Puissances et notation scientifique : 20 exercices corrigésmaths 4e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du calcul seul au problème : écrire et calculer une puissance, le signe et les parenthèses, l'exposant négatif qui donne un inverse, les puissances de 10, la notation scientifique, comparer et ranger. Puis un parc éolien, une piscine olympique en gouttes d'eau, le poids des animaux, le tableau de Roland-Garros. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le pourquoi, le piège nommé, et un schéma.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Un geste par exercice. J'écris le produit en entier si j'hésite, puis je calcule.

Rappel de cours

$a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ : $a$ est la BASE, $n$ est l'EXPOSANT. Et $a^{0} = 1$ pour tout nombre $a$ non nul.
Les parenthèses décident de la base : dans $(- a)^{n}$ , le signe moins est répété ; dans $- a^{n}$ , il reste devant.
Un exposant négatif donne un INVERSE : $a^{- n} =$ $\frac{1}{a ^{n}}$ . Pour $a$ positif, c'est un nombre positif.
$1 0^{n}$ s'écrit avec $n$ zéros ; $1 0^{- n}$ place le $1$ au $n$ -ième rang après la virgule. Notation scientifique : $a \times 1 0^{n}$ avec $1 ⩽ a <$ $10$ .

1
a) Écris sous la forme d'une puissance : $6 \times 6 \times 6 \times 6 \times$ $6$ . b) Écris sous la forme d'une puissance : $(- 4) \times$ $(- 4)$ . c) Dans $1 1^{4}$ , quelle est la base ? Quel est l'exposant ? Écris le produit.
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a) Je compte les facteurs : le $6$ apparaît cinq fois, donc $6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 =$ $6^{5}$ . b) Le nombre répété est $- 4$ tout entier : je garde les parenthèses, $(- 4) \times (- 4) =$ $(- 4)^{2}$ . c) La base est $11$ , le nombre répété ; l'exposant est $4$ , le nombre de facteurs : $1 1^{4} = 11 \times 11 \times 11 \times$ $11$ . ⛔ Le piège : écrire $6 \times 5$ au lieu de $6^{5}$ . L'exposant COMPTE les facteurs, il n'en est pas un : $6 \times 5 =$ $30$ , alors que $6^{5} =$ $7776$ . Réponse : a) $6^{5}$ ; b) $(- 4)^{2}$ ; c) base $11$ , exposant $4$ .
Écriture 6⁵ (−4)² 11⁴
Base 6 −4 11
Exposant 5 2 4
Produit 6×6×6×6×6 (−4)×(−4) 11×11×11×11
2
Calcule sans calculatrice : a) $2^{6}$ b) $5^{3}$ c) $9^{2}$ d) $8^{0}$
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a) J'écris le produit : $2^{6} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $64$ . J'avance pas à pas, en doublant : $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ . b) $5^{3} = 5 \times 5 \times 5 =$ $125$ : $5 \times 5 =$ $25$ , puis $25 \times 5 =$ $125$ . c) $9^{2} = 9 \times 9 =$ $81$ . d) Je descends l'échelle en divisant par $8$ : $8^{2} =$ $64$ , $8^{1} =$ $8$ , puis $8^{0} = 8 \div 8 =$ $1$ . ⛔ Le piège : écrire $2^{6} =$ $12$ . Ça, c'est $2 \times$ $6$ . Six facteurs $2$ donnent $64$ , pas $12$ . Réponse : $2^{6} =$ $64$ ; $5^{3} =$ $125$ ; $9^{2} =$ $81$ ; $8^{0} =$ $1$ .
Puissance 8² 8¹ 8⁰
Valeur 64 8 1
On divise par 8 8
3
Calcule : a) $(- 3)^{4}$ b) $- 3^{4}$ c) $(- 5)^{3}$ d) $(- 1)^{7}$
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a) La base est $- 3$ , entre parenthèses : $(- 3)^{4} = (- 3) \times (- 3) \times (- 3) \times (- 3) =$ $81$ . Quatre facteurs négatifs, un nombre PAIR : le résultat est positif. b) Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le $3$ : $- 3^{4} = - (3 \times 3 \times 3 \times 3) =$ $- 81$ . c) $(- 5)^{3} = (- 5) \times (- 5) \times (- 5) =$ $- 125$ . Trois facteurs négatifs, un nombre IMPAIR : le résultat est négatif. d) Sept facteurs $- 1$ , un nombre impair : $(- 1)^{7} =$ $- 1$ . ⛔ Le piège : lire $- 3^{4}$ comme $(- 3)^{4}$ . Les parenthèses décident de la base : $(- 3)^{4}$ vaut $81$ , mais $- 3^{4}$ vaut $- 81$ . Réponse : a) $81$ ; b) $- 81$ ; c) $- 125$ ; d) $- 1$ .
Écriture (−3)⁴ −3⁴ (−5)³ (−1)⁷
Facteurs négatifs 4 aucun 3 7
Signe + − − −
Valeur 81 −81 −125 −1
4
a) Écris $2^{- 4}$ sous forme de fraction, puis en écriture décimale. b) Même question pour $5^{- 1}$ . c) Écris $3^{- 2}$ sous forme de fraction. Est-ce un nombre négatif ?
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Un exposant négatif désigne un INVERSE : $a^{- n} =$ $\frac{1}{a ^{n}}$ . a) $2^{- 4} = \frac{1}{2 ^{4}} =$ $\frac{1}{16}$ , et $1 \div 16 =$ $0, 0625$ . b) $5^{- 1} = \frac{1}{5 ^{1}} = \frac{1}{5} =$ $0, 2$ . c) $3^{- 2} = \frac{1}{3 ^{2}} =$ $\frac{1}{9}$ . Non : c'est un nombre POSITIF, plus petit que $1$ . ⭐ Le tableau le montre sans rien admettre : à chaque marche vers la droite, je divise par $2$ . Après $2^{0} =$ $1$ , la division continue : $0, 5$ , puis $0, 25$ … ⛔ Le piège : croire que $2^{- 4}$ vaut $- 16$ . Le signe moins porte sur l'EXPOSANT : il annonce un inverse, pas un opposé. Réponse : $2^{- 4} = \frac{1}{16} =$ $0, 0625$ ; $5^{- 1} = \frac{1}{5} =$ $0, 2$ ; $3^{- 2} =$ $\frac{1}{9}$ , un nombre positif.
Puissance 2² 2¹ 2⁰ 2⁻¹ 2⁻² 2⁻³ 2⁻⁴
Valeur 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625
5
a) Écris en écriture décimale : $1 0^{7}$ , puis $1 0^{- 5}$ . b) Écris sous la forme d'une puissance de $10$ : $10000$ , puis $0, 000001$ .
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a) $1 0^{7}$ : un $1$ suivi de sept zéros, $1 0^{7} =$ $10000000$ , dix millions. $1 0^{- 5}$ : le $1$ se place au cinquième rang après la virgule, $1 0^{- 5} =$ $0, 00001$ . b) $10000$ s'écrit avec quatre zéros : $10000 =$ $1 0^{4}$ . Dans $0, 000001$ , le $1$ est au sixième rang après la virgule : $0, 000001 =$ $1 0^{- 6}$ . ⛔ Le piège : compter TOUS les zéros de $0, 000001$ , celui d'avant la virgule compris, et écrire $1 0^{- 7}$ . Je compte les RANGS après la virgule : le $1$ est au sixième. Réponse : $1 0^{7} =$ $10000000$ ; $1 0^{- 5} =$ $0, 00001$ ; $10000 =$ $1 0^{4}$ ; $0, 000001 =$ $1 0^{- 6}$ .
Puissance 10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁴ 10⁷
Décimal 0,000001 0,00001 10 000 10 000 000
Ce qu'on compte 6 rangs 5 rangs 4 zéros 7 zéros
6
Écris en écriture décimale : a) $6, 4 \times 1 0^{3}$ b) $271 \times 1 0^{- 2}$ c) $0, 05 \times 1 0^{4}$
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a) Multiplier par $1 0^{3}$ , c'est multiplier par $1000$ : la virgule avance de trois rangs vers la droite. $6, 4 \times 1 0^{3} =$ $6400$ . b) $1 0^{- 2} =$ $0, 01$ : multiplier par $0, 01$ , c'est diviser par $100$ . La virgule recule de deux rangs vers la gauche : $271 \times 1 0^{- 2} =$ $2, 71$ . c) Quatre rangs vers la droite : $0, 05 \times 1 0^{4} =$ $500$ . ⛔ Le piège : dans b), croire que l'exposant négatif rend le résultat négatif, et écrire $- 2, 71$ . Un exposant négatif fait RECULER la virgule ; le nombre reste positif. Réponse : a) $6400$ ; b) $2, 71$ ; c) $500$ .
Calcul 6,4 × 10³ 271 × 10⁻² 0,05 × 10⁴
La virgule 3 rangs à droite 2 rangs à gauche 4 rangs à droite
Résultat 6 400 2,71 500
7
Donne la notation scientifique de : a) $72000$ b) $0, 00039$ c) $506$ d) $0, 8$
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La notation scientifique est $a \times 1 0^{n}$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule : $1 ⩽ a <$ $10$ . a) Je place la virgule après le $7$ : $7, 2$ . Pour revenir à $72000$ , elle doit avancer de quatre rangs vers la droite : $72000 = 7, 2 \times$ $1 0^{4}$ . b) Le premier chiffre non nul est le $3$ : $3, 9$ . Pour revenir à $0, 00039$ , la virgule recule de quatre rangs, l'exposant est négatif : $0, 00039 = 3, 9 \times$ $1 0^{- 4}$ . c) Deux rangs vers la droite, et je garde le $0$ du milieu : $506 = 5, 06 \times$ $1 0^{2}$ . d) Un rang vers la gauche : $0, 8 = 8 \times$ $1 0^{- 1}$ . ⛔ Le piège : dans c), perdre le zéro du milieu et écrire $5, 6 \times$ $1 0^{2}$ . Or $5, 6 \times 1 0^{2} =$ $560$ , pas $506$ . Réponse : a) $7, 2 \times$ $1 0^{4}$ ; b) $3, 9 \times$ $1 0^{- 4}$ ; c) $5, 06 \times$ $1 0^{2}$ ; d) $8 \times$ $1 0^{- 1}$ .
Nombre 72 000 0,00039 506 0,8
La virgule bouge de 4 rangs 4 rangs 2 rangs 1 rang
Scientifique 7,2 × 10⁴ 3,9 × 10⁻⁴ 5,06 × 10² 8 × 10⁻¹
8
Compare, en écrivant le signe qui convient : a) $4, 1 \times 1 0^{6}$ et $9, 7 \times 1 0^{5}$ b) $2, 3 \times 1 0^{- 3}$ et $2, 3 \times 1 0^{- 2}$ c) $6, 05 \times 1 0^{4}$ et $6, 5 \times 1 0^{4}$
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Je regarde d'abord les exposants ; je ne compare les nombres devant que si les exposants sont égaux. a) $6 >$ $5$ : un million contre cent mille. Même si $9, 7 >$ $4, 1$ , le nombre devant ne rattrape pas un rang de plus : $4, 1 \times 1 0^{6} > 9, 7 \times$ $1 0^{5}$ . b) Les exposants sont négatifs, et $- 2 >$ $- 3$ : $1 0^{- 2} = 0, 01$ est plus grand que $1 0^{- 3} =$ $0, 001$ . Donc $2, 3 \times 1 0^{- 3} < 2, 3 \times$ $1 0^{- 2}$ . c) Même exposant : je compare $6, 05$ et $6, 5$ , c'est-à-dire $6, 05$ et $6, 50$ . Donc $6, 05 \times 1 0^{4} < 6, 5 \times$ $1 0^{4}$ . ⛔ Le piège : dans a), choisir $9, 7 \times 1 0^{5}$ parce que $9, 7$ est plus grand que $4, 1$ . En clair, c'est $4100000$ contre $970000$ : les barres le montrent. Réponse : a) $>$ ; b) $<$ ; c) $<$ .
a) 4 100 000 > 970 000
b) 0,0023 < 0,023
c) 60 500 < 65 000

