Les puissances : 20 exercices corrigésmaths 2nde — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du calcul seul au problème : réduire une expression à une seule puissance, écrire en notation scientifique, mesurer le temps que met la lumière du Soleil. Un rappel de cours de trois lignes avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : elle est écrite étape par étape, avec le pourquoi de chaque étape et le piège nommé.

Relire le cours — Les puissancesTélécharger en PDF

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une règle par exercice. On nomme l'opération, puis on applique la règle.

Rappel de cours

PUISSANCE : $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . $a^{0} =$ $1$ , et $a^{- n} =$ $\frac{1}{a ^{n}}$ : c'est un inverse, pas un nombre négatif.
MÊME BASE : pour un produit, on ADDITIONNE les exposants. Pour un quotient, on SOUSTRAIT (le haut moins le bas). Pour $(a^{m})^{n}$ , on MULTIPLIE.
NOTATION SCIENTIFIQUE : $a \times$ $1 0^{n}$ , avec un seul chiffre avant la virgule, et ce chiffre n'est pas $0$ ( $1 ⩽$ $a <$ $10$ ).

1
Calculer. a) $2^{5}$ b) $(- 1)^{7}$ c) $4^{0}$ d) $(- 5)^{2}$ , puis $- 5^{2}$
Voir la correction
a) $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $32$ . L'exposant compte les facteurs. b) $(- 1)^{7} =$ $- 1$ . Il y a sept facteurs $- 1$ : un nombre impair de signes moins donne un résultat négatif. c) $4^{0} =$ $1$ . Un nombre non nul à la puissance $0$ vaut toujours $1$ . d) $(- 5)^{2} = (- 5) \times (- 5) =$ $25$ . Mais $- 5^{2} = - (5 \times 5) =$ $- 25$ : sans parenthèse, seul le $5$ est au carré. ⛔ Le piège : $2^{5} =$ $10$ . On a multiplié $2 \times 5$ au lieu d'écrire cinq facteurs $2$ .
2
Écrire sous la forme d'une seule puissance. a) $3^{4} \times 3^{5}$ b) $x^{2} \times$ $x^{7}$ , avec $x \neq = 0$ c) $1 0^{- 3} \times 1 0^{8}$
Voir la correction
C'est un produit, et la base est la même : on garde la base et on ADDITIONNE les exposants. a) $3^{4} \times 3^{5} = 3^{4 + 5} =$ $3^{9}$ . b) $x^{2} \times x^{7} = x^{2 + 7} =$ $x^{9}$ . c) $1 0^{- 3} \times 1 0^{8} = 1 0^{- 3 + 8} =$ $1 0^{5}$ . ⛔ Le piège : écrire $3^{20}$ (on a multiplié les exposants) ou $9^{9}$ (on a multiplié les bases). La base ne change jamais.
3
Écrire sous la forme d'une seule puissance. a) $\frac{5 ^{8}}{5 ^{3}}$ b) $\frac{1 0 ^{2}}{1 0 ^{6}}$ c) $\frac{7 ^{- 2}}{7 ^{3}}$
Voir la correction
C'est un quotient, et la base est la même : on SOUSTRAIT l'exposant du bas à celui du haut. a) $\frac{5 ^{8}}{5 ^{3}} = 5^{8 - 3} =$ $5^{5}$ . b) $\frac{1 0 ^{2}}{1 0 ^{6}} = 1 0^{2 - 6} =$ $1 0^{- 4}$ . Le bas est plus grand : l'exposant devient négatif, c'est normal. c) $\frac{7 ^{- 2}}{7 ^{3}} = 7^{- 2 - 3} =$ $7^{- 5}$ . ⛔ Le piège : soustraire dans l'autre sens. Au b), $1 0^{6 - 2} = 1 0^{4}$ est faux : c'est toujours le haut moins le bas.
4
a) Écrire $(2^{3})^{5}$ sous la forme d'une seule puissance. b) Même question pour $(1 0^{- 2})^{3}$ . c) Écrire $2^{3} \times 2^{5}$ sous la forme d'une seule puissance. Est-ce le même nombre qu'au a) ?
Voir la correction
