La bissectrice d'un angle : 20 exercices corrigésmaths 6e — du geste seul au problème de contrôle

Vingt exercices, du geste seul au problème. Reconnaître la bissectrice d'un angle. La tracer par pliage, puis au rapporteur. Calculer un angle grâce à elle. Puis enchaîner les bissectrices. Une tarte coupée en parts égales, un projecteur de théâtre, un pliage, un programme de construction. Un rappel de cours avant chaque niveau. Cherche d'abord au brouillon, puis ouvre la correction : étape par étape, avec le piège nommé et la figure.

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Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Une seule chose à faire. Je regarde si les deux parts de l'angle sont égales.

Rappel de cours

La bissectrice d'un angle part du sommet.
Elle partage l'angle en deux angles ÉGAUX.
Chaque part mesure la MOITIÉ de l'angle.

1
Voici deux figures. a) Figure 1 : $[OC)$ est-elle la bissectrice de $A OB$ ? b) Figure 2 : $[OF)$ est-elle la bissectrice de $EOG$ ?
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Je regarde si les deux parts de l'angle ont la même mesure. a) Figure 1 : les deux parts mesurent $28°$ et $28°$ . Elles sont égales. $[OC)$ est la bissectrice de $A OB$ . b) Figure 2 : les deux parts mesurent $31°$ et $25°$ . Elles ne sont pas égales. $[OF)$ n'est pas la bissectrice de $EOG$ . ⛔ Le piège : juger à l'œil. Les deux figures se ressemblent. Seules les mesures tranchent. Réponse : a) oui ; b) non.
2
a) Un angle mesure $76°$ . Sa bissectrice le partage en deux angles. Combien mesure chacun ? b) Même question pour un angle droit. c) Même question pour un angle plat.
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Je prends la moitié de l'angle : je divise par $2$ . a) $76 \div 2 =$ $38$ . Chaque angle mesure $38°$ . b) Un angle droit mesure $90°$ . $90 \div 2 =$ $45$ . Chaque angle mesure $45°$ . c) Un angle plat mesure $180°$ . $180 \div 2 =$ $90$ . Chaque angle mesure $90°$ : ce sont deux angles droits. ⛔ Le piège au c) : répondre $45°$ par habitude. $45°$ , c'est seulement la moitié d'un angle DROIT. Réponse : a) $38°$ ; b) $45°$ ; c) $90°$ .
3
Le rapporteur est posé sur l'angle $A OB$ . a) Combien mesure $A OB$ ? b) Pour tracer sa bissectrice, sur quelle graduation faut-il faire une marque ?
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a) Le $0$ bleu est sur $[O A)$ . Je lis donc les nombres bleus. $[OB)$ passe un trait moyen avant le $150$ bleu : $150 - 10 =$ $140$ . $A OB =$ $140°$ . b) La bissectrice partage l'angle en deux : $140 \div 2 =$ $70$ . Sans bouger le rapporteur, je fais une marque au $70$ bleu. Puis je trace la demi-droite qui part de $O$ et passe par la marque. ⛔ Le piège : lire les nombres gris. Le $0$ gris n'est pas sur $[O A)$ . Réponse : a) $140°$ ; b) au $70$ bleu.
4
Mia a tracé un angle $A OB$ de $100°$ sur une feuille. Elle plie la feuille pour poser $[O A)$ exactement sur $[OB)$ . Le pli est en pointillés. a) Que représente le pli ? b) Combien mesure chacune des deux parts ?