Écriture	6⁵	(−4)²	11⁴
Base	6	−4	11
Exposant	5	2	4
Produit	6×6×6×6×6	(−4)×(−4)	11×11×11×11

Puissance	8²	8¹	8⁰
Valeur	64	8	1
On divise par		8	8

Écriture	(−3)⁴	−3⁴	(−5)³	(−1)⁷
Facteurs négatifs	4	aucun	3	7
Signe	+	−	−	−
Valeur	81	−81	−125	−1

Puissance	2²	2¹	2⁰	2⁻¹	2⁻²	2⁻³	2⁻⁴
Valeur	4	2	1	0,5	0,25	0,125	0,0625

Puissance	10⁻⁶	10⁻⁵	10⁴	10⁷
Décimal	0,000001	0,00001	10 000	10 000 000
Ce qu'on compte	6 rangs	5 rangs	4 zéros	7 zéros

Calcul	6,4 × 10³	271 × 10⁻²	0,05 × 10⁴
La virgule	3 rangs à droite	2 rangs à gauche	4 rangs à droite
Résultat	6 400	2,71	500

Nombre	72 000	0,00039	506	0,8
La virgule bouge de	4 rangs	4 rangs	2 rangs	1 rang
Scientifique	7,2 × 10⁴	3,9 × 10⁻⁴	5,06 × 10²	8 × 10⁻¹

a)	4 100 000	>	970 000
b)	0,0023	<	0,023
c)	60 500	<	65 000

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes, comme au contrôle. J'écris les puissances en clair et je justifie chaque réponse par un calcul.

Rappel de cours

En 4e, pas de règle sur les exposants à apprendre : j'écris chaque puissance en clair, je calcule, puis je compte les zéros ou les rangs.
Les priorités : les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.
Pour comparer deux notations scientifiques : l'exposant d'abord ; les nombres devant seulement si les exposants sont égaux.
Une somme de puissances ne se regroupe pas : je calcule chaque puissance, puis j'additionne.