a) Une puissance de puissance : on MULTIPLIE les exposants. $(2^{3})^{5} = 2^{3 \times 5} =$ $2^{15}$ . b) $(1 0^{- 2})^{3} = 1 0^{- 2 \times 3} =$ $1 0^{- 6}$ . c) Ici c'est un produit : on additionne. $2^{3} \times 2^{5} = 2^{3 + 5} =$ $2^{8}$ . Ce n'est pas le même nombre que $2^{15}$ . ⭐ Pour ne pas confondre : $(2^{3})^{5}$ , c'est cinq fois $2^{3}$ multipliés entre eux, donc $3 + 3 + 3 + 3 + 3 =$ $15$ .
5
Écrire sans exposant négatif, puis donner l'écriture décimale. a) $1 0^{- 3}$ b) $2^{- 2}$ c) $4^{- 1}$
Voir la correction
Un exposant négatif, c'est un INVERSE : $a^{- n} =$ $\frac{1}{a ^{n}}$ . a) $1 0^{- 3} = \frac{1}{1 0 ^{3}} = \frac{1}{1 000} =$ $0, 001$ . b) $2^{- 2} = \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4} =$ $0, 25$ . c) $4^{- 1} = \frac{1}{4} =$ $0, 25$ . ⭐ $2^{- 2}$ et $4^{- 1}$ sont égaux : $4 =$ $2^{2}$ , donc $4^{- 1} = (2^{2})^{- 1} =$ $2^{- 2}$ . ⛔ Le piège : $2^{- 2} =$ $- 4$ . Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : les trois résultats sont positifs.
6
Écrire en notation scientifique. a) $3070$ : l'altitude du Piton des Neiges, en mètres. b) $0, 000008$ c) $450 \times 1 0^{3}$
Voir la correction
a) $3070 = 3, 07 \times$ $1 0^{3}$ . On place la virgule après le premier chiffre : elle recule de $3$ rangs. b) $0, 000008 = 8 \times$ $1 0^{- 6}$ . La virgule avance de $6$ rangs, et le nombre est plus petit que $1$ : l'exposant est négatif. c) $450 = 4, 5 \times$ $1 0^{2}$ , donc $450 \times 1 0^{3} = 4, 5 \times 1 0^{2} \times 1 0^{3} = 4, 5 \times$ $1 0^{5}$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à $450 \times$ $1 0^{3}$ . Le nombre est juste, mais l'écriture n'est pas scientifique : $450$ a trois chiffres avant la virgule.
7
Voici quatre écritures : $0, 5 \times$ $1 0^{3}$ ; $5 \times$ $1 0^{2}$ ; $12 \times$ $1 0^{- 4}$ ; $1, 2 \times$ $1 0^{- 3}$ . a) Lesquelles sont en notation scientifique ? b) Écrire les autres en notation scientifique.
Voir la correction
On regarde seulement le nombre devant la puissance de $10$ : il doit être au moins $1$ et plus petit que $10$ . a) $5 \times 1 0^{2}$ et $1, 2 \times 1 0^{- 3}$ sont en notation scientifique. b) $0, 5$ commence par $0$ . Or $0, 5 = 5 \times$ $1 0^{- 1}$ , donc $0, 5 \times 1 0^{3} = 5 \times 1 0^{- 1 + 3} = 5 \times$ $1 0^{2}$ . $12$ a deux chiffres. Or $12 = 1, 2 \times$ $1 0^{1}$ , donc $12 \times 1 0^{- 4} = 1, 2 \times 1 0^{1 - 4} = 1, 2 \times$ $1 0^{- 3}$ . ⭐ Les deux écritures fausses valaient exactement les deux justes. Un nombre n'a qu'une seule notation scientifique : c'est pour cela qu'on l'utilise pour comparer.
8
Écrire avec un exposant négatif. a) $\frac{1}{7 ^{4}}$ b) $\frac{1}{1 000 000}$ c) $\frac{1}{8}$ , avec la base $2$
Voir la correction
On lit la règle dans l'autre sens : $\frac{1}{a ^{n}} =$ $a^{- n}$ . a) $\frac{1}{7 ^{4}} =$ $7^{- 4}$ . b) $1000000 = 1 0^{6}$ (six zéros), donc $\frac{1}{1 000 000} = \frac{1}{1 0 ^{6}} =$ $1 0^{- 6}$ . c) $8 = 2 \times 2 \times 2 =$ $2^{3}$ , donc $\frac{1}{8} = \frac{1}{2 ^{3}} =$ $2^{- 3}$ . ⛔ Le piège : écrire $- 7^{4}$ . Le signe moins va dans l'EXPOSANT, pas devant le nombre.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs règles à la suite. On réduit par étages, sans calculer de valeur.

