ du coût au net, $+ 88, 7 %$ du net au coût.

L'aller et le retour n'ont pas le même taux

Données	Coefficient	Taux
coût → net	× 0,53	−47 %
net → coût	× 1,887	+88,7 %

Méthode : Pourcentages et évolutions

1. 1. Écrire le total

Avant tout calcul, on complète la phrase : « en pourcentage de … ». Du coût ou du net ? De la valeur de départ ou d'arrivée ? Des cadres ou de tous les salariés ? La moitié des erreurs du chapitre se règlent ici.

2. 2. Passer au coefficient

On traduit chaque pourcentage d'évolution en coefficient : $+ 8 %$ devient $\times 1, 08$ , $- 35 %$ devient $\times 0, 65$ . Ensuite on ne fait plus que des multiplications et des divisions.

3. 3. Multiplier pour avancer, diviser pour revenir

Valeur d'arrivée $=$ valeur de départ $\times CM$ . Valeur de départ $=$ valeur d'arrivée $\div CM$ . Plusieurs évolutions : on multiplie les coefficients entre eux.

4. 4. Conclure avec l'unité

On revient au taux : $t = (CM - 1) \times$ $100$ . Et on écrit l'unité : des euros, des pour cent, ou des points quand on compare deux pourcentages.

Selon ce que l'on cherche : Pourcentages et évolutions

On cherche une part

On divise la partie par le total, et on nomme le total. $\frac{2 350}{5 000} = 47 %$ du coût.

On cherche une évolution

On divise l'arrivée par le départ : c'est le coefficient. $\frac{2 650}{5 000} =$ $0, 53$ , donc $- 47 %$ .

On cherche la valeur de départ

On divise l'arrivée par le coefficient. Net de $2650 €$ après $- 47 %$ : $\frac{2 650}{0 , 53} =$ $5000 €$ .

Exemples corrigés : Pourcentages et évolutions

Le bulletin à deux pourcentages

Un salarié coûte $5000 €$ par mois à son employeur. Il touche $2650 €$ net.

Exprimer les prélèvements en pourcentage du coût, puis du net. Quel lien avec l'évolution réciproque ?

Données	Coefficient	Taux
coût → net	× 0,53	−47 %
net → coût	× 1,887	+88,7 %

Prélèvements : $5000 - 2650 =$ $2350 €$ . Du coût : $\frac{2 350}{5 000} =$ $47 %$ . Du net : $\frac{2 350}{2 650} \approx$ $88, 7 %$ . Du coût au net, on multiplie par $0, 53$ ; du net au coût, par $\frac{1}{0 , 53} \approx$ $1, 887$ , soit $+ 88, 7 %$ . C'est le même nombre : la part des prélèvements dans le net EST le taux du chemin retour.

Des points ou des pour cent ?

En 2018, le taux de la CSG sur les salaires est passé de $7, 5 %$ à $9, 2 %$ .

Donner la variation en points, puis la variation relative.

Données	en points	en relatif
de 7,5 % à 9,2 %	+1,7 point	+22,7 %

En points : $9, 2 - 7, 5 = 1, 7$ point. En relatif : $\frac{1 , 7}{7 , 5} \approx$ $0, 227$ , soit $+ 22, 7 %$ . Dire « la CSG a augmenté de $1, 7 %$ » est faux : c'est $1, 7$ POINT, ou $22, 7 %$ .

Du coût au net, en deux étapes

Du coût pour l'employeur au salaire brut, on retire $25 %$ . Du brut au net, on retire $22 %$ .

Quel pourcentage a-t-on retiré en tout ?

Données	Coefficient	Il reste
coût		100 %
brut	× 0,75	75 %
net	× 0,78	58,5 %

On passe aux coefficients : $0, 75$ puis $0, 78$ . On multiplie : $0, 75 \times 0, 78 =$ $0, 585$ . Il reste $58, 5 %$ du coût : on a retiré $41, 5 %$ . ⛔ Et non $25 + 22 =$ $47 %$ : les $22 %$ portent sur le brut, qui est plus petit que le coût.

Un salaire et des prix

En vingt ans, un salaire a augmenté de $50 %$ et les prix de $38 %$ .

De combien le pouvoir d'achat de ce salaire a-t-il augmenté ?

On divise les coefficients : $\frac{1 , 50}{1 , 38} \approx$ $1, 087$ . Le pouvoir d'achat a augmenté d'environ $8, 7 %$ . ⛔ Et non $50 - 38 =$ $12 %$ : on ne soustrait pas deux pourcentages qui n'ont pas le même total.