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a) Quand je plie, un côté vient se poser sur l'autre. Les deux parts de l'angle se superposent : elles sont égales. Le pli partage donc l'angle en deux angles égaux. C'est la bissectrice. b) Chaque part mesure la moitié : $100 \div 2 =$ $50$ . Chaque part mesure $50°$ . ⭐ Le pli est aussi l'axe de symétrie de l'angle. ⛔ Le piège : plier n'importe où. Il faut que les deux côtés tombent EXACTEMENT l'un sur l'autre. Réponse : a) la bissectrice de $A OB$ ; b) $50°$ chacune.
5
La demi-droite $[OC)$ est la bissectrice de l'angle $A OB$ . L'angle $A OC$ mesure $43°$ . Combien mesure l'angle $A OB$ ?
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$[OC)$ est la bissectrice. Donc $A OC$ et $COB$ sont égaux. $COB$ mesure aussi $43°$ . L'angle entier est fait des deux parts : $43 + 43 =$ $86$ . $A OB =$ $86°$ . ⛔ Le piège : diviser par $2$ , et répondre $21, 5°$ . Ici, on connaît la MOITIÉ : il faut doubler. Réponse : $A OB =$ $86°$ .
6
L'angle $x O y$ mesure $154°$ . La demi-droite $[O m)$ est sa bissectrice. Combien mesure l'angle $x O m$ ?
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La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux. Chaque part mesure la moitié : $154 \div 2 =$ $77$ . $x O m =$ $77°$ . Je vérifie : $77 + 77 =$ $154$ . ⛔ Le piège : oublier de diviser, et répondre $154°$ . $x O m$ n'est qu'une PARTIE de l'angle. Réponse : $x O m =$ $77°$ .
7
Le rapporteur est posé sur l'angle $A OB$ . Trois demi-droites grises partent de $O$ : $[O D)$ , $[OE)$ et $[OF)$ . Laquelle est la bissectrice de $A OB$ ?
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Je lis les nombres bleus : le $0$ bleu est sur $[O A)$ . $[OB)$ passe par $70$ . Donc $A OB =$ $70°$ . La bissectrice doit passer par la moitié : $70 \div 2 =$ $35$ . $[O D)$ passe par $20$ , $[OE)$ par $35$ , $[OF)$ par $50$ . C'est $[OE)$ qui passe par $35$ . Je vérifie : $35 + 35 =$ $70$ . ⛔ Le piège : choisir la demi-droite qui a l'air au milieu du dessin. Je lis les graduations. Réponse : $[OE)$ .
8
Sur la figure, $[OM)$ est en orange et $[ON)$ en pointillés. Vrai ou faux ? a) $[ON)$ part du sommet, donc c'est une bissectrice de $A OB$ . b) $[OM)$ partage $A OB$ en deux angles égaux. c) Si je plie le long de $[OM)$ , $[O A)$ vient sur $[OB)$ . d) L'angle $A OB$ a deux bissectrices.
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a) Faux. Passer par le sommet ne suffit pas. Il faut aussi deux parts ÉGALES. $[ON)$ coupe l'angle en deux parts inégales. b) Vrai. Les deux parts mesurent $40°$ et $40°$ . c) Vrai. La bissectrice est l'axe de symétrie de l'angle. d) Faux. Un angle n'a qu'UNE bissectrice. ⛔ Le piège : croire que toute demi-droite qui part du sommet est une bissectrice. Réponse : a) faux ; b) vrai ; c) vrai ; d) faux.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Plusieurs étapes. Je trouve d'abord la mesure de l'angle, puis sa moitié.