Rappel de cours

PAR ÉTAGES : on réduit le haut, puis le bas, puis on soustrait. La réponse est une puissance : on ne calcule aucune valeur.
Soustraire un exposant négatif, c'est ajouter : $a^{3 - (- 1)} = a^{3 + 1} =$ $a^{4}$ .
Bases différentes : on les écrit d'abord avec la même base ( $8 =$ $2^{3}$ , $4 =$ $2^{2}$ ). Avec des puissances de $10$ : on groupe les nombres d'un côté, les puissances de $10$ de l'autre.

9
Écrire $C = \frac{3 ^{5} \times 3 ^{- 2}}{( 3 ^{2} ) ^{3}}$ sous la forme $3^{n}$ .
Voir la correction
On réduit par étages : le haut, puis le bas, puis la fraction. Le haut est un produit : on additionne. $3^{5} \times 3^{- 2} = 3^{5 + (- 2)} =$ $3^{3}$ . Le bas est une puissance de puissance : on multiplie. $(3^{2})^{3} = 3^{2 \times 3} =$ $3^{6}$ . La fraction est un quotient : on soustrait. $C = \frac{3 ^{3}}{3 ^{6}} = 3^{3 - 6} =$ $3^{- 3}$ . Donc $n =$ $- 3$ , et on s'arrête là. ⛔ Le piège : calculer $3^{5} =$ $243$ , puis les autres. On ne calcule aucune valeur : la question demande $3^{n}$ .
C par étages
Données réduit à la règle
Le haut 3⁵ × 3⁻² = 3³ on additionne
Le bas (3²)³ = 3⁶ on multiplie
C 3³ ÷ 3⁶ = 3⁻³ on soustrait
10
Écrire $D = \frac{( 5 ^{- 1} ) ^{4} \times 5 ^{7}}{5 ^{2} \times 5 ^{- 3}}$ sous la forme $5^{n}$ .
Voir la correction
Le haut : $(5^{- 1})^{4} = 5^{- 1 \times 4} =$ $5^{- 4}$ , puis $5^{- 4} \times 5^{7} = 5^{- 4 + 7} =$ $5^{3}$ . Le bas : $5^{2} \times 5^{- 3} = 5^{2 + (- 3)} =$ $5^{- 1}$ . La fraction : $D = \frac{5 ^{3}}{5 ^{- 1}} = 5^{3 - (- 1)} = 5^{3 + 1} =$ $5^{4}$ . ⛔ Le piège : écrire $3 - (- 1) =$ $2$ . Soustraire un nombre négatif, c'est AJOUTER son opposé : $3 - (- 1) =$ $4$ . ⭐ On peut vérifier autrement : $5^{- 1} =$ $\frac{1}{5}$ , et diviser par $\frac{1}{5}$ , c'est multiplier par $5$ . Donc $D = 5^{3} \times 5 =$ $5^{4}$ .
D par étages
Données réduit à la règle
Le haut 5⁻⁴ × 5⁷ = 5³ × puis +
Le bas 5² × 5⁻³ = 5⁻¹ on additionne
D 5³ ÷ 5⁻¹ = 5⁴ 3 − (−1) = 4
11
Simplifier $E =$ $\frac{( x ^{3} ) ^{2} \times x ^{- 4}}{x ^{- 5}}$ , avec $x \neq =$ $0$ .
Voir la correction
Les règles marchent avec une lettre comme avec un nombre. Le haut : $(x^{3})^{2} = x^{3 \times 2} =$ $x^{6}$ , puis $x^{6} \times x^{- 4} = x^{6 - 4} =$ $x^{2}$ . La fraction : $E = \frac{x ^{2}}{x ^{- 5}} = x^{2 - (- 5)} = x^{2 + 5} =$ $x^{7}$ . ⭐ On vérifie en remplaçant $x$ par $2$ . Le haut vaut $2^{6} \times 2^{- 4} = 64 \times \frac{1}{16} =$ $4$ . Le bas vaut $2^{- 5} =$ $\frac{1}{32}$ . Et $4 \div \frac{1}{32} = 4 \times 32 =$ $128$ , qui est bien $2^{7}$ . ✓
12
Écrire $F = 8^{2} \times 4^{- 3} \times 2^{5}$ sous la forme $2^{n}$ .
Voir la correction
Les bases ne sont pas les mêmes : on les écrit d'abord toutes avec la base $2$ . $8 =$ $2^{3}$ , donc $8^{2} = (2^{3})^{2} =$ $2^{6}$ . $4 =$ $2^{2}$ , donc $4^{- 3} = (2^{2})^{- 3} =$ $2^{- 6}$ . On a maintenant une seule base : $F = 2^{6} \times 2^{- 6} \times 2^{5} = 2^{6 - 6 + 5} =$ $2^{5}$ . ⛔ Le piège : additionner tout de suite $2 - 3 +$ $5$ . Les règles exigent la MÊME base : on la fabrique d'abord.