9
Calcule en écrivant chaque puissance de $10$ en clair, puis donne le résultat sous la forme d'une puissance de $10$ : $A = 1 0^{6} \times 1 0^{3}$ $B = 1 0^{- 2} \times 1 0^{- 3}$ $C = 1 0^{7} \div 1 0^{4}$
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Je ne cherche pas de règle : j'écris les nombres, je calcule, je compte les zéros. $A = 1000000 \times 1000 =$ $1000000000$ . Six zéros, puis trois de plus : neuf zéros. Donc $A =$ $1 0^{9}$ , un milliard. $B = 0, 01 \times 0, 001 =$ $0, 00001$ . Le $1$ est au cinquième rang après la virgule : $B =$ $1 0^{- 5}$ . $C = 10000000 \div 10000 =$ $1000$ . Diviser par $10000$ retire quatre zéros aux sept : $C =$ $1 0^{3}$ . ⛔ Le piège : multiplier les exposants dans A, $6 \times$ $3$ , et écrire $1 0^{18}$ . Je vérifie en clair : un million fois mille, c'est un milliard, avec neuf zéros. Réponse : $A =$ $1 0^{9}$ ; $B =$ $1 0^{- 5}$ ; $C =$ $1 0^{3}$ .
Calcul 10⁶ × 10³ 10⁻² × 10⁻³ 10⁷ ÷ 10⁴
En clair 1 000 000 × 1 000 0,01 × 0,001 10 000 000 ÷ 10 000
Résultat 1 000 000 000 0,00001 1 000
Puissance de 10 10⁹ 10⁻⁵ 10³
10
Calcule, en respectant les priorités : $A = 2^{5} + 3^{3}$ $B = 4^{2} \times 1 0^{3}$ $C = 5 \times 2^{3} - 6^{2}$ $D = (2 + 3)^{2}$ et $E = 2^{2} +$ $3^{2}$ . Sont-ils égaux ?
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Je calcule chaque puissance AVANT les multiplications et les additions. $A = 2^{5} + 3^{3} = 32 + 27 =$ $59$ . $B = 4^{2} \times 1 0^{3} = 16 \times 1000 =$ $16000$ . $C = 5 \times 2^{3} - 6^{2} = 5 \times 8 - 36 = 40 - 36 =$ $4$ . $D$ : la parenthèse d'abord, $(2 + 3)^{2} = 5^{2} =$ $25$ . Et $E = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 =$ $13$ . Ils ne sont pas égaux. ⭐ Le dessin le montre : le carré de côté $2 + 3$ contient le carré de $2$ ( $4$ cases) et le carré de $3$ ( $9$ cases), mais aussi deux rectangles de $2$ sur $3$ ( $6$ cases chacun). $4 + 9 + 6 + 6 =$ $25$ . ⛔ Le piège : croire que $(2 + 3)^{2} = 2^{2} +$ $3^{2}$ . Il manque les deux rectangles, soit $12$ cases. Réponse : $A =$ $59$ ; $B =$ $16000$ ; $C =$ $4$ ; $D = 25$ et $E =$ $13$ , donc $D$ et $E$ ne sont pas égaux.
11
On donne $A =$ $2^{- 1}$ , $B =$ $- 2^{1}$ , $C =$ $4^{0}$ , $D = (- 1)^{5}$ et $E =$ $2^{1}$ . a) Écris chaque nombre en écriture décimale. b) Range-les dans l'ordre croissant. c) $A$ et $B$ se ressemblent. Explique ce qui les sépare.
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a) $A = 2^{- 1} = \frac{1}{2} =$ $0, 5$ : l'exposant négatif donne l'INVERSE de $2$ . $B = - 2^{1} =$ $- 2$ : le signe moins est devant, c'est l'OPPOSÉ de $2$ . $C = 4^{0} =$ $1$ : tout nombre non nul à la puissance $0$ vaut $1$ . $D = (- 1)^{5} =$ $- 1$ : cinq facteurs négatifs, un nombre impair. $E = 2^{1} =$ $2$ . b) Je place les cinq points sur la droite graduée et je lis de gauche à droite. c) Dans $A$ , le moins est sur l'exposant : il annonce un inverse, et $A$ est positif. Dans $B$ , le moins est devant le nombre : il annonce un opposé, et $B$ est négatif. ⛔ Le piège : placer $A$ à gauche de zéro. Un exposant négatif ne rend jamais négative une puissance d'un nombre positif. Réponse : $B < D < A < C <$ $E$ , soit $- 2 < - 1 < 0, 5 < 1 <$ $2$ .
12
Ces écritures ne sont pas des notations scientifiques. Corrige-les, en passant par l'écriture décimale. a) $23 \times 1 0^{5}$ b) $0, 47 \times 1 0^{- 2}$ c) $715 \times 1 0^{- 6}$
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Le nombre devant doit être entre $1$ et $10$ . Je passe par l'écriture décimale, puis je repars de zéro. a) $23 \times 1 0^{5} =$ $2300000$ : la virgule avance de cinq rangs. Puis $2300000 = 2, 3 \times$ $1 0^{6}$ . b) $0, 47 \times 1 0^{- 2} = 0, 47 \times 0, 01 =$ $0, 0047$ . Puis $0, 0047 = 4, 7 \times$ $1 0^{- 3}$ . c) La virgule recule de six rangs : $715 \times 1 0^{- 6} =$ $0, 000715$ . Puis $0, 000715 = 7, 15 \times$ $1 0^{- 4}$ . ⭐ Contrôle : en a), le nombre devant est divisé par $10$ et l'exposant gagne $1$ ; en b), il est multiplié par $10$ et l'exposant perd $1$ ; en c), il est divisé par $100$ et l'exposant gagne $2$ . ⛔ Le piège : bouger la virgule et l'exposant dans le MÊME sens, et écrire $2, 3 \times 1 0^{4}$ au a). Ce nombre vaut $23000$ , cent fois trop peu. Réponse : a) $2, 3 \times$ $1 0^{6}$ ; b) $4, 7 \times$ $1 0^{- 3}$ ; c) $7, 15 \times$ $1 0^{- 4}$ .
Donné 23 × 10⁵ 0,47 × 10⁻² 715 × 10⁻⁶
En clair 2 300 000 0,0047 0,000715
Scientifique 2,3 × 10⁶ 4,7 × 10⁻³ 7,15 × 10⁻⁴
13
Écris chaque grandeur en notation scientifique. a) Le diamètre du Soleil : environ $1400000$ km. b) La longueur d'une bactérie Escherichia coli : environ $0, 000002$ m. c) Le nombre de cellules d'un corps humain adulte : environ $30000000000000$ . d) Pour c), un camarade écrit $30 \times$ $1 0^{12}$ . Est-ce juste ?
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a) Je place la virgule après le $1$ : $1, 4$ . Pour revenir au nombre, six rangs vers la droite : $1400000 = 1, 4 \times 1 0^{6}$ km. b) Le premier chiffre non nul est le $2$ . Pour revenir à $0, 000002$ , la virgule recule de six rangs : $0, 000002 = 2 \times 1 0^{- 6}$ m, deux millionièmes de mètre. c) Après le $3$ , il y a treize zéros : le zéro de $30$ , puis quatre paquets de trois. $30000000000000 = 3 \times 1 0^{13}$ cellules. d) $30 \times 1 0^{12}$ vaut bien le même nombre : le calcul est juste. Mais $30$ a deux chiffres avant la virgule : ce n'est pas une notation scientifique. ⛔ Le piège : dans c), ne compter que les zéros des paquets de trois ( $12$ ) et écrire $3 \times$ $1 0^{12}$ . J'oublierais le zéro de $30$ : le nombre serait dix fois trop petit. Réponse : a) $1, 4 \times 1 0^{6}$ km ; b) $2 \times 1 0^{- 6}$ m ; c) $3 \times 1 0^{13}$ cellules ; d) juste en valeur, mais pas scientifique.
Grandeur Soleil (km) E. coli (m) Cellules
En clair 1 400 000 0,000002 30 000 000 000 000
Scientifique 1,4 × 10⁶ 2 × 10⁻⁶ 3 × 10¹³
14
Range dans l'ordre croissant : $7, 5 \times$ $1 0^{- 3}$ ; $1, 2 \times$ $1 0^{- 2}$ ; $9 \times$ $1 0^{- 4}$ ; $0, 008$ ; $3, 4 \times$ $1 0^{- 3}$ .
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J'écris d'abord $0, 008$ en notation scientifique : $0, 008 = 8 \times$ $1 0^{- 3}$ . Je range par exposant. Le plus petit est $- 4$ , puis vient $- 3$ , puis $- 2$ . Exposant $- 4$ : $9 \times 1 0^{- 4}$ est le plus petit nombre. Exposant $- 3$ : trois nombres. Je compare $3, 4$ ; $7, 5$ et $8$ . Exposant $- 2$ : $1, 2 \times 1 0^{- 2}$ est le plus grand. ⛔ Le piège : croire que $9 \times 1 0^{- 4}$ est le plus grand parce que $9$ est le plus grand nombre devant. Son exposant est le plus petit : $0, 0009$ , c'est moins d'un millième. Réponse : $9 \times 1 0^{- 4} < 3, 4 \times 1 0^{- 3} < 7, 5 \times 1 0^{- 3} < 0, 008 < 1, 2 \times$ $1 0^{- 2}$ .
Écriture 9 × 10⁻⁴ 3,4 × 10⁻³ 7,5 × 10⁻³ 8 × 10⁻³ 1,2 × 10⁻²
Exposant −4 −3 −3 −3 −2
Décimal 0,0009 0,0034 0,0075 0,008 0,012
15
Calcule, puis donne le résultat en notation scientifique. Écris les puissances de $10$ en clair. $A = 5 \times 1 0^{3} \times 4 \times 1 0^{2}$ $B = \frac{9 \times 1 0 ^{5}}{3 \times 1 0 ^{2}}$ $C = 2, 5 \times 1 0^{- 2} \times 4$
Voir la correction
Dans un produit, j'ai le droit de changer l'ordre des facteurs : je regroupe les nombres d'un côté, les puissances de $10$ de l'autre. $A = (5 \times 4) \times (1 0^{3} \times 1 0^{2}) = 20 \times (1000 \times 100) = 20 \times 100000 =$ $2000000$ . Donc $A = 2 \times$ $1 0^{6}$ . $B = \frac{9}{3} \times \frac{100 000}{100} = 3 \times 1000 =$ $3000$ . Donc $B = 3 \times$ $1 0^{3}$ . $C = (2, 5 \times 4) \times 1 0^{- 2} = 10 \times 0, 01 =$ $0, 1$ . Donc $C = 1 \times$ $1 0^{- 1}$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à $20 \times 1 0^{5}$ pour A. Le calcul est juste, mais $20$ a deux chiffres avant la virgule : il faut encore écrire $20 = 2 \times$ $10$ . Réponse : $A = 2 \times$ $1 0^{6}$ ; $B = 3 \times$ $1 0^{3}$ ; $C = 1 \times$ $1 0^{- 1}$ .
Calcul A B C
Les nombres 5 × 4 = 20 9 ÷ 3 = 3 2,5 × 4 = 10
Les puissances de 10 1 000 × 100 = 100 000 100 000 ÷ 100 = 1 000 0,01
Résultat 2 × 10⁶ 3 × 10³ 1 × 10⁻¹
16
Vrai ou faux ? Justifie en écrivant les produits ou en calculant. a) $2^{3} \times 2^{2} = 2^{5}$ b) $3^{2} + 3^{2} = 3^{4}$ c) $1 0^{- 2} < 1 0^{- 3}$ d) $5^{2} \times 2^{2} = 1 0^{2}$
Voir la correction
a) $2^{3} \times 2^{2} = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times$ $2)$ : cinq facteurs $2$ en tout. VRAI, les deux valent $32$ . b) $3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 =$ $18$ , alors que $3^{4} =$ $81$ . FAUX : une somme n'est pas un produit. c) $1 0^{- 2} = 0, 01$ et $1 0^{- 3} =$ $0, 001$ : c'est $0, 01$ le plus grand. FAUX, c'est l'inverse. d) $5^{2} \times 2^{2} = 25 \times 4 = 100$ et $1 0^{2} =$ $100$ . VRAI : $(5 \times 5) \times (2 \times 2) = (5 \times 2) \times (5 \times$ $2)$ . ⛔ Le piège : répondre « vrai » au b) en additionnant les exposants. $3^{2} +$ $3^{2}$ , c'est deux fois $3^{2}$ , soit $2 \times 9 =$ $18$ : rien à voir avec $3^{4}$ . Réponse : a) vrai ; b) faux ; c) faux ; d) vrai.
Affirmation a) b) c) d)
À gauche 32 18 0,01 100
À droite 32 81 0,001 100
Verdict VRAI FAUX FAUX VRAI