Rappel de cours

Je connais l'angle : je divise par $2$ .
Je connais une moitié : je multiplie par $2$ .
Angle plat : $180°$ . Angle droit : $90°$ .

9
a) Trace un angle $x O y$ de $124°$ . b) Trace sa bissectrice $[O z)$ avec le rapporteur. Écris les étapes, dans l'ordre.
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a) Je trace $[O x)$ . Centre du rapporteur sur $O$ , $0$ sur $[O x)$ . Je marque $124$ et je trace $[O y)$ . b) Je calcule la moitié : $124 \div 2 =$ $62$ . Je laisse le rapporteur en place. Je fais une marque au $62$ , sur la MÊME graduation. Je trace $[O z)$ de $O$ jusqu'à la marque. Je vérifie : $z O y$ mesure aussi $62°$ . ⛔ Le piège : marquer $62$ sur l'autre graduation. On obtiendrait une demi-droite à $118°$ de $[O x)$ . Réponse : $[O z)$ fait $62°$ avec $[O x)$ et $62°$ avec $[O y)$ .
10
Les points $A$ , $O$ et $D$ sont alignés. $[OC)$ est la bissectrice de l'angle $A OB$ . L'angle $A OC$ mesure $26°$ . a) Combien mesure $A OB$ ? b) Combien mesure $BO D$ ?
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a) $[OC)$ est la bissectrice : $COB$ mesure aussi $26°$ . $A OB = 26 + 26 =$ $52$ , soit $52°$ . b) $A$ , $O$ et $D$ sont alignés : $A O D$ est un angle plat, $180°$ . $A OB$ et $BO D$ sont côte à côte dans cet angle plat. $BO D = 180 - 52 =$ $128$ , soit $128°$ . ⛔ Le piège : calculer $180 -$ $26$ . Il faut d'abord l'angle ENTIER $A OB$ . Réponse : a) $52°$ ; b) $128°$ .
11
L'angle $A OB$ est droit. $[OC)$ est la bissectrice de $A OB$ . Puis $[O D)$ est la bissectrice de $A OC$ . a) Combien mesure $A OC$ ? b) Combien mesure $A O D$ ? c) On trace encore la bissectrice de $A O D$ . Quel angle obtient-on ?
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a) Un angle droit mesure $90°$ . Sa moitié : $90 \div 2 =$ $45$ . $A OC =$ $45°$ . b) Je prends la moitié de $45$ : $45 \div 2 =$ $22, 5$ . $A O D =$ $22, 5°$ . c) Encore la moitié : $22, 5 \div 2 =$ $11, 25$ . On obtient $11, 25°$ . ⭐ Une mesure d'angle peut être un nombre décimal. ⛔ Le piège : croire qu'on tombe toujours sur un nombre entier. Dès la deuxième moitié, ce n'est plus le cas. Réponse : a) $45°$ ; b) $22, 5°$ ; c) $11, 25°$ .
12
Le triangle $A BC$ est équilatéral : chacun de ses angles mesure $60°$ . On trace la bissectrice de l'angle en $A$ . Elle coupe $[BC]$ en $M$ . a) Quels angles forme-t-elle en $A$ ? b) Mesure l'angle $A MB$ . Que remarques-tu ?
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a) L'angle en $A$ mesure $60°$ . La bissectrice le partage en deux. $60 \div 2 =$ $30$ . Elle forme deux angles de $30°$ . b) Je mesure $A MB$ au rapporteur : je trouve $90°$ . La bissectrice est perpendiculaire à $[BC]$ . ⭐ Et $M$ est le milieu de $[BC]$ : je le vérifie à la règle. ⛔ Le piège : croire que ce n'est vrai que sur ce dessin. Dans tout triangle équilatéral, c'est pareil. Réponse : a) deux angles de $30°$ ; b) $90°$ , un angle droit.
13