13
Donner l'écriture scientifique de $G =$ $\frac{6 \times 1 0 ^{5} \times 4 \times 1 0 ^{- 2}}{8 \times 1 0 ^{- 4}}$ .
Voir la correction
On sépare les nombres et les puissances de $10$ . Les nombres : $\frac{6 \times 4}{8} = \frac{24}{8} =$ $3$ . Les puissances de $10$ : $\frac{1 0 ^{5} \times 1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 4}} = \frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 4}} = 1 0^{3 - (- 4)} =$ $1 0^{7}$ . Donc $G = 3 \times$ $1 0^{7}$ . C'est bien une notation scientifique : $3$ est entre $1$ et $10$ . ⛔ Le piège : écrire $1 0^{3 - 4} =$ $1 0^{- 1}$ . On soustrait $- 4$ , donc on ajoute $4$ .
14
Donner l'écriture scientifique de $H = 0, 25 \times 1 0^{- 3} \times 40 \times$ $1 0^{6}$ .
Voir la correction
Les nombres : $0, 25 \times 40 =$ $10$ . Les puissances de $10$ : $1 0^{- 3} \times 1 0^{6} = 1 0^{- 3 + 6} =$ $1 0^{3}$ . On obtient $10 \times$ $1 0^{3}$ . Ce n'est pas fini : le nombre devant doit être plus petit que $10$ . $10 = 1 \times$ $1 0^{1}$ , donc $H = 1 \times 1 0^{1} \times 1 0^{3} = 1 \times$ $1 0^{4}$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à $10 \times$ $1 0^{3}$ . Le nombre devant doit être au moins $1$ et STRICTEMENT plus petit que $10$ .
15
Un élève a écrit trois égalités fausses. Pour chacune, trouver l'erreur puis corriger. a) $2^{3} \times 2^{4} = 4^{7}$ b) $3^{2} + 3^{2} = 3^{4}$ c) $(1 0^{2})^{3} = 1 0^{5}$
Voir la correction
a) Il a multiplié les bases. La base ne change pas : $2^{3} \times 2^{4} = 2^{3 + 4} =$ $2^{7}$ . b) Il a additionné les exposants, mais c'est une SOMME, pas un produit. Aucune règle ne réduit une somme : on calcule. $3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 =$ $18$ , alors que $3^{4} =$ $81$ . c) Il a additionné les exposants d'une puissance de puissance. Il faut les multiplier : $(1 0^{2})^{3} = 1 0^{2 \times 3} =$ $1 0^{6}$ . ⭐ Avant d'appliquer une règle, on nomme l'opération. Un produit : on additionne. Un quotient : on soustrait. Une puissance de puissance : on multiplie. Une somme : aucune règle.
16
Ranger ces nombres du plus petit au plus grand. $2, 5 \times$ $1 0^{- 3}$ ; $3 \times$ $1 0^{- 4}$ ; $0, 01$ ; $9 \times 1 0^{- 4}$
Voir la correction
On écrit tout en notation scientifique : $0, 01 = 1 \times$ $1 0^{- 2}$ . On compare d'abord les puissances de $10$ : $1 0^{- 4} < 1 0^{- 3} <$ $1 0^{- 2}$ . À puissance égale, on compare le nombre devant : $3 \times 1 0^{- 4} < 9 \times$ $1 0^{- 4}$ . L'ordre : $3 \times 1 0^{- 4} < 9 \times 1 0^{- 4} < 2, 5 \times 1 0^{- 3} <$ $0, 01$ . ⛔ Le piège : regarder d'abord le nombre devant. $9$ est plus grand que $2, 5$ , mais c'est la puissance de $10$ qui décide : $0, 0009 <$ $0, 0025$ .