Calcul	10⁶ × 10³	10⁻² × 10⁻³	10⁷ ÷ 10⁴
En clair	1 000 000 × 1 000	0,01 × 0,001	10 000 000 ÷ 10 000
Résultat	1 000 000 000	0,00001	1 000
Puissance de 10	10⁹	10⁻⁵	10³

Donné	23 × 10⁵	0,47 × 10⁻²	715 × 10⁻⁶
En clair	2 300 000	0,0047	0,000715
Scientifique	2,3 × 10⁶	4,7 × 10⁻³	7,15 × 10⁻⁴

Grandeur	Soleil (km)	E. coli (m)	Cellules
En clair	1 400 000	0,000002	30 000 000 000 000
Scientifique	1,4 × 10⁶	2 × 10⁻⁶	3 × 10¹³

Écriture	9 × 10⁻⁴	3,4 × 10⁻³	7,5 × 10⁻³	8 × 10⁻³	1,2 × 10⁻²
Exposant	−4	−3	−3	−3	−2
Décimal	0,0009	0,0034	0,0075	0,008	0,012

Calcul	A	B	C
Les nombres	5 × 4 = 20	9 ÷ 3 = 3	2,5 × 4 = 10
Les puissances de 10	1 000 × 100 = 100 000	100 000 ÷ 100 = 1 000	0,01
Résultat	2 × 10⁶	3 × 10³	1 × 10⁻¹

Affirmation	a)	b)	c)	d)
À gauche	32	18	0,01	100
À droite	32	81	0,001	100
Verdict	VRAI	FAUX	FAUX	VRAI

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Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Une situation réelle, plusieurs questions qui s'enchaînent. Je calcule en clair, puis j'écris le résultat en notation scientifique.

Rappel de cours

Je traduis l'énoncé en calcul (total $=$ nombre $\times$ quantité d'un seul, partage $=$ total $\div$ part), j'écris les nombres en clair, puis je donne le résultat en notation scientifique.
Pour diviser deux grands nombres, je retire le même nombre de zéros aux deux : $600000 \div 3000 = 600 \div$ $3$ .
Diviser par un nombre plus petit que $1$ fait GRANDIR le résultat. Diviser par $2$ à chaque étape, $n$ fois, c'est multiplier par $2^{- n}$ .