Deux demi-droites $[O A)$ et $[OB)$ forment DEUX angles : un de $110°$ et un de $250°$ . a) Vérifie que les deux angles font un tour complet. b) Lequel est l'angle saillant, celui qu'on étudie en 6e ? c) Combien mesure chaque moitié de cet angle saillant ?
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a) $110 + 250 =$ $360$ . Les deux angles font bien un tour complet. b) L'angle saillant est le plus petit, celui qui est moins qu'un angle plat : $110°$ . c) Je partage l'angle saillant en deux : $110 \div 2 =$ $55$ . Chaque moitié mesure $55°$ . ⛔ Le piège : partager le grand angle, $250°$ . En 6e, on trace la bissectrice de l'angle SAILLANT. Réponse : a) $360°$ ; b) l'angle de $110°$ ; c) $55°$ .
14
Les points $A$ , $O$ et $B$ sont alignés. $[OC)$ est la bissectrice de l'angle plat $A OB$ . a) Combien mesurent $A OC$ et $COB$ ? b) Que peut-on dire des droites $(OC)$ et $(A B)$ ? c) $[O D)$ est la bissectrice de $COB$ . Combien mesure $A O D$ ?
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a) Un angle plat mesure $180°$ . $180 \div 2 =$ $90$ . $A OC = COB =$ $90°$ . b) Elles forment un angle droit : $(OC)$ est perpendiculaire à $(A B)$ . c) $COB$ mesure $90°$ . Sa moitié : $90 \div 2 =$ $45$ . Donc $CO D =$ $45°$ . $A O D$ est fait de $A OC$ et de $CO D$ : $90 + 45 =$ $135$ . $A O D =$ $135°$ . ⛔ Le piège au c) : répondre $45°$ . L'angle $A O D$ part de $A$ , pas de $C$ . Réponse : a) $90°$ et $90°$ ; b) elles sont perpendiculaires ; c) $135°$ .
15
Tom veut la bissectrice d'un angle $A OB$ de $96°$ . Il trace $[OT)$ à $45°$ de $[O A)$ , « comme d'habitude ». a) Combien mesure l'angle $TOB$ ? b) $[OT)$ est-elle la bissectrice ? c) Où Tom aurait-il dû tracer ?
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a) $[OT)$ coupe l'angle de $96°$ en deux parts. Je retire la part connue : $96 - 45 =$ $51$ . $TOB =$ $51°$ . b) Les deux parts mesurent $45°$ et $51°$ . Elles ne sont pas égales : ce n'est pas la bissectrice. c) La bissectrice est à la moitié de l'angle : $96 \div 2 =$ $48$ . Tom aurait dû tracer à $48°$ de $[O A)$ . ⛔ Le piège : $45°$ n'est la moitié que d'un angle DROIT. Pour un autre angle, je calcule sa moitié. Réponse : a) $51°$ ; b) non ; c) à $48°$ .
16
L'angle $A OB$ mesure $100°$ . $[OC)$ est la bissectrice de $A OB$ . $[O D)$ est la bissectrice de $A OC$ . a) Combien mesurent $A OC$ et $A O D$ ? b) Combien mesure $D OB$ ?
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a) $[OC)$ partage l'angle de $100°$ en deux : $100 \div 2 =$ $50$ . $A OC =$ $50°$ . $[O D)$ partage l'angle de $50°$ en deux : $50 \div 2 =$ $25$ . $A O D =$ $25°$ . b) De $[O D)$ à $[OB)$ , il y a deux parts : $D OC$ et $COB$ . $D OC = 25°$ et $COB =$ $50°$ . Donc $25 + 50 =$ $75$ . $D OB =$ $75°$ . ⭐ Contrôle : $A O D + D OB = 25 + 75 =$ $100$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à la première moitié et répondre $50°$ au b). Réponse : a) $50°$ et $25°$ ; b) $75°$ .