Données	réduit à	la règle
Le haut	3⁵ × 3⁻² = 3³	on additionne
Le bas	(3²)³ = 3⁶	on multiplie
C	3³ ÷ 3⁶ = 3⁻³	on soustrait

Données	réduit à	la règle
Le haut	5⁻⁴ × 5⁷ = 5³	× puis +
Le bas	5² × 5⁻³ = 5⁻¹	on additionne
D	5³ ÷ 5⁻¹ = 5⁴	3 − (−1) = 4

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Des situations réelles. On choisit l'outil, et on conclut par une phrase.

Rappel de cours

Temps $=$ distance $\div$ vitesse. Avec des puissances de $10$ : on divise les nombres, puis on soustrait les exposants.
Pour un ordre de grandeur : $2^{10} =$ $1024$ , c'est à peu près $1 0^{3}$ .
On conclut par une phrase, avec l'unité.

17La lumière du Soleil
La Terre est à environ $1, 5 \times 1 0^{8}$ km du Soleil. La lumière parcourt $3 \times 1 0^{5}$ km par seconde. a) Combien de secondes la lumière du Soleil met-elle pour arriver jusqu'à nous ? b) Convertir ce temps en minutes et secondes. c) La Lune est à environ $3, 84 \times 1 0^{5}$ km. Combien de temps met sa lumière ?
Voir la correction
a) Temps $=$ distance $\div$ vitesse : $\frac{1 , 5 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{5}} = \frac{1 , 5}{3} \times 1 0^{8 - 5} = 0, 5 \times 1 0^{3} = 500$ s. b) $500 = 8 \times 60 +$ $20$ . La lumière du Soleil met $8$ min $20$ s. c) $\frac{3 , 84 \times 1 0 ^{5}}{3 \times 1 0 ^{5}} = 1, 28 \times 1 0^{0} = 1, 28$ s. ⭐ Le Soleil qu'on voit est celui d'il y a $8$ minutes. La Lune, celle d'il y a un peu plus d'une seconde. ⛔ Le piège : ne diviser que les puissances et répondre $1 0^{3} = 1000$ s. On divise les nombres ET les puissances de $10$ .
18Les globules rouges
Un adulte a environ $5$ litres de sang. Un millimètre cube de sang contient environ $5 \times 1 0^{6}$ globules rouges. Et $1$ litre $= 1 0^{6}$ mm³. a) Combien un adulte a-t-il de globules rouges ? Donner la notation scientifique. b) Un globule rouge mesure environ $7 \times 1 0^{- 6}$ m de large. Mis bout à bout, quelle longueur feraient-ils, en kilomètres ? c) Le tour de la Terre mesure environ $4 \times 1 0^{4}$ km. Combien de fois ferait-on le tour de la Terre ?
Voir la correction
a) D'abord le volume en mm³ : $5 \times 1 0^{6}$ mm³. Puis le nombre de globules : $5 \times 1 0^{6} \times 5 \times 1 0^{6} = 25 \times$ $1 0^{12}$ . En notation scientifique : $25 = 2, 5 \times$ $1 0^{1}$ , donc $2, 5 \times 1 0^{13}$ globules rouges. b) $2, 5 \times 1 0^{13} \times 7 \times 1 0^{- 6} = 17, 5 \times 1 0^{7}$ m, soit $1, 75 \times 1 0^{8}$ m. En kilomètres, on divise par $1 0^{3}$ : $1, 75 \times 1 0^{5}$ km, c'est-à-dire $175000$ km. c) $\frac{1 , 75 \times 1 0 ^{5}}{4 \times 1 0 ^{4}} = 0, 4375 \times 1 0^{1} =$ $4, 375$ . On ferait un peu plus de $4$ fois le tour de la Terre. ⛔ Le piège : oublier de convertir les litres. $5 \times 5 \times 1 0^{6} = 2, 5 \times$ $1 0^{7}$ : un million de fois trop peu.
Du sang au tour de la Terre
Données valeur unité
Volume 5 × 10⁶ mm³
Globules 2,5 × 10¹³ globules
Bout à bout 1,75 × 10⁵ km
19Une bactérie qui se divise
Une bactérie se divise en deux toutes les $20$ minutes. On part d'une seule bactérie. a) Combien y en a-t-il au bout d'une heure ? Au bout de deux heures ? b) Écrire sous la forme $2^{n}$ le nombre de bactéries au bout de $10$ heures. c) On sait que $2^{10} =$ $1024$ , à peu près $1 0^{3}$ . En déduire un ordre de grandeur du nombre de bactéries au bout de $10$ heures.
Voir la correction
a) En une heure, il y a $3$ divisions, une toutes les $20$ minutes. Chaque division multiplie par $2$ : $2^{3} = 8$ bactéries. En deux heures, $6$ divisions : $2^{6} = 64$ bactéries. b) En $10$ heures, $10 \times 3 = 30$ divisions : $2^{30}$ bactéries. c) $2^{30} = 2^{10 \times 3} =$ $(2^{10})^{3}$ . Comme $2^{10} \approx$ $1 0^{3}$ , on obtient environ $(1 0^{3})^{3} =$ $1 0^{9}$ . Au bout de $10$ heures, il y a environ un milliard de bactéries. (La valeur exacte est $1073741824$ .) ⛔ Le piège : compter $2 \times 30 = 60$ bactéries. Chaque division MULTIPLIE par $2$ : on obtient une puissance, pas un produit par $30$ .
20Vrai ou faux ?
Pour chaque égalité, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier par un calcul. a) $2^{10} + 2^{10} = 2^{11}$ b) $2^{10} \times 2^{10} = 4^{10}$ c) $1 0^{- 2} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{6}$ d) $(- 1)^{2025} = 1$
Voir la correction
a) VRAI. $2^{10} + 2^{10} = 2 \times 2^{10} = 2^{1} \times 2^{10} =$ $2^{11}$ . Ajouter deux fois le même nombre, c'est le multiplier par $2$ . b) VRAI. $2^{10} \times 2^{10} =$ $2^{20}$ . Et $4^{10} = (2^{2})^{10} =$ $2^{20}$ . Les deux valent $2^{20}$ . c) FAUX. C'est un produit : on additionne. $1 0^{- 2} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{- 2 + (- 3)} =$ $1 0^{- 5}$ . L'élève a multiplié les exposants. d) FAUX. $2025$ est impair : un nombre impair de facteurs $- 1$ donne $- 1$ . Donc $(- 1)^{2025} =$ $- 1$ . ⭐ Le a) et le b) semblent faux au premier coup d'œil. C'est pour cela qu'on justifie par un calcul, jamais par une impression.

Données	valeur	unité
Volume	5 × 10⁶	mm³
Globules	2,5 × 10¹³	globules
Bout à bout	1,75 × 10⁵	km