17Le parc éolien
Une éolienne terrestre produit environ $5 \times 1 0^{6}$ kWh d'électricité par an. Un parc en compte $40$ . a) Combien de kWh le parc produit-il par an ? Donne le résultat en clair, puis en notation scientifique. b) Un foyer consomme environ $5 \times 1 0^{3}$ kWh par an. Combien de foyers le parc peut-il alimenter ? c) En 2023, la France a consommé environ $4, 5 \times 1 0^{11}$ kWh d'électricité. Combien de parcs comme celui-ci faudrait-il pour tout produire ?
Voir la correction
a) Production du parc $=$ nombre d'éoliennes $\times$ production d'une éolienne. $5 \times 1 0^{6} =$ $5000000$ , donc $40 \times 5000000 = 200000000$ kWh. En notation scientifique : $2 \times 1 0^{8}$ kWh. b) Nombre de foyers $=$ production $\div$ consommation d'un foyer. $200000000 \div 5000 = 40000$ foyers. ⭐ Contrôle : $40000 \times 5000 =$ $200000000$ . c) $4, 5 \times 1 0^{11} =$ $450000000000$ . Je retire huit zéros aux deux nombres : $450000000000 \div 200000000 = 4500 \div 2 = 2250$ parcs. ⛔ Le piège : dans c), diviser les nombres devant, $4, 5 \div 2 =$ $2, 25$ , et oublier les puissances de $10$ . L'exposant dit la taille : $1 0^{11}$ contre $1 0^{8}$ , trois rangs d'écart, mille fois plus. Réponse : a) $2 \times 1 0^{8}$ kWh ; b) $40000$ foyers ; c) environ $2250$ parcs.
Qui ? Une éolienne Le parc Un foyer La France
kWh par an 5 × 10⁶ 2 × 10⁸ 5 × 10³ 4,5 × 10¹¹
En clair 5 000 000 200 000 000 5 000 450 000 000 000
18La piscine en gouttes d'eau
Un bassin olympique mesure $50$ m de long et $25$ m de large ; on prend $2$ m de profondeur. a) Calcule son volume en m³. Sachant que $1$ m³ $= 1 0^{3}$ L et $1$ L $= 1 0^{3}$ mL, écris ce volume en litres, puis en millilitres, en notation scientifique. b) Il faut $20$ gouttes d'eau pour faire $1$ mL. Quel est le volume d'une goutte, en mL ? Écris-le en notation scientifique. c) Combien de gouttes faut-il pour remplir le bassin ?
Voir la correction
a) Le bassin est un pavé : $50 \times 25 \times 2 = 2500$ m³. En litres : $2500 \times 1000 = 2500000$ L, soit $2, 5 \times 1 0^{6}$ L. En millilitres : $2500000 \times 1000 = 2500000000$ mL, soit $2, 5 \times 1 0^{9}$ mL. b) Une goutte : $1 \div 20 = 0, 05$ mL, soit $5 \times 1 0^{- 2}$ mL. c) Nombre de gouttes $=$ volume $\div$ volume d'une goutte. Diviser par $0, 05$ , c'est multiplier par $20$ : $2500000000 \times 20 =$ $50000000000$ , soit $5 \times 1 0^{10}$ gouttes, cinquante milliards. ⛔ Le piège : dans c), trouver MOINS de gouttes que de millilitres. Une goutte est plus petite qu'un millilitre : il faut vingt gouttes par millilitre, donc beaucoup plus de gouttes. Réponse : a) $2500$ m³, soit $2, 5 \times 1 0^{6}$ L et $2, 5 \times 1 0^{9}$ mL ; b) $5 \times 1 0^{- 2}$ mL ; c) $5 \times 1 0^{10}$ gouttes.
Unité m³ L mL gouttes
Quantité 2 500 2,5 × 10⁶ 2,5 × 10⁹ 5 × 10¹⁰
On multiplie par 1 000 1 000 20
19Du plus léger au plus lourd
Voici des masses d'animaux, en kilogrammes : baleine bleue : $1, 5 \times$ $1 0^{5}$ ; abeille : $1 \times$ $1 0^{- 4}$ ; éléphant d'Afrique : $6 \times$ $1 0^{3}$ ; colibri d'Elena : $2 \times$ $1 0^{- 3}$ ; être humain : $7 \times$ $1 0^{1}$ . a) Range ces masses dans l'ordre croissant. b) Combien de fois la baleine est-elle plus lourde que l'éléphant ? c) Combien d'abeilles pèsent autant qu'un colibri ? d) Écris la masse de l'abeille en grammes.
Voir la correction
a) Tous les exposants sont différents : je range par exposant, $- 4 < - 3 < 1 < 3 <$ $5$ , sans regarder les nombres devant. Ordre : abeille, colibri, être humain, éléphant, baleine. b) En clair : $1, 5 \times 1 0^{5} = 150000$ kg et $6 \times 1 0^{3} = 6000$ kg. Je retire trois zéros aux deux : $150000 \div 6000 = 150 \div 6 =$ $25$ . c) $2 \times 1 0^{- 3} = 0, 002$ kg et $1 \times 1 0^{- 4} = 0, 0001$ kg. Je multiplie les deux par $10000$ : $0, 002 \div 0, 0001 = 20 \div 1 =$ $20$ . d) $1$ kg $= 1 0^{3}$ g : $0, 0001 \times 1000 = 0, 1$ g. ⛔ Le piège : croire que l'abeille est plus lourde que le colibri parce que $4 >$ $3$ . Avec des exposants négatifs, $- 4$ est PLUS PETIT que $- 3$ : $0, 0001$ contre $0, 002$ . Réponse : a) abeille, colibri, être humain, éléphant, baleine ; b) $25$ fois ; c) $20$ abeilles ; d) $0, 1$ g.
Animal abeille colibri humain éléphant baleine
Masse (kg) 1 × 10⁻⁴ 2 × 10⁻³ 7 × 10¹ 6 × 10³ 1,5 × 10⁵
En clair (kg) 0,0001 0,002 70 6 000 150 000
20Le tableau de Roland-Garros
Le tableau du simple messieurs de Roland-Garros compte $128$ joueurs. À chaque tour, les joueurs s'affrontent deux par deux et le perdant est éliminé. a) Écris $128$ comme une puissance de $2$ . Combien de tours faut-il pour désigner le vainqueur ? b) Combien de joueurs restent en quarts de finale, c'est-à-dire après $4$ tours ? Quelle fraction des $128$ joueurs est-ce ? Écris-la comme une puissance de $2$ . c) Combien de matchs se jouent en tout ? d) Un tournoi de ping-pong réunit $1024$ joueurs. Combien de tours faut-il ?
Voir la correction
a) Je divise par $2$ jusqu'à $1$ : $128$ , $64$ , $32$ , $16$ , $8$ , $4$ , $2$ , $1$ . Sept divisions, donc sept facteurs $2$ : $128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $2^{7}$ . Chaque tour divise le nombre de joueurs par $2$ : il faut $7$ tours. b) Après $4$ tours : $128 \div 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 8$ joueurs. La fraction est $\frac{8}{128} = \frac{1}{16} = \frac{1}{2 ^{4}} =$ $2^{- 4}$ . c) Chaque match élimine un joueur, et il faut en éliminer $127$ pour garder le vainqueur : $64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127$ matchs. d) Je double à partir de $1$ : $1024 =$ $2^{10}$ , donc $10$ tours. Huit fois plus de joueurs, et seulement trois tours de plus. ⛔ Le piège : croire qu'il faut $64$ tours, ou $128$ . Le nombre de tours est l'EXPOSANT, le nombre de divisions par $2$ : pas un nombre de joueurs. Réponse : a) $128 =$ $2^{7}$ , soit $7$ tours ; b) $8$ joueurs, soit $2^{- 4}$ du tableau ; c) $127$ matchs ; d) $10$ tours.
Tour 1 2 3 4 5 6 7
Joueurs 128 64 32 16 8 4 2
Matchs 64 32 16 8 4 2 1

Qui ?	Une éolienne	Le parc	Un foyer	La France
kWh par an	5 × 10⁶	2 × 10⁸	5 × 10³	4,5 × 10¹¹
En clair	5 000 000	200 000 000	5 000	450 000 000 000

Unité	m³	L	mL	gouttes
Quantité	2 500	2,5 × 10⁶	2,5 × 10⁹	5 × 10¹⁰
On multiplie par		1 000	1 000	20

Animal	abeille	colibri	humain	éléphant	baleine
Masse (kg)	1 × 10⁻⁴	2 × 10⁻³	7 × 10¹	6 × 10³	1,5 × 10⁵
En clair (kg)	0,0001	0,002	70	6 000	150 000