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Une situation, plusieurs questions. Je fais un dessin au brouillon, puis je réponds par une phrase.

Rappel de cours

Bissectrice : deux parts égales, chacune la moitié de l'angle.
Pour la tracer : je plie, ou je mesure et je prends la moitié.

17La tarte en parts égales
Zoé coupe une tarte ronde. Chaque coupe passe par le centre et partage des angles en deux. 1re coupe : un diamètre. 2e coupe : un autre diamètre, qui partage chaque moitié en deux. 3e coupe : encore deux diamètres, qui partagent chaque part en deux. a) Quel angle fait une moitié de tarte ? b) Quel angle fait une part après la 2e coupe ? Combien y a-t-il de parts ? c) Et après la 3e coupe ? d) Si on recommence encore une fois, quel angle fait une part ?
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Tout le tour de la tarte fait $360°$ . a) Un diamètre partage le tour en deux angles plats : $180°$ chacun. b) La 2e coupe est la bissectrice de chaque angle plat : $180 \div 2 =$ $90$ . Chaque part fait $90°$ . Il y a $360 \div 90 = 4$ parts. c) La 3e coupe partage chaque part en deux : $90 \div 2 =$ $45$ . Chaque part fait $45°$ . Il y a $360 \div 45 = 8$ parts. d) Encore la moitié : $45 \div 2 =$ $22, 5$ . Chaque part fait $22, 5°$ , et il y a $16$ parts. ⛔ Le piège : compter les coups de couteau, pas les parts. Je compte les ANGLES autour du centre. Réponse : a) $180°$ ; b) $90°$ , $4$ parts ; c) $45°$ , $8$ parts ; d) $22, 5°$ .
18Deux bissectrices côte à côte
Les points $A$ , $O$ et $B$ sont alignés. L'angle $A OC$ mesure $64°$ . $[OM)$ est la bissectrice de $A OC$ . $[ON)$ est la bissectrice de $COB$ . a) Combien mesure $COB$ ? b) Combien mesurent $MOC$ et $CON$ ? c) Combien mesure $MON$ ? d) Recommence avec $A OC =$ $100°$ . Que remarques-tu ?
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a) $A OB$ est plat. $COB = 180 - 64 =$ $116$ , soit $116°$ . b) $MOC$ est la moitié de $64°$ : $64 \div 2 =$ $32$ , soit $32°$ . $CON$ est la moitié de $116°$ : $116 \div 2 =$ $58$ , soit $58°$ . c) $MON = 32 + 58 =$ $90$ . C'est un angle droit. d) Avec $100°$ : $COB =$ $80°$ . Les moitiés font $50°$ et $40°$ . Et $50 + 40 =$ $90$ . On retrouve un angle droit. C'est toujours la moitié de l'angle plat : $180 \div 2 =$ $90$ . ⛔ Le piège : croire que le résultat dépend de l'angle de départ. Il fait toujours $90°$ . Réponse : a) $116°$ ; b) $32°$ et $58°$ ; c) $90°$ ; d) encore $90°$ .
19Le message à un camarade
Léa a dessiné cette figure : un angle $x O y$ et sa bissectrice $[O z)$ . Son camarade Hugo ne voit pas la figure. a) Écris un programme de construction pour qu'Hugo la reproduise au rapporteur. b) Hugo n'a plus de rapporteur, mais il a l'angle tracé sur une feuille. Comment peut-il tracer la bissectrice ?
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Je lis la figure : deux parts de $68°$ . L'angle entier mesure $68 + 68 =$ $136$ , soit $136°$ . a) 1. Trace une demi-droite $[O x)$ . 2. Trace l'angle $x O y$ de $136°$ au rapporteur. 3. Sans bouger le rapporteur, marque la graduation $68$ : c'est $136 \div$ $2$ . 4. Trace la demi-droite $[O z)$ qui passe par cette marque. b) Il plie la feuille pour poser $[O x)$ exactement sur $[O y)$ . Le pli est la bissectrice. ⛔ Le piège : écrire « trace la bissectrice » sans dire comment. Hugo doit pouvoir suivre chaque étape sans voir la figure. Réponse : un programme en $4$ étapes ; b) par pliage.
20Une seule bissectrice
Un projecteur de théâtre éclaire la scène dans un angle $A OB$ de $88°$ . Une caméra doit filmer sur la bissectrice. Trois élèves proposent une direction, mesurée depuis $[O A)$ : Tom $40°$ , Zoé $44°$ , Luc $50°$ . a) Pour chaque proposition, calcule les deux parts de l'angle. b) Qui a raison ? c) Combien un angle a-t-il de bissectrices ? Explique.
Voir la correction
a) Pour chacun, je retire sa direction de $88$ . Tom : $40°$ et $88 - 40 =$ $48$ , soit $48°$ . Zoé : $44°$ et $88 - 44 =$ $44$ , soit $44°$ . Luc : $50°$ et $88 - 50 =$ $38$ , soit $38°$ . b) Seule Zoé obtient deux parts égales. C'est elle qui a raison. c) Une seule. Si je tourne la demi-droite d'un degré, une part gagne $1°$ et l'autre en perd $1°$ . Les parts ne sont plus égales. Il n'y a qu'une bonne position. ⛔ Le piège : croire que « à peu près au milieu » suffit. Il faut deux parts EXACTEMENT égales. Réponse : a) $40$ et $48$ ; $44$ et $44$ ; $50$ et $38$ ; b) Zoé ; c) une seule.

Encore des exercices comme ceux-là, avec le Coach

Corrigés : la bissectrice d'un angle, 20 exercices

Ces pages se détachent de la feuille d'exercices. Chaque étape est écrite, avec son pourquoi.