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : les puissances, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. a) $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $32$ . L'exposant compte les facteurs. b) $(- 1)^{7} =$ $- 1$ . Il y a sept facteurs $- 1$ : un nombre impair de signes moins donne un résultat négatif. c) $4^{0} =$ $1$ . Un nombre non nul à la puissance $0$ vaut toujours $1$ . d) $(- 5)^{2} = (- 5) \times (- 5) =$ $25$ . Mais $- 5^{2} = - (5 \times 5) =$ $- 25$ : sans parenthèse, seul le $5$ est au carré. ⛔ Le piège : $2^{5} =$ $10$ . On a multiplié $2 \times 5$ au lieu d'écrire cinq facteurs $2$ .
2. C'est un produit, et la base est la même : on garde la base et on ADDITIONNE les exposants. a) $3^{4} \times 3^{5} = 3^{4 + 5} =$ $3^{9}$ . b) $x^{2} \times x^{7} = x^{2 + 7} =$ $x^{9}$ . c) $1 0^{- 3} \times 1 0^{8} = 1 0^{- 3 + 8} =$ $1 0^{5}$ . ⛔ Le piège : écrire $3^{20}$ (on a multiplié les exposants) ou $9^{9}$ (on a multiplié les bases). La base ne change jamais.
3. C'est un quotient, et la base est la même : on SOUSTRAIT l'exposant du bas à celui du haut. a) $\frac{5 ^{8}}{5 ^{3}} = 5^{8 - 3} =$ $5^{5}$ . b) $\frac{1 0 ^{2}}{1 0 ^{6}} = 1 0^{2 - 6} =$ $1 0^{- 4}$ . Le bas est plus grand : l'exposant devient négatif, c'est normal. c) $\frac{7 ^{- 2}}{7 ^{3}} = 7^{- 2 - 3} =$ $7^{- 5}$ . ⛔ Le piège : soustraire dans l'autre sens. Au b), $1 0^{6 - 2} = 1 0^{4}$ est faux : c'est toujours le haut moins le bas.
4. a) Une puissance de puissance : on MULTIPLIE les exposants. $(2^{3})^{5} = 2^{3 \times 5} =$ $2^{15}$ . b) $(1 0^{- 2})^{3} = 1 0^{- 2 \times 3} =$ $1 0^{- 6}$ . c) Ici c'est un produit : on additionne. $2^{3} \times 2^{5} = 2^{3 + 5} =$ $2^{8}$ . Ce n'est pas le même nombre que $2^{15}$ . ⭐ Pour ne pas confondre : $(2^{3})^{5}$ , c'est cinq fois $2^{3}$ multipliés entre eux, donc $3 + 3 + 3 + 3 + 3 =$ $15$ .
5. Un exposant négatif, c'est un INVERSE : $a^{- n} =$ $\frac{1}{a ^{n}}$ . a) $1 0^{- 3} = \frac{1}{1 0 ^{3}} = \frac{1}{1 000} =$ $0, 001$ . b) $2^{- 2} = \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4} =$ $0, 25$ . c) $4^{- 1} = \frac{1}{4} =$ $0, 25$ . ⭐ $2^{- 2}$ et $4^{- 1}$ sont égaux : $4 =$ $2^{2}$ , donc $4^{- 1} = (2^{2})^{- 1} =$ $2^{- 2}$ . ⛔ Le piège : $2^{- 2} =$ $- 4$ . Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : les trois résultats sont positifs.
6. a) $3070 = 3, 07 \times$ $1 0^{3}$ . On place la virgule après le premier chiffre : elle recule de $3$ rangs. b) $0, 000008 = 8 \times$ $1 0^{- 6}$ . La virgule avance de $6$ rangs, et le nombre est plus petit que $1$ : l'exposant est négatif. c) $450 = 4, 5 \times$ $1 0^{2}$ , donc $450 \times 1 0^{3} = 4, 5 \times 1 0^{2} \times 1 0^{3} = 4, 5 \times$ $1 0^{5}$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à $450 \times$ $1 0^{3}$ . Le nombre est juste, mais l'écriture n'est pas scientifique : $450$ a trois chiffres avant la virgule.
7. On regarde seulement le nombre devant la puissance de $10$ : il doit être au moins $1$ et plus petit que $10$ . a) $5 \times 1 0^{2}$ et $1, 2 \times 1 0^{- 3}$ sont en notation scientifique. b) $0, 5$ commence par $0$ . Or $0, 5 = 5 \times$ $1 0^{- 1}$ , donc $0, 5 \times 1 0^{3} = 5 \times 1 0^{- 1 + 3} = 5 \times$ $1 0^{2}$ . $12$ a deux chiffres. Or $12 = 1, 2 \times$ $1 0^{1}$ , donc $12 \times 1 0^{- 4} = 1, 2 \times 1 0^{1 - 4} = 1, 2 \times$ $1 0^{- 3}$ . ⭐ Les deux écritures fausses valaient exactement les deux justes. Un nombre n'a qu'une seule notation scientifique : c'est pour cela qu'on l'utilise pour comparer.