Tour	1	2	3	4	5	6	7
Joueurs	128	64	32	16	8	4	2
Matchs	64	32	16	8	4	2	1

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Corrigés : puissances et notation scientifique, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. a) Je compte les facteurs : le $6$ apparaît cinq fois, donc $6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 =$ $6^{5}$ . b) Le nombre répété est $- 4$ tout entier : je garde les parenthèses, $(- 4) \times (- 4) =$ $(- 4)^{2}$ . c) La base est $11$ , le nombre répété ; l'exposant est $4$ , le nombre de facteurs : $1 1^{4} = 11 \times 11 \times 11 \times$ $11$ . ⛔ Le piège : écrire $6 \times 5$ au lieu de $6^{5}$ . L'exposant COMPTE les facteurs, il n'en est pas un : $6 \times 5 =$ $30$ , alors que $6^{5} =$ $7776$ . Réponse : a) $6^{5}$ ; b) $(- 4)^{2}$ ; c) base $11$ , exposant $4$ .
Écriture 6⁵ (−4)² 11⁴
Base 6 −4 11
Exposant 5 2 4
Produit 6×6×6×6×6 (−4)×(−4) 11×11×11×11
2. a) J'écris le produit : $2^{6} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $64$ . J'avance pas à pas, en doublant : $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ . b) $5^{3} = 5 \times 5 \times 5 =$ $125$ : $5 \times 5 =$ $25$ , puis $25 \times 5 =$ $125$ . c) $9^{2} = 9 \times 9 =$ $81$ . d) Je descends l'échelle en divisant par $8$ : $8^{2} =$ $64$ , $8^{1} =$ $8$ , puis $8^{0} = 8 \div 8 =$ $1$ . ⛔ Le piège : écrire $2^{6} =$ $12$ . Ça, c'est $2 \times$ $6$ . Six facteurs $2$ donnent $64$ , pas $12$ . Réponse : $2^{6} =$ $64$ ; $5^{3} =$ $125$ ; $9^{2} =$ $81$ ; $8^{0} =$ $1$ .
Puissance 8² 8¹ 8⁰
Valeur 64 8 1
On divise par 8 8
3. a) La base est $- 3$ , entre parenthèses : $(- 3)^{4} = (- 3) \times (- 3) \times (- 3) \times (- 3) =$ $81$ . Quatre facteurs négatifs, un nombre PAIR : le résultat est positif. b) Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le $3$ : $- 3^{4} = - (3 \times 3 \times 3 \times 3) =$ $- 81$ . c) $(- 5)^{3} = (- 5) \times (- 5) \times (- 5) =$ $- 125$ . Trois facteurs négatifs, un nombre IMPAIR : le résultat est négatif. d) Sept facteurs $- 1$ , un nombre impair : $(- 1)^{7} =$ $- 1$ . ⛔ Le piège : lire $- 3^{4}$ comme $(- 3)^{4}$ . Les parenthèses décident de la base : $(- 3)^{4}$ vaut $81$ , mais $- 3^{4}$ vaut $- 81$ . Réponse : a) $81$ ; b) $- 81$ ; c) $- 125$ ; d) $- 1$ .
Écriture (−3)⁴ −3⁴ (−5)³ (−1)⁷
Facteurs négatifs 4 aucun 3 7
Signe + − − −
Valeur 81 −81 −125 −1
4. Un exposant négatif désigne un INVERSE : $a^{- n} =$ $\frac{1}{a ^{n}}$ . a) $2^{- 4} = \frac{1}{2 ^{4}} =$ $\frac{1}{16}$ , et $1 \div 16 =$ $0, 0625$ . b) $5^{- 1} = \frac{1}{5 ^{1}} = \frac{1}{5} =$ $0, 2$ . c) $3^{- 2} = \frac{1}{3 ^{2}} =$ $\frac{1}{9}$ . Non : c'est un nombre POSITIF, plus petit que $1$ . ⭐ Le tableau le montre sans rien admettre : à chaque marche vers la droite, je divise par $2$ . Après $2^{0} =$ $1$ , la division continue : $0, 5$ , puis $0, 25$ … ⛔ Le piège : croire que $2^{- 4}$ vaut $- 16$ . Le signe moins porte sur l'EXPOSANT : il annonce un inverse, pas un opposé. Réponse : $2^{- 4} = \frac{1}{16} =$ $0, 0625$ ; $5^{- 1} = \frac{1}{5} =$ $0, 2$ ; $3^{- 2} =$ $\frac{1}{9}$ , un nombre positif.
Puissance 2² 2¹ 2⁰ 2⁻¹ 2⁻² 2⁻³ 2⁻⁴
Valeur 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625
5. a) $1 0^{7}$ : un $1$ suivi de sept zéros, $1 0^{7} =$ $10000000$ , dix millions. $1 0^{- 5}$ : le $1$ se place au cinquième rang après la virgule, $1 0^{- 5} =$ $0, 00001$ . b) $10000$ s'écrit avec quatre zéros : $10000 =$ $1 0^{4}$ . Dans $0, 000001$ , le $1$ est au sixième rang après la virgule : $0, 000001 =$ $1 0^{- 6}$ . ⛔ Le piège : compter TOUS les zéros de $0, 000001$ , celui d'avant la virgule compris, et écrire $1 0^{- 7}$ . Je compte les RANGS après la virgule : le $1$ est au sixième. Réponse : $1 0^{7} =$ $10000000$ ; $1 0^{- 5} =$ $0, 00001$ ; $10000 =$ $1 0^{4}$ ; $0, 000001 =$ $1 0^{- 6}$ .
Puissance 10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁴ 10⁷
Décimal 0,000001 0,00001 10 000 10 000 000
Ce qu'on compte 6 rangs 5 rangs 4 zéros 7 zéros
6. a) Multiplier par $1 0^{3}$ , c'est multiplier par $1000$ : la virgule avance de trois rangs vers la droite. $6, 4 \times 1 0^{3} =$ $6400$ . b) $1 0^{- 2} =$ $0, 01$ : multiplier par $0, 01$ , c'est diviser par $100$ . La virgule recule de deux rangs vers la gauche : $271 \times 1 0^{- 2} =$ $2, 71$ . c) Quatre rangs vers la droite : $0, 05 \times 1 0^{4} =$ $500$ . ⛔ Le piège : dans b), croire que l'exposant négatif rend le résultat négatif, et écrire $- 2, 71$ . Un exposant négatif fait RECULER la virgule ; le nombre reste positif. Réponse : a) $6400$ ; b) $2, 71$ ; c) $500$ .
Calcul 6,4 × 10³ 271 × 10⁻² 0,05 × 10⁴
La virgule 3 rangs à droite 2 rangs à gauche 4 rangs à droite
Résultat 6 400 2,71 500
7. La notation scientifique est $a \times 1 0^{n}$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule : $1 ⩽ a <$ $10$ . a) Je place la virgule après le $7$ : $7, 2$ . Pour revenir à $72000$ , elle doit avancer de quatre rangs vers la droite : $72000 = 7, 2 \times$ $1 0^{4}$ . b) Le premier chiffre non nul est le $3$ : $3, 9$ . Pour revenir à $0, 00039$ , la virgule recule de quatre rangs, l'exposant est négatif : $0, 00039 = 3, 9 \times$ $1 0^{- 4}$ . c) Deux rangs vers la droite, et je garde le $0$ du milieu : $506 = 5, 06 \times$ $1 0^{2}$ . d) Un rang vers la gauche : $0, 8 = 8 \times$ $1 0^{- 1}$ . ⛔ Le piège : dans c), perdre le zéro du milieu et écrire $5, 6 \times$ $1 0^{2}$ . Or $5, 6 \times 1 0^{2} =$ $560$ , pas $506$ . Réponse : a) $7, 2 \times$ $1 0^{4}$ ; b) $3, 9 \times$ $1 0^{- 4}$ ; c) $5, 06 \times$ $1 0^{2}$ ; d) $8 \times$ $1 0^{- 1}$ .
Nombre 72 000 0,00039 506 0,8
La virgule bouge de 4 rangs 4 rangs 2 rangs 1 rang
Scientifique 7,2 × 10⁴ 3,9 × 10⁻⁴ 5,06 × 10² 8 × 10⁻¹