Pièges à éviter : Pourcentages et évolutions

Donner un pourcentage sans dire de quoi. « $47 %$ de prélèvements » : du coût, ou du net ? Les deux phrases sont justes, et elles ne disent pas la même chose.
Confondre points et pour cent. De $50 %$ à $45 %$ : $- 5$ points, mais $- 10 %$ .
Additionner des pourcentages d'évolution. $+ 20 %$ puis $- 20 %$ ne font pas $0$ : $1, 2 \times 0, 8 =$ $0, 96$ .
Croire que $- 47 %$ s'annule par $+ 47 %$ . Il faut $+ 88, 7 %$ : le total a changé entre l'aller et le retour.
Diviser par la valeur d'arrivée. Le taux d'évolution se rapporte toujours à la valeur de DÉPART.

À retenir : Pourcentages et évolutions

Proportion $=$ $\frac{partie}{total}$ . On nomme toujours le total.
Proportion de proportion : on multiplie.
Entre deux pourcentages, l'écart se compte en points.
$CM = 1 +$ $\frac{t}{100}$ ; et $t = (CM - 1) \times$ $100$ .
Évolutions successives : on multiplie les $CM$ . Évolution réciproque : on prend $\frac{1}{CM}$ .

Exercices corrigés : Pourcentages et évolutions

1. Dans une classe de $24$ élèves, $18$ ont un abonnement de bus. Quelle proportion, en pourcentage ?
Voir la correction
$\frac{18}{24} =$ $0, 75$ , soit $75 %$ des élèves de la classe.
2. Une prime vaut $15 %$ d'un salaire de $3200 €$ . Calculer la prime.
Voir la correction
$3200 \times 0, 15 =$ $480 €$ .
3. $60 %$ des élèves d'un lycée sont demi-pensionnaires, et $25 %$ des demi-pensionnaires choisissent le menu végétarien. Quelle part de tous les élèves cela représente-t-il ?
Voir la correction
$0, 60 \times 0, 25 =$ $0, 15$ , soit $15 %$ des élèves du lycée. Les $25 %$ portaient sur les demi-pensionnaires seulement.
4. Un loyer passe de $600 €$ à $642 €$ . Donner la variation absolue, puis la variation relative.
Voir la correction
Absolue : $642 - 600 =$ $42 €$ . Relative : $\frac{42}{600} =$ $0, 07$ , soit $+ 7 %$ .
5. Le taux de réussite à un examen passe de $80 %$ à $84 %$ . Donner la hausse en points, puis en pourcentage.
Voir la correction
En points : $84 - 80 = 4$ points. En relatif : $\frac{4}{80} =$ $0, 05$ , soit $+ 5 %$ .
6. a) Quel coefficient correspond à une baisse de $35 %$ ? b) Quelle évolution correspond au coefficient $1, 08$ ?
Voir la correction
a) $1 - 0, 35 =$ $0, 65$ . b) $1, 08 - 1 =$ $0, 08$ : une hausse de $8 %$ .
7. Un prix augmente de $30 %$ , puis baisse de $30 %$ . Quelle est l'évolution globale ?
Voir la correction
$1, 3 \times 0, 7 =$ $0, 91$ : une baisse de $9 %$ . Les deux pourcentages ne se compensent pas.
8. Un prix a augmenté de $25 %$ . Quelle baisse le ramène à sa valeur de départ ?
Voir la correction
$\frac{1}{1 , 25} =$ $0, 8$ : une baisse de $20 %$ .
9. Après une hausse de $15 %$ , un article coûte $69 €$ . Quel était son prix avant la hausse ?
Voir la correction
On divise par le coefficient : $\frac{69}{1 , 15} =$ $60 €$ . ⛔ Retirer $15 %$ de $69 €$ donnerait $58, 65 €$ : c'est faux.
10. Un salarié coûte $3200 €$ à son employeur et touche $2000 €$ net. a) Exprimer les prélèvements en pourcentage du coût, puis du net. b) De quel pourcentage faut-il augmenter le net pour retrouver le coût ?
Voir la correction
a) Prélèvements : $1200 €$ . Du coût : $\frac{1 200}{3 200} =$ $37, 5 %$ . Du net : $\frac{1 200}{2 000} =$ $60 %$ . b) Coefficient du coût au net : $\frac{2 000}{3 200} =$ $0, 625$ . L'inverse : $\frac{1}{0 , 625} =$ $1, 6$ , soit $+ 60 %$ . C'est le même nombre qu'au a) : ce n'est pas un hasard.

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