1. Je regarde si les deux parts de l'angle ont la même mesure. a) Figure 1 : les deux parts mesurent $28°$ et $28°$ . Elles sont égales. $[OC)$ est la bissectrice de $A OB$ . b) Figure 2 : les deux parts mesurent $31°$ et $25°$ . Elles ne sont pas égales. $[OF)$ n'est pas la bissectrice de $EOG$ . ⛔ Le piège : juger à l'œil. Les deux figures se ressemblent. Seules les mesures tranchent. Réponse : a) oui ; b) non.
2. Je prends la moitié de l'angle : je divise par $2$ . a) $76 \div 2 =$ $38$ . Chaque angle mesure $38°$ . b) Un angle droit mesure $90°$ . $90 \div 2 =$ $45$ . Chaque angle mesure $45°$ . c) Un angle plat mesure $180°$ . $180 \div 2 =$ $90$ . Chaque angle mesure $90°$ : ce sont deux angles droits. ⛔ Le piège au c) : répondre $45°$ par habitude. $45°$ , c'est seulement la moitié d'un angle DROIT. Réponse : a) $38°$ ; b) $45°$ ; c) $90°$ .
3. a) Le $0$ bleu est sur $[O A)$ . Je lis donc les nombres bleus. $[OB)$ passe un trait moyen avant le $150$ bleu : $150 - 10 =$ $140$ . $A OB =$ $140°$ . b) La bissectrice partage l'angle en deux : $140 \div 2 =$ $70$ . Sans bouger le rapporteur, je fais une marque au $70$ bleu. Puis je trace la demi-droite qui part de $O$ et passe par la marque. ⛔ Le piège : lire les nombres gris. Le $0$ gris n'est pas sur $[O A)$ . Réponse : a) $140°$ ; b) au $70$ bleu.
4. a) Quand je plie, un côté vient se poser sur l'autre. Les deux parts de l'angle se superposent : elles sont égales. Le pli partage donc l'angle en deux angles égaux. C'est la bissectrice. b) Chaque part mesure la moitié : $100 \div 2 =$ $50$ . Chaque part mesure $50°$ . ⭐ Le pli est aussi l'axe de symétrie de l'angle. ⛔ Le piège : plier n'importe où. Il faut que les deux côtés tombent EXACTEMENT l'un sur l'autre. Réponse : a) la bissectrice de $A OB$ ; b) $50°$ chacune.
5. $[OC)$ est la bissectrice. Donc $A OC$ et $COB$ sont égaux. $COB$ mesure aussi $43°$ . L'angle entier est fait des deux parts : $43 + 43 =$ $86$ . $A OB =$ $86°$ . ⛔ Le piège : diviser par $2$ , et répondre $21, 5°$ . Ici, on connaît la MOITIÉ : il faut doubler. Réponse : $A OB =$ $86°$ .
6. La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux. Chaque part mesure la moitié : $154 \div 2 =$ $77$ . $x O m =$ $77°$ . Je vérifie : $77 + 77 =$ $154$ . ⛔ Le piège : oublier de diviser, et répondre $154°$ . $x O m$ n'est qu'une PARTIE de l'angle. Réponse : $x O m =$ $77°$ .
7. Je lis les nombres bleus : le $0$ bleu est sur $[O A)$ . $[OB)$ passe par $70$ . Donc $A OB =$ $70°$ . La bissectrice doit passer par la moitié : $70 \div 2 =$ $35$ . $[O D)$ passe par $20$ , $[OE)$ par $35$ , $[OF)$ par $50$ . C'est $[OE)$ qui passe par $35$ . Je vérifie : $35 + 35 =$ $70$ . ⛔ Le piège : choisir la demi-droite qui a l'air au milieu du dessin. Je lis les graduations. Réponse : $[OE)$ .
8. a) Faux. Passer par le sommet ne suffit pas. Il faut aussi deux parts ÉGALES. $[ON)$ coupe l'angle en deux parts inégales. b) Vrai. Les deux parts mesurent $40°$ et $40°$ . c) Vrai. La bissectrice est l'axe de symétrie de l'angle. d) Faux. Un angle n'a qu'UNE bissectrice. ⛔ Le piège : croire que toute demi-droite qui part du sommet est une bissectrice. Réponse : a) faux ; b) vrai ; c) vrai ; d) faux.