8. Je regarde d'abord les exposants ; je ne compare les nombres devant que si les exposants sont égaux. a) $6 >$ $5$ : un million contre cent mille. Même si $9, 7 >$ $4, 1$ , le nombre devant ne rattrape pas un rang de plus : $4, 1 \times 1 0^{6} > 9, 7 \times$ $1 0^{5}$ . b) Les exposants sont négatifs, et $- 2 >$ $- 3$ : $1 0^{- 2} = 0, 01$ est plus grand que $1 0^{- 3} =$ $0, 001$ . Donc $2, 3 \times 1 0^{- 3} < 2, 3 \times$ $1 0^{- 2}$ . c) Même exposant : je compare $6, 05$ et $6, 5$ , c'est-à-dire $6, 05$ et $6, 50$ . Donc $6, 05 \times 1 0^{4} < 6, 5 \times$ $1 0^{4}$ . ⛔ Le piège : dans a), choisir $9, 7 \times 1 0^{5}$ parce que $9, 7$ est plus grand que $4, 1$ . En clair, c'est $4100000$ contre $970000$ : les barres le montrent. Réponse : a) $>$ ; b) $<$ ; c) $<$ .
a) 4 100 000 > 970 000
b) 0,0023 < 0,023
c) 60 500 < 65 000
9. Je ne cherche pas de règle : j'écris les nombres, je calcule, je compte les zéros. $A = 1000000 \times 1000 =$ $1000000000$ . Six zéros, puis trois de plus : neuf zéros. Donc $A =$ $1 0^{9}$ , un milliard. $B = 0, 01 \times 0, 001 =$ $0, 00001$ . Le $1$ est au cinquième rang après la virgule : $B =$ $1 0^{- 5}$ . $C = 10000000 \div 10000 =$ $1000$ . Diviser par $10000$ retire quatre zéros aux sept : $C =$ $1 0^{3}$ . ⛔ Le piège : multiplier les exposants dans A, $6 \times$ $3$ , et écrire $1 0^{18}$ . Je vérifie en clair : un million fois mille, c'est un milliard, avec neuf zéros. Réponse : $A =$ $1 0^{9}$ ; $B =$ $1 0^{- 5}$ ; $C =$ $1 0^{3}$ .
Calcul 10⁶ × 10³ 10⁻² × 10⁻³ 10⁷ ÷ 10⁴
En clair 1 000 000 × 1 000 0,01 × 0,001 10 000 000 ÷ 10 000
Résultat 1 000 000 000 0,00001 1 000
Puissance de 10 10⁹ 10⁻⁵ 10³
10. Je calcule chaque puissance AVANT les multiplications et les additions. $A = 2^{5} + 3^{3} = 32 + 27 =$ $59$ . $B = 4^{2} \times 1 0^{3} = 16 \times 1000 =$ $16000$ . $C = 5 \times 2^{3} - 6^{2} = 5 \times 8 - 36 = 40 - 36 =$ $4$ . $D$ : la parenthèse d'abord, $(2 + 3)^{2} = 5^{2} =$ $25$ . Et $E = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 =$ $13$ . Ils ne sont pas égaux. ⭐ Le dessin le montre : le carré de côté $2 + 3$ contient le carré de $2$ ( $4$ cases) et le carré de $3$ ( $9$ cases), mais aussi deux rectangles de $2$ sur $3$ ( $6$ cases chacun). $4 + 9 + 6 + 6 =$ $25$ . ⛔ Le piège : croire que $(2 + 3)^{2} = 2^{2} +$ $3^{2}$ . Il manque les deux rectangles, soit $12$ cases. Réponse : $A =$ $59$ ; $B =$ $16000$ ; $C =$ $4$ ; $D = 25$ et $E =$ $13$ , donc $D$ et $E$ ne sont pas égaux.
11. a) $A = 2^{- 1} = \frac{1}{2} =$ $0, 5$ : l'exposant négatif donne l'INVERSE de $2$ . $B = - 2^{1} =$ $- 2$ : le signe moins est devant, c'est l'OPPOSÉ de $2$ . $C = 4^{0} =$ $1$ : tout nombre non nul à la puissance $0$ vaut $1$ . $D = (- 1)^{5} =$ $- 1$ : cinq facteurs négatifs, un nombre impair. $E = 2^{1} =$ $2$ . b) Je place les cinq points sur la droite graduée et je lis de gauche à droite. c) Dans $A$ , le moins est sur l'exposant : il annonce un inverse, et $A$ est positif. Dans $B$ , le moins est devant le nombre : il annonce un opposé, et $B$ est négatif. ⛔ Le piège : placer $A$ à gauche de zéro. Un exposant négatif ne rend jamais négative une puissance d'un nombre positif. Réponse : $B < D < A < C <$ $E$ , soit $- 2 < - 1 < 0, 5 < 1 <$ $2$ .
12. Le nombre devant doit être entre $1$ et $10$ . Je passe par l'écriture décimale, puis je repars de zéro. a) $23 \times 1 0^{5} =$ $2300000$ : la virgule avance de cinq rangs. Puis $2300000 = 2, 3 \times$ $1 0^{6}$ . b) $0, 47 \times 1 0^{- 2} = 0, 47 \times 0, 01 =$ $0, 0047$ . Puis $0, 0047 = 4, 7 \times$ $1 0^{- 3}$ . c) La virgule recule de six rangs : $715 \times 1 0^{- 6} =$ $0, 000715$ . Puis $0, 000715 = 7, 15 \times$ $1 0^{- 4}$ . ⭐ Contrôle : en a), le nombre devant est divisé par $10$ et l'exposant gagne $1$ ; en b), il est multiplié par $10$ et l'exposant perd $1$ ; en c), il est divisé par $100$ et l'exposant gagne $2$ . ⛔ Le piège : bouger la virgule et l'exposant dans le MÊME sens, et écrire $2, 3 \times 1 0^{4}$ au a). Ce nombre vaut $23000$ , cent fois trop peu. Réponse : a) $2, 3 \times$ $1 0^{6}$ ; b) $4, 7 \times$ $1 0^{- 3}$ ; c) $7, 15 \times$ $1 0^{- 4}$ .
Donné 23 × 10⁵ 0,47 × 10⁻² 715 × 10⁻⁶
En clair 2 300 000 0,0047 0,000715
Scientifique 2,3 × 10⁶ 4,7 × 10⁻³ 7,15 × 10⁻⁴
13. a) Je place la virgule après le $1$ : $1, 4$ . Pour revenir au nombre, six rangs vers la droite : $1400000 = 1, 4 \times 1 0^{6}$ km. b) Le premier chiffre non nul est le $2$ . Pour revenir à $0, 000002$ , la virgule recule de six rangs : $0, 000002 = 2 \times 1 0^{- 6}$ m, deux millionièmes de mètre. c) Après le $3$ , il y a treize zéros : le zéro de $30$ , puis quatre paquets de trois. $30000000000000 = 3 \times 1 0^{13}$ cellules. d) $30 \times 1 0^{12}$ vaut bien le même nombre : le calcul est juste. Mais $30$ a deux chiffres avant la virgule : ce n'est pas une notation scientifique. ⛔ Le piège : dans c), ne compter que les zéros des paquets de trois ( $12$ ) et écrire $3 \times$ $1 0^{12}$ . J'oublierais le zéro de $30$ : le nombre serait dix fois trop petit. Réponse : a) $1, 4 \times 1 0^{6}$ km ; b) $2 \times 1 0^{- 6}$ m ; c) $3 \times 1 0^{13}$ cellules ; d) juste en valeur, mais pas scientifique.
Grandeur Soleil (km) E. coli (m) Cellules
En clair 1 400 000 0,000002 30 000 000 000 000
Scientifique 1,4 × 10⁶ 2 × 10⁻⁶ 3 × 10¹³
14. J'écris d'abord $0, 008$ en notation scientifique : $0, 008 = 8 \times$ $1 0^{- 3}$ . Je range par exposant. Le plus petit est $- 4$ , puis vient $- 3$ , puis $- 2$ . Exposant $- 4$ : $9 \times 1 0^{- 4}$ est le plus petit nombre. Exposant $- 3$ : trois nombres. Je compare $3, 4$ ; $7, 5$ et $8$ . Exposant $- 2$ : $1, 2 \times 1 0^{- 2}$ est le plus grand. ⛔ Le piège : croire que $9 \times 1 0^{- 4}$ est le plus grand parce que $9$ est le plus grand nombre devant. Son exposant est le plus petit : $0, 0009$ , c'est moins d'un millième. Réponse : $9 \times 1 0^{- 4} < 3, 4 \times 1 0^{- 3} < 7, 5 \times 1 0^{- 3} < 0, 008 < 1, 2 \times$ $1 0^{- 2}$ .
Écriture 9 × 10⁻⁴ 3,4 × 10⁻³ 7,5 × 10⁻³ 8 × 10⁻³ 1,2 × 10⁻²
Exposant −4 −3 −3 −3 −2
Décimal 0,0009 0,0034 0,0075 0,008 0,012