8. On lit la règle dans l'autre sens : $\frac{1}{a ^{n}} =$ $a^{- n}$ . a) $\frac{1}{7 ^{4}} =$ $7^{- 4}$ . b) $1000000 = 1 0^{6}$ (six zéros), donc $\frac{1}{1 000 000} = \frac{1}{1 0 ^{6}} =$ $1 0^{- 6}$ . c) $8 = 2 \times 2 \times 2 =$ $2^{3}$ , donc $\frac{1}{8} = \frac{1}{2 ^{3}} =$ $2^{- 3}$ . ⛔ Le piège : écrire $- 7^{4}$ . Le signe moins va dans l'EXPOSANT, pas devant le nombre.
9. On réduit par étages : le haut, puis le bas, puis la fraction. Le haut est un produit : on additionne. $3^{5} \times 3^{- 2} = 3^{5 + (- 2)} =$ $3^{3}$ . Le bas est une puissance de puissance : on multiplie. $(3^{2})^{3} = 3^{2 \times 3} =$ $3^{6}$ . La fraction est un quotient : on soustrait. $C = \frac{3 ^{3}}{3 ^{6}} = 3^{3 - 6} =$ $3^{- 3}$ . Donc $n =$ $- 3$ , et on s'arrête là. ⛔ Le piège : calculer $3^{5} =$ $243$ , puis les autres. On ne calcule aucune valeur : la question demande $3^{n}$ .
C par étages
Données réduit à la règle
Le haut 3⁵ × 3⁻² = 3³ on additionne
Le bas (3²)³ = 3⁶ on multiplie
C 3³ ÷ 3⁶ = 3⁻³ on soustrait
10. Le haut : $(5^{- 1})^{4} = 5^{- 1 \times 4} =$ $5^{- 4}$ , puis $5^{- 4} \times 5^{7} = 5^{- 4 + 7} =$ $5^{3}$ . Le bas : $5^{2} \times 5^{- 3} = 5^{2 + (- 3)} =$ $5^{- 1}$ . La fraction : $D = \frac{5 ^{3}}{5 ^{- 1}} = 5^{3 - (- 1)} = 5^{3 + 1} =$ $5^{4}$ . ⛔ Le piège : écrire $3 - (- 1) =$ $2$ . Soustraire un nombre négatif, c'est AJOUTER son opposé : $3 - (- 1) =$ $4$ . ⭐ On peut vérifier autrement : $5^{- 1} =$ $\frac{1}{5}$ , et diviser par $\frac{1}{5}$ , c'est multiplier par $5$ . Donc $D = 5^{3} \times 5 =$ $5^{4}$ .
D par étages
Données réduit à la règle
Le haut 5⁻⁴ × 5⁷ = 5³ × puis +
Le bas 5² × 5⁻³ = 5⁻¹ on additionne
D 5³ ÷ 5⁻¹ = 5⁴ 3 − (−1) = 4
11. Les règles marchent avec une lettre comme avec un nombre. Le haut : $(x^{3})^{2} = x^{3 \times 2} =$ $x^{6}$ , puis $x^{6} \times x^{- 4} = x^{6 - 4} =$ $x^{2}$ . La fraction : $E = \frac{x ^{2}}{x ^{- 5}} = x^{2 - (- 5)} = x^{2 + 5} =$ $x^{7}$ . ⭐ On vérifie en remplaçant $x$ par $2$ . Le haut vaut $2^{6} \times 2^{- 4} = 64 \times \frac{1}{16} =$ $4$ . Le bas vaut $2^{- 5} =$ $\frac{1}{32}$ . Et $4 \div \frac{1}{32} = 4 \times 32 =$ $128$ , qui est bien $2^{7}$ . ✓
12. Les bases ne sont pas les mêmes : on les écrit d'abord toutes avec la base $2$ . $8 =$ $2^{3}$ , donc $8^{2} = (2^{3})^{2} =$ $2^{6}$ . $4 =$ $2^{2}$ , donc $4^{- 3} = (2^{2})^{- 3} =$ $2^{- 6}$ . On a maintenant une seule base : $F = 2^{6} \times 2^{- 6} \times 2^{5} = 2^{6 - 6 + 5} =$ $2^{5}$ . ⛔ Le piège : additionner tout de suite $2 - 3 +$ $5$ . Les règles exigent la MÊME base : on la fabrique d'abord.
13. On sépare les nombres et les puissances de $10$ . Les nombres : $\frac{6 \times 4}{8} = \frac{24}{8} =$ $3$ . Les puissances de $10$ : $\frac{1 0 ^{5} \times 1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 4}} = \frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 4}} = 1 0^{3 - (- 4)} =$ $1 0^{7}$ . Donc $G = 3 \times$ $1 0^{7}$ . C'est bien une notation scientifique : $3$ est entre $1$ et $10$ . ⛔ Le piège : écrire $1 0^{3 - 4} =$ $1 0^{- 1}$ . On soustrait $- 4$ , donc on ajoute $4$ .
14. Les nombres : $0, 25 \times 40 =$ $10$ . Les puissances de $10$ : $1 0^{- 3} \times 1 0^{6} = 1 0^{- 3 + 6} =$ $1 0^{3}$ . On obtient $10 \times$ $1 0^{3}$ . Ce n'est pas fini : le nombre devant doit être plus petit que $10$ . $10 = 1 \times$ $1 0^{1}$ , donc $H = 1 \times 1 0^{1} \times 1 0^{3} = 1 \times$ $1 0^{4}$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à $10 \times$ $1 0^{3}$ . Le nombre devant doit être au moins $1$ et STRICTEMENT plus petit que $10$ .