9. a) Je trace $[O x)$ . Centre du rapporteur sur $O$ , $0$ sur $[O x)$ . Je marque $124$ et je trace $[O y)$ . b) Je calcule la moitié : $124 \div 2 =$ $62$ . Je laisse le rapporteur en place. Je fais une marque au $62$ , sur la MÊME graduation. Je trace $[O z)$ de $O$ jusqu'à la marque. Je vérifie : $z O y$ mesure aussi $62°$ . ⛔ Le piège : marquer $62$ sur l'autre graduation. On obtiendrait une demi-droite à $118°$ de $[O x)$ . Réponse : $[O z)$ fait $62°$ avec $[O x)$ et $62°$ avec $[O y)$ .
10. a) $[OC)$ est la bissectrice : $COB$ mesure aussi $26°$ . $A OB = 26 + 26 =$ $52$ , soit $52°$ . b) $A$ , $O$ et $D$ sont alignés : $A O D$ est un angle plat, $180°$ . $A OB$ et $BO D$ sont côte à côte dans cet angle plat. $BO D = 180 - 52 =$ $128$ , soit $128°$ . ⛔ Le piège : calculer $180 -$ $26$ . Il faut d'abord l'angle ENTIER $A OB$ . Réponse : a) $52°$ ; b) $128°$ .
11. a) Un angle droit mesure $90°$ . Sa moitié : $90 \div 2 =$ $45$ . $A OC =$ $45°$ . b) Je prends la moitié de $45$ : $45 \div 2 =$ $22, 5$ . $A O D =$ $22, 5°$ . c) Encore la moitié : $22, 5 \div 2 =$ $11, 25$ . On obtient $11, 25°$ . ⭐ Une mesure d'angle peut être un nombre décimal. ⛔ Le piège : croire qu'on tombe toujours sur un nombre entier. Dès la deuxième moitié, ce n'est plus le cas. Réponse : a) $45°$ ; b) $22, 5°$ ; c) $11, 25°$ .
12. a) L'angle en $A$ mesure $60°$ . La bissectrice le partage en deux. $60 \div 2 =$ $30$ . Elle forme deux angles de $30°$ . b) Je mesure $A MB$ au rapporteur : je trouve $90°$ . La bissectrice est perpendiculaire à $[BC]$ . ⭐ Et $M$ est le milieu de $[BC]$ : je le vérifie à la règle. ⛔ Le piège : croire que ce n'est vrai que sur ce dessin. Dans tout triangle équilatéral, c'est pareil. Réponse : a) deux angles de $30°$ ; b) $90°$ , un angle droit.
13. a) $110 + 250 =$ $360$ . Les deux angles font bien un tour complet. b) L'angle saillant est le plus petit, celui qui est moins qu'un angle plat : $110°$ . c) Je partage l'angle saillant en deux : $110 \div 2 =$ $55$ . Chaque moitié mesure $55°$ . ⛔ Le piège : partager le grand angle, $250°$ . En 6e, on trace la bissectrice de l'angle SAILLANT. Réponse : a) $360°$ ; b) l'angle de $110°$ ; c) $55°$ .
14. a) Un angle plat mesure $180°$ . $180 \div 2 =$ $90$ . $A OC = COB =$ $90°$ . b) Elles forment un angle droit : $(OC)$ est perpendiculaire à $(A B)$ . c) $COB$ mesure $90°$ . Sa moitié : $90 \div 2 =$ $45$ . Donc $CO D =$ $45°$ . $A O D$ est fait de $A OC$ et de $CO D$ : $90 + 45 =$ $135$ . $A O D =$ $135°$ . ⛔ Le piège au c) : répondre $45°$ . L'angle $A O D$ part de $A$ , pas de $C$ . Réponse : a) $90°$ et $90°$ ; b) elles sont perpendiculaires ; c) $135°$ .
15. a) $[OT)$ coupe l'angle de $96°$ en deux parts. Je retire la part connue : $96 - 45 =$ $51$ . $TOB =$ $51°$ . b) Les deux parts mesurent $45°$ et $51°$ . Elles ne sont pas égales : ce n'est pas la bissectrice. c) La bissectrice est à la moitié de l'angle : $96 \div 2 =$ $48$ . Tom aurait dû tracer à $48°$ de $[O A)$ . ⛔ Le piège : $45°$ n'est la moitié que d'un angle DROIT. Pour un autre angle, je calcule sa moitié. Réponse : a) $51°$ ; b) non ; c) à $48°$ .
