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MathssecondeFiche de cours

Les puissancescours et exercices corrigés de maths 2nde

Quatre règles, et un réflexe qui vaut tout le chapitre : quand la base est la même partout, on ne calcule RIEN. On ne touche qu'aux exposants — et la réponse attendue est une puissance, pas un nombre.

Mots clésBase, exposant, produit, quotient, notation scientifique

Le secretMême base : on ne calcule pas, on compte les exposants

OutilLes quatre règles, appliquées par étages

À quoi ça sert : les puissances

Un disque dur de $1$ To contient $1 0^{12}$ octets ; une photo de téléphone en pèse environ $4 \times 1 0^{6}$ . Combien de photos ? $\frac{1 0 ^{12}}{4 \times 1 0 ^{6}} = \frac{1}{4} \times 1 0^{6} = 2, 5 \times 1 0^{5}$ , soit $250000$ photos. Sans les puissances, il aurait fallu poser une division à treize chiffres — c'est exactement pour cela que l'informatique, l'astronomie et la physique ne comptent qu'en puissances de $10$ .

Un peu d'histoire : les puissances

Archimède, au IIIᵉ siècle avant notre ère, écrit L'Arénaire pour démontrer qu'on peut compter les grains de sable de l'univers : faute d'exposants, il invente un système d'« ordres » de nombres. Il faudra attendre Descartes et sa Géométrie, en 1637, pour que l'exposant s'écrive comme aujourd'hui, en petit et en haut à droite. Les exposants négatifs, eux, sont l'œuvre de Wallis et de Newton, au siècle suivant.

Définition : les puissances

Pour un nombre $a$ et un entier $n > 0$ , $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ : $a^{5} = a \times a \times a \times a \times a$ . On pose de plus $a^{0} = 1$ et, pour $a \neq = 0$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . Le nombre $a$ s'appelle la BASE, et $n$ l'EXPOSANT.

Les quatre règles

Données		aᵐ × aⁿ	aᵐ ÷ aⁿ	(aᵐ)ⁿ	a⁻ⁿ
égale	aᵐ⁺ⁿ	aᵐ⁻ⁿ	aᵐˣⁿ	1 ÷ aⁿ

Trois règles portent sur les exposants — on additionne, on soustrait, on multiplie — et la quatrième dit ce que signifie un exposant négatif. Toutes exigent la MÊME BASE.

Propriétés : les puissances

Le produit : on ADDITIONNE

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ . On compte les facteurs : $a^{3} \times a^{2}$ , c'est trois $a$ puis deux $a$ , donc cinq $a$ . ⛔ On n'écrit JAMAIS $a^{6}$ — multiplier les exposants est l'erreur la plus fréquente.

On compte les facteurs, on ne les multiplie pas

Données		a³ × a²	juste	faux
vaut	aaa × aa	a⁵	a⁶

Le quotient : on SOUSTRAIT

$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ pour $a \neq = 0$ . Les $a$ du bas simplifient ceux du haut. Et la règle marche même quand le bas est plus grand : $\frac{a ^{2}}{a ^{5}} = a^{- 3}$ .

Le résultat peut être négatif ou nul

Données		a⁵ ÷ a²	a² ÷ a⁵	a⁴ ÷ a⁴
vaut	a³	a⁻³	a⁰ = 1

La puissance d'une puissance : on MULTIPLIE

$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ . C'est ici — et seulement ici — qu'on multiplie les exposants : $(a^{2})^{3} = a^{2} \times a^{2} \times a^{2} = a^{6}$ . ⚠️ Ne pas confondre avec $a^{2} \times a^{3} = a^{5}$ .

Deux écritures voisines, deux règles opposées

Données		(a²)³	a² × a³
vaut	a⁶	a⁵

L'exposant négatif : c'est un INVERSE

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ pour $a \neq = 0$ . ⛔ Ce n'est pas un nombre négatif : $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , qui est positif. Un exposant négatif retourne la fraction, il ne change pas le signe.

Un inverse, pas un opposé

Données		2⁻³	10⁻²	a⁻¹
vaut	1/8	0,01	1/a

Méthode : les puissances

1. Je vérifie que la base est la même

Les quatre règles ne fonctionnent QUE sur une base commune. $2^{3} \times 3^{2}$ ne se réduit pas — les bases diffèrent, il n'y a rien à faire des exposants.