15. Dans un produit, j'ai le droit de changer l'ordre des facteurs : je regroupe les nombres d'un côté, les puissances de $10$ de l'autre. $A = (5 \times 4) \times (1 0^{3} \times 1 0^{2}) = 20 \times (1000 \times 100) = 20 \times 100000 =$ $2000000$ . Donc $A = 2 \times$ $1 0^{6}$ . $B = \frac{9}{3} \times \frac{100 000}{100} = 3 \times 1000 =$ $3000$ . Donc $B = 3 \times$ $1 0^{3}$ . $C = (2, 5 \times 4) \times 1 0^{- 2} = 10 \times 0, 01 =$ $0, 1$ . Donc $C = 1 \times$ $1 0^{- 1}$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à $20 \times 1 0^{5}$ pour A. Le calcul est juste, mais $20$ a deux chiffres avant la virgule : il faut encore écrire $20 = 2 \times$ $10$ . Réponse : $A = 2 \times$ $1 0^{6}$ ; $B = 3 \times$ $1 0^{3}$ ; $C = 1 \times$ $1 0^{- 1}$ .
Calcul A B C
Les nombres 5 × 4 = 20 9 ÷ 3 = 3 2,5 × 4 = 10
Les puissances de 10 1 000 × 100 = 100 000 100 000 ÷ 100 = 1 000 0,01
Résultat 2 × 10⁶ 3 × 10³ 1 × 10⁻¹
16. a) $2^{3} \times 2^{2} = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times$ $2)$ : cinq facteurs $2$ en tout. VRAI, les deux valent $32$ . b) $3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 =$ $18$ , alors que $3^{4} =$ $81$ . FAUX : une somme n'est pas un produit. c) $1 0^{- 2} = 0, 01$ et $1 0^{- 3} =$ $0, 001$ : c'est $0, 01$ le plus grand. FAUX, c'est l'inverse. d) $5^{2} \times 2^{2} = 25 \times 4 = 100$ et $1 0^{2} =$ $100$ . VRAI : $(5 \times 5) \times (2 \times 2) = (5 \times 2) \times (5 \times$ $2)$ . ⛔ Le piège : répondre « vrai » au b) en additionnant les exposants. $3^{2} +$ $3^{2}$ , c'est deux fois $3^{2}$ , soit $2 \times 9 =$ $18$ : rien à voir avec $3^{4}$ . Réponse : a) vrai ; b) faux ; c) faux ; d) vrai.
Affirmation a) b) c) d)
À gauche 32 18 0,01 100
À droite 32 81 0,001 100
Verdict VRAI FAUX FAUX VRAI
17. Le parc éolien a) Production du parc $=$ nombre d'éoliennes $\times$ production d'une éolienne. $5 \times 1 0^{6} =$ $5000000$ , donc $40 \times 5000000 = 200000000$ kWh. En notation scientifique : $2 \times 1 0^{8}$ kWh. b) Nombre de foyers $=$ production $\div$ consommation d'un foyer. $200000000 \div 5000 = 40000$ foyers. ⭐ Contrôle : $40000 \times 5000 =$ $200000000$ . c) $4, 5 \times 1 0^{11} =$ $450000000000$ . Je retire huit zéros aux deux nombres : $450000000000 \div 200000000 = 4500 \div 2 = 2250$ parcs. ⛔ Le piège : dans c), diviser les nombres devant, $4, 5 \div 2 =$ $2, 25$ , et oublier les puissances de $10$ . L'exposant dit la taille : $1 0^{11}$ contre $1 0^{8}$ , trois rangs d'écart, mille fois plus. Réponse : a) $2 \times 1 0^{8}$ kWh ; b) $40000$ foyers ; c) environ $2250$ parcs.
Qui ? Une éolienne Le parc Un foyer La France
kWh par an 5 × 10⁶ 2 × 10⁸ 5 × 10³ 4,5 × 10¹¹
En clair 5 000 000 200 000 000 5 000 450 000 000 000
18. La piscine en gouttes d'eau a) Le bassin est un pavé : $50 \times 25 \times 2 = 2500$ m³. En litres : $2500 \times 1000 = 2500000$ L, soit $2, 5 \times 1 0^{6}$ L. En millilitres : $2500000 \times 1000 = 2500000000$ mL, soit $2, 5 \times 1 0^{9}$ mL. b) Une goutte : $1 \div 20 = 0, 05$ mL, soit $5 \times 1 0^{- 2}$ mL. c) Nombre de gouttes $=$ volume $\div$ volume d'une goutte. Diviser par $0, 05$ , c'est multiplier par $20$ : $2500000000 \times 20 =$ $50000000000$ , soit $5 \times 1 0^{10}$ gouttes, cinquante milliards. ⛔ Le piège : dans c), trouver MOINS de gouttes que de millilitres. Une goutte est plus petite qu'un millilitre : il faut vingt gouttes par millilitre, donc beaucoup plus de gouttes. Réponse : a) $2500$ m³, soit $2, 5 \times 1 0^{6}$ L et $2, 5 \times 1 0^{9}$ mL ; b) $5 \times 1 0^{- 2}$ mL ; c) $5 \times 1 0^{10}$ gouttes.
Unité m³ L mL gouttes
Quantité 2 500 2,5 × 10⁶ 2,5 × 10⁹ 5 × 10¹⁰
On multiplie par 1 000 1 000 20
19. Du plus léger au plus lourd a) Tous les exposants sont différents : je range par exposant, $- 4 < - 3 < 1 < 3 <$ $5$ , sans regarder les nombres devant. Ordre : abeille, colibri, être humain, éléphant, baleine. b) En clair : $1, 5 \times 1 0^{5} = 150000$ kg et $6 \times 1 0^{3} = 6000$ kg. Je retire trois zéros aux deux : $150000 \div 6000 = 150 \div 6 =$ $25$ . c) $2 \times 1 0^{- 3} = 0, 002$ kg et $1 \times 1 0^{- 4} = 0, 0001$ kg. Je multiplie les deux par $10000$ : $0, 002 \div 0, 0001 = 20 \div 1 =$ $20$ . d) $1$ kg $= 1 0^{3}$ g : $0, 0001 \times 1000 = 0, 1$ g. ⛔ Le piège : croire que l'abeille est plus lourde que le colibri parce que $4 >$ $3$ . Avec des exposants négatifs, $- 4$ est PLUS PETIT que $- 3$ : $0, 0001$ contre $0, 002$ . Réponse : a) abeille, colibri, être humain, éléphant, baleine ; b) $25$ fois ; c) $20$ abeilles ; d) $0, 1$ g.
Animal abeille colibri humain éléphant baleine
Masse (kg) 1 × 10⁻⁴ 2 × 10⁻³ 7 × 10¹ 6 × 10³ 1,5 × 10⁵
En clair (kg) 0,0001 0,002 70 6 000 150 000
20. Le tableau de Roland-Garros a) Je divise par $2$ jusqu'à $1$ : $128$ , $64$ , $32$ , $16$ , $8$ , $4$ , $2$ , $1$ . Sept divisions, donc sept facteurs $2$ : $128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =$ $2^{7}$ . Chaque tour divise le nombre de joueurs par $2$ : il faut $7$ tours. b) Après $4$ tours : $128 \div 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 8$ joueurs. La fraction est $\frac{8}{128} = \frac{1}{16} = \frac{1}{2 ^{4}} =$ $2^{- 4}$ . c) Chaque match élimine un joueur, et il faut en éliminer $127$ pour garder le vainqueur : $64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127$ matchs. d) Je double à partir de $1$ : $1024 =$ $2^{10}$ , donc $10$ tours. Huit fois plus de joueurs, et seulement trois tours de plus. ⛔ Le piège : croire qu'il faut $64$ tours, ou $128$ . Le nombre de tours est l'EXPOSANT, le nombre de divisions par $2$ : pas un nombre de joueurs. Réponse : a) $128 =$ $2^{7}$ , soit $7$ tours ; b) $8$ joueurs, soit $2^{- 4}$ du tableau ; c) $127$ matchs ; d) $10$ tours.
Tour 1 2 3 4 5 6 7
Joueurs 128 64 32 16 8 4 2
Matchs 64 32 16 8 4 2 1

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : puissances et notation scientifique, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3