16. a) $[OC)$ partage l'angle de $100°$ en deux : $100 \div 2 =$ $50$ . $A OC =$ $50°$ . $[O D)$ partage l'angle de $50°$ en deux : $50 \div 2 =$ $25$ . $A O D =$ $25°$ . b) De $[O D)$ à $[OB)$ , il y a deux parts : $D OC$ et $COB$ . $D OC = 25°$ et $COB =$ $50°$ . Donc $25 + 50 =$ $75$ . $D OB =$ $75°$ . ⭐ Contrôle : $A O D + D OB = 25 + 75 =$ $100$ . ⛔ Le piège : s'arrêter à la première moitié et répondre $50°$ au b). Réponse : a) $50°$ et $25°$ ; b) $75°$ .
17. La tarte en parts égales Tout le tour de la tarte fait $360°$ . a) Un diamètre partage le tour en deux angles plats : $180°$ chacun. b) La 2e coupe est la bissectrice de chaque angle plat : $180 \div 2 =$ $90$ . Chaque part fait $90°$ . Il y a $360 \div 90 = 4$ parts. c) La 3e coupe partage chaque part en deux : $90 \div 2 =$ $45$ . Chaque part fait $45°$ . Il y a $360 \div 45 = 8$ parts. d) Encore la moitié : $45 \div 2 =$ $22, 5$ . Chaque part fait $22, 5°$ , et il y a $16$ parts. ⛔ Le piège : compter les coups de couteau, pas les parts. Je compte les ANGLES autour du centre. Réponse : a) $180°$ ; b) $90°$ , $4$ parts ; c) $45°$ , $8$ parts ; d) $22, 5°$ .
18. Deux bissectrices côte à côte a) $A OB$ est plat. $COB = 180 - 64 =$ $116$ , soit $116°$ . b) $MOC$ est la moitié de $64°$ : $64 \div 2 =$ $32$ , soit $32°$ . $CON$ est la moitié de $116°$ : $116 \div 2 =$ $58$ , soit $58°$ . c) $MON = 32 + 58 =$ $90$ . C'est un angle droit. d) Avec $100°$ : $COB =$ $80°$ . Les moitiés font $50°$ et $40°$ . Et $50 + 40 =$ $90$ . On retrouve un angle droit. C'est toujours la moitié de l'angle plat : $180 \div 2 =$ $90$ . ⛔ Le piège : croire que le résultat dépend de l'angle de départ. Il fait toujours $90°$ . Réponse : a) $116°$ ; b) $32°$ et $58°$ ; c) $90°$ ; d) encore $90°$ .
19. Le message à un camarade Je lis la figure : deux parts de $68°$ . L'angle entier mesure $68 + 68 =$ $136$ , soit $136°$ . a) 1. Trace une demi-droite $[O x)$ . 2. Trace l'angle $x O y$ de $136°$ au rapporteur. 3. Sans bouger le rapporteur, marque la graduation $68$ : c'est $136 \div$ $2$ . 4. Trace la demi-droite $[O z)$ qui passe par cette marque. b) Il plie la feuille pour poser $[O x)$ exactement sur $[O y)$ . Le pli est la bissectrice. ⛔ Le piège : écrire « trace la bissectrice » sans dire comment. Hugo doit pouvoir suivre chaque étape sans voir la figure. Réponse : un programme en $4$ étapes ; b) par pliage.
20. Une seule bissectrice a) Pour chacun, je retire sa direction de $88$ . Tom : $40°$ et $88 - 40 =$ $48$ , soit $48°$ . Zoé : $44°$ et $88 - 44 =$ $44$ , soit $44°$ . Luc : $50°$ et $88 - 50 =$ $38$ , soit $38°$ . b) Seule Zoé obtient deux parts égales. C'est elle qui a raison. c) Une seule. Si je tourne la demi-droite d'un degré, une part gagne $1°$ et l'autre en perd $1°$ . Les parts ne sont plus égales. Il n'y a qu'une bonne position. ⛔ Le piège : croire que « à peu près au milieu » suffit. Il faut deux parts EXACTEMENT égales. Réponse : a) $40$ et $48$ ; $44$ et $44$ ; $50$ et $38$ ; b) Zoé ; c) une seule.

★Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

★★Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

★★★Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3

Corrigés : la bissectrice d'un angle, 20 exercices

Un seul geste : exercices 1 à 8niveau 1

Type devoir : exercices 9 à 16niveau 2

Problèmes : exercices 17 à 20niveau 3