Données		7⁴ × 7⁻⁵	2³ × 3²
on réduit ?	oui	non

2. Je réduis par étages

Le numérateur d'un côté, le dénominateur de l'autre, chacun ramené à une seule puissance. On ne mélange les deux qu'à la fin.

Données	étage	haut	bas
réduit à	7⁴ × 7⁻⁵ = 7⁻¹	(7³)⁴ = 7¹²

3. Je soustrais, et je m'arrête

$\frac{7 ^{- 1}}{7 ^{12}} = 7^{- 1 - 12} = 7^{- 13}$ . ⭐ Et on s'ARRÊTE : la question demandait $7^{n}$ , pas une valeur décimale.

Données		n	à calculer ?
réponse	−13	non

Selon ce que l'on cherche : les puissances

Réduire une expression

C'est la question type du contrôle : ramener une expression à la forme $a^{n}$ . On enchaîne les règles, on ne calcule jamais.

La réponse est une puissance

Données		(a²)³ × a⁴	a⁵ × a³ ÷ a²
vaut	a¹⁰	a⁶

Écrire en notation scientifique

Un nombre s'écrit $a \times 1 0^{n}$ avec $1 ⩽ a < 10$ — un seul chiffre avant la virgule, et pas $0$ . Cette condition rend l'écriture UNIQUE.

Un seul chiffre devant la virgule

Données		45 300	0,000 72
s'écrit	4,53 × 10⁴	7,2 × 10⁻⁴

Comparer des ordres de grandeur

L'ordre de grandeur, c'est la puissance de $10$ toute seule. Elle suffit pour comparer : $1 0^{- 27}$ et $1 0^{- 9}$ sont séparés par un facteur mille milliards.

Trois échelles du monde

Données		atome H	cheveu	Terre-Soleil
ordre	10⁻²⁷ kg	10⁻⁴ m	10¹¹ m

Exemples corrigés : les puissances

Lire une puissance

$(- 2)^{4}$ et $- 2^{4}$ .

Ces deux écritures donnent-elles le même nombre ?

Données		(−2)⁴	−2⁴
vaut	16	−16

Non. Dans $(- 2)^{4}$ , la parenthèse dit que c'est $- 2$ qui est élevé à la puissance $4$ : $(- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = 16$ . Dans $- 2^{4}$ , seul le $2$ est élevé, et le signe reste devant : $- 16$ . ⭐ La parenthèse n'est pas décorative, elle dit QUI est la base.

Produit et quotient

$\frac{a ^{7} \times a ^{3}}{a ^{4}}$ avec $a \neq = 0$ .

Simplifier.

Données		haut	puis
réduit	a⁷ × a³ = a¹⁰	a¹⁰ ÷ a⁴ = a⁶

On réduit d'abord le haut : $a^{7} \times a^{3} = a^{7 + 3} = a^{10}$ . Puis on soustrait l'exposant du bas : $\frac{a ^{10}}{a ^{4}} = a^{10 - 4} = a^{6}$ .

La question du contrôle

$B = \frac{7 ^{4} \times 7 ^{- 5}}{( 7 ^{3} ) ^{4}}$ .

Écrire $B$ sous la forme $7^{n}$ .

Données		haut	bas	B
vaut	7⁻¹	7¹²	7⁻¹³

Haut : $7^{4} \times 7^{- 5} = 7^{4 - 5} = 7^{- 1}$ . Bas : $(7^{3})^{4} = 7^{3 \times 4} = 7^{12}$ . Donc $B = \frac{7 ^{- 1}}{7 ^{12}} = 7^{- 1 - 12} = 7^{- 13}$ . ⭐ Les trois règles se suivent, et on ne calcule aucune valeur : $n = - 13$ .

Notation scientifique

$0, 00058$ .

Écrire ce nombre en notation scientifique.

Données		mantisse	rangs	écriture
0,000 58	5,8	4	5,8 × 10⁻⁴

On place la virgule après le premier chiffre non nul : $5, 8$ . Elle a avancé de $4$ rangs, et le nombre est plus petit que $1$ , donc l'exposant est $- 4$ : $0, 00058 = 5, 8 \times 1 0^{- 4}$ . ⚠️ $58 \times 1 0^{- 5}$ vaut bien le même nombre, mais ce n'est PAS la notation scientifique — $58$ n'est pas entre $1$ et $10$ .