15. a) Il a multiplié les bases. La base ne change pas : $2^{3} \times 2^{4} = 2^{3 + 4} =$ $2^{7}$ . b) Il a additionné les exposants, mais c'est une SOMME, pas un produit. Aucune règle ne réduit une somme : on calcule. $3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 =$ $18$ , alors que $3^{4} =$ $81$ . c) Il a additionné les exposants d'une puissance de puissance. Il faut les multiplier : $(1 0^{2})^{3} = 1 0^{2 \times 3} =$ $1 0^{6}$ . ⭐ Avant d'appliquer une règle, on nomme l'opération. Un produit : on additionne. Un quotient : on soustrait. Une puissance de puissance : on multiplie. Une somme : aucune règle.
16. On écrit tout en notation scientifique : $0, 01 = 1 \times$ $1 0^{- 2}$ . On compare d'abord les puissances de $10$ : $1 0^{- 4} < 1 0^{- 3} <$ $1 0^{- 2}$ . À puissance égale, on compare le nombre devant : $3 \times 1 0^{- 4} < 9 \times$ $1 0^{- 4}$ . L'ordre : $3 \times 1 0^{- 4} < 9 \times 1 0^{- 4} < 2, 5 \times 1 0^{- 3} <$ $0, 01$ . ⛔ Le piège : regarder d'abord le nombre devant. $9$ est plus grand que $2, 5$ , mais c'est la puissance de $10$ qui décide : $0, 0009 <$ $0, 0025$ .
17. La lumière du Soleil a) Temps $=$ distance $\div$ vitesse : $\frac{1 , 5 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{5}} = \frac{1 , 5}{3} \times 1 0^{8 - 5} = 0, 5 \times 1 0^{3} = 500$ s. b) $500 = 8 \times 60 +$ $20$ . La lumière du Soleil met $8$ min $20$ s. c) $\frac{3 , 84 \times 1 0 ^{5}}{3 \times 1 0 ^{5}} = 1, 28 \times 1 0^{0} = 1, 28$ s. ⭐ Le Soleil qu'on voit est celui d'il y a $8$ minutes. La Lune, celle d'il y a un peu plus d'une seconde. ⛔ Le piège : ne diviser que les puissances et répondre $1 0^{3} = 1000$ s. On divise les nombres ET les puissances de $10$ .
18. Les globules rouges a) D'abord le volume en mm³ : $5 \times 1 0^{6}$ mm³. Puis le nombre de globules : $5 \times 1 0^{6} \times 5 \times 1 0^{6} = 25 \times$ $1 0^{12}$ . En notation scientifique : $25 = 2, 5 \times$ $1 0^{1}$ , donc $2, 5 \times 1 0^{13}$ globules rouges. b) $2, 5 \times 1 0^{13} \times 7 \times 1 0^{- 6} = 17, 5 \times 1 0^{7}$ m, soit $1, 75 \times 1 0^{8}$ m. En kilomètres, on divise par $1 0^{3}$ : $1, 75 \times 1 0^{5}$ km, c'est-à-dire $175000$ km. c) $\frac{1 , 75 \times 1 0 ^{5}}{4 \times 1 0 ^{4}} = 0, 4375 \times 1 0^{1} =$ $4, 375$ . On ferait un peu plus de $4$ fois le tour de la Terre. ⛔ Le piège : oublier de convertir les litres. $5 \times 5 \times 1 0^{6} = 2, 5 \times$ $1 0^{7}$ : un million de fois trop peu.
Du sang au tour de la Terre
Données valeur unité
Volume 5 × 10⁶ mm³
Globules 2,5 × 10¹³ globules
Bout à bout 1,75 × 10⁵ km
19. Une bactérie qui se divise a) En une heure, il y a $3$ divisions, une toutes les $20$ minutes. Chaque division multiplie par $2$ : $2^{3} = 8$ bactéries. En deux heures, $6$ divisions : $2^{6} = 64$ bactéries. b) En $10$ heures, $10 \times 3 = 30$ divisions : $2^{30}$ bactéries. c) $2^{30} = 2^{10 \times 3} =$ $(2^{10})^{3}$ . Comme $2^{10} \approx$ $1 0^{3}$ , on obtient environ $(1 0^{3})^{3} =$ $1 0^{9}$ . Au bout de $10$ heures, il y a environ un milliard de bactéries. (La valeur exacte est $1073741824$ .) ⛔ Le piège : compter $2 \times 30 = 60$ bactéries. Chaque division MULTIPLIE par $2$ : on obtient une puissance, pas un produit par $30$ .
20. Vrai ou faux ? a) VRAI. $2^{10} + 2^{10} = 2 \times 2^{10} = 2^{1} \times 2^{10} =$ $2^{11}$ . Ajouter deux fois le même nombre, c'est le multiplier par $2$ . b) VRAI. $2^{10} \times 2^{10} =$ $2^{20}$ . Et $4^{10} = (2^{2})^{10} =$ $2^{20}$ . Les deux valent $2^{20}$ . c) FAUX. C'est un produit : on additionne. $1 0^{- 2} \times 1 0^{- 3} = 1 0^{- 2 + (- 3)} =$ $1 0^{- 5}$ . L'élève a multiplié les exposants. d) FAUX. $2025$ est impair : un nombre impair de facteurs $- 1$ donne $- 1$ . Donc $(- 1)^{2025} =$ $- 1$ . ⭐ Le a) et le b) semblent faux au premier coup d'œil. C'est pour cela qu'on justifie par un calcul, jamais par une impression.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : les puissances, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3