Pièges à éviter : les puissances

⛔ $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ , on ADDITIONNE. Écrire $a^{5} \times a^{3} = a^{15}$ , c'est appliquer au produit la règle de la parenthèse — l'erreur numéro un du chapitre.
⛔ Un exposant négatif ne donne pas un nombre négatif. $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , c'est un INVERSE, pas un opposé.
⛔ Les règles exigent la MÊME BASE. $2^{3} \times 3^{2}$ ne se réduit pas : on ne peut ni additionner ni multiplier les exposants, il faut calculer $8 \times 9 = 72$ .
⛔ $(- 2)^{4} = 16$ mais $- 2^{4} = - 16$ . La parenthèse dit qui est la base.
⛔ On ne calcule pas la valeur quand la réponse demandée est $a^{n}$ . $7^{- 13}$ est la réponse ; le décimal correspondant n'a aucun intérêt et fait perdre des points.
⛔ $45, 3 \times 1 0^{3}$ n'est pas de la notation scientifique : il faut exactement un chiffre avant la virgule, et il ne doit pas être $0$ .

À retenir : les puissances

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ — on additionne.
$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ — on soustrait.
$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ — on multiplie, et c'est le seul cas.
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ et $a^{0} = 1$ (avec $a \neq = 0$ ).
Une expression composée se réduit PAR ÉTAGES : le haut, le bas, puis la soustraction.
Notation scientifique : $a \times 1 0^{n}$ avec $1 ⩽ a < 10$ .

Exercices corrigés : les puissances

1. Combien vaut $3^{4}$ ?
Voir la correction
$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ . ⚠️ Ce n'est pas $3 \times 4 = 12$ : l'exposant compte les facteurs, il ne multiplie pas.
2. Combien valent $(- 3)^{2}$ et $- 3^{2}$ ?
Voir la correction
$(- 3)^{2} = 9$ car la base est $- 3$ . Mais $- 3^{2} = - 9$ : seul le $3$ est élevé au carré, le signe reste devant.
3. Simplifier $a^{6} \times a^{5}$ (avec $a \neq = 0$ ).
Voir la correction
On additionne : $a^{6 + 5} = a^{11}$ . ⛔ Pas $a^{30}$ — on ne multiplie les exposants que dans $(a^{m})^{n}$ .
4. Simplifier $\frac{a ^{3}}{a ^{8}}$ (avec $a \neq = 0$ ).
Voir la correction
On soustrait : $a^{3 - 8} = a^{- 5}$ . L'exposant négatif est normal ici, il signifie $\frac{1}{a ^{5}}$ .
5. Simplifier $(a^{4})^{3}$ (avec $a \neq = 0$ ).
Voir la correction
On multiplie : $a^{4 \times 3} = a^{12}$ . C'est le seul cas où les exposants se multiplient.
6. Combien vaut $5^{- 2}$ ?
Voir la correction
$5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25} = 0, 04$ . C'est un nombre POSITIF, plus petit que $1$ .
7. Écrire $\frac{2 ^{5} \times 2 ^{- 3}}{( 2 ^{2} ) ^{4}}$ sous la forme $2^{n}$ .
Voir la correction
Haut : $2^{5 - 3} = 2^{2}$ . Bas : $2^{2 \times 4} = 2^{8}$ . Donc $2^{2 - 8} = 2^{- 6}$ , soit $n = - 6$ .
8. Un élève écrit $\frac{a ^{5} \times a ^{3}}{a ^{2}} = a^{7, 5}$ . Où est l'erreur ?
Voir la correction
Il a multiplié $5 \times 3$ puis divisé par $2$ . Il fallait ADDITIONNER puis SOUSTRAIRE : $\frac{a ^{8}}{a ^{2}} = a^{6}$ . Un exposant issu de ces règles est toujours entier.
9. Écrire $73000$ en notation scientifique.
Voir la correction
$7, 3 \times 1 0^{4}$ . La virgule recule de $4$ rangs, donc l'exposant vaut $4$ .
10. Écrire $0, 0046$ en notation scientifique, puis donner son ordre de grandeur.
Voir la correction
$4, 6 \times 1 0^{- 3}$ : la virgule avance de $3$ rangs et le nombre est plus petit que $1$ , d'où l'exposant négatif. Son ordre de grandeur est $1 0^{- 3}$